黃樣球
【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2016)19-0035-01
函數(shù)的思維是一種動(dòng)態(tài)思維,函數(shù)的性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在,大多數(shù)學(xué)生在接受、理解和運(yùn)用等環(huán)節(jié)都存在較大的困難。導(dǎo)數(shù)是一種工具,是研究函數(shù)性質(zhì)的工具,能熟練掌握好導(dǎo)數(shù)的知識(shí),并能應(yīng)用到解決相關(guān)函數(shù)問(wèn)題,會(huì)使得求解過(guò)程便捷、容易理解。對(duì)于導(dǎo)數(shù)模塊知識(shí)中,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是其中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。在曲線(xiàn)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率,用式子表達(dá)為k=f'(x0)(其中k為切線(xiàn)的斜率,(x0,y0)為曲線(xiàn)上某一點(diǎn)),同時(shí)導(dǎo)數(shù)也是反映曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的變化速度的快慢。因函數(shù)是一個(gè)變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,所以其導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,通過(guò)運(yùn)用信息技術(shù)可以把這種動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程進(jìn)行直觀化,把這個(gè)過(guò)程直接呈現(xiàn)在學(xué)生的面前,方便學(xué)生進(jìn)行直觀理解和應(yīng)用。
導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)問(wèn)題的一種工具,能靈活掌握和應(yīng)用,可大幅提高解題的速度。結(jié)合在曲線(xiàn)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,涉及到曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題,基本是優(yōu)先考慮從導(dǎo)數(shù)入手思考解決問(wèn)題的方法。根據(jù)函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化的本質(zhì)特征,運(yùn)用信息技術(shù)的手段,把抽象的理論問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像進(jìn)行理解,從而幫助我們更好地解決問(wèn)題。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)與切線(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系,通過(guò)下面三個(gè)特例來(lái)分析如何利用信息技術(shù)來(lái)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)在解決相關(guān)函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用。
例1、已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0ln(x+1),x>0,若f(x)≥ax,則a的取值范圍是:
A、(-∞,0] B、(-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0]
分析:已知函數(shù)為分段函數(shù),且在函數(shù)中不帶有參數(shù)故函數(shù)的圖像是固定的,因而審題后,作出函數(shù)f(x)的圖像,從而得到函數(shù)y=f(x)的圖像。要求解問(wèn)題,必需要研究過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=ax與函數(shù)y=f(x)的位置關(guān)系,并滿(mǎn)足y=f(x)的圖像始終在直線(xiàn)y=ax圖像的上方,最多出現(xiàn)相切。對(duì)于直線(xiàn)y=ax中的參數(shù)a為直線(xiàn)的斜率,故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)y=f(x)相切的問(wèn)題,然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=f(x)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為l2:y=-2x。直線(xiàn)y=ax是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)束,利用信息技術(shù)把直線(xiàn)y=-2x繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到l1、l2時(shí)都不滿(mǎn)足題意,因而得到a的取值范圍為[-2,0],故答案為D。
例2、設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=2ex上,點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=ln x-ln2上,則PQ的最小值為:
分析:根據(jù)已知條件作出函數(shù)y=2ex和y=ln x-ln2的圖像,易知兩個(gè)函數(shù)是互為反函數(shù),圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)。問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一條曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的距離的最小值的2倍為所求。利用信息技術(shù)把直線(xiàn)y=x平移到直線(xiàn)l的位置且與曲線(xiàn)y=ln x-ln2相切,設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,k=f'(x0)==1,所以得x0=1,y0=ln 1-ln 2=-ln 2,所以PQ的最小值為2× 1+ln2)。答案為D。
例3、已知函數(shù)f(x)=x2+x+a,x<0ln x,x>0,若函數(shù)f(x)的圖像在P、Q兩點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,則常數(shù)a的取值范圍為:
A、(-2,-1) B、(1,2) C、(-ln2,+∞) D、(-1,+∞)
分析:根據(jù)已知條件作出函數(shù)f(x)=ln x的圖像,并知函數(shù)f(x)=x2+x+a當(dāng)x=0時(shí),y=a因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln x為單調(diào)增函數(shù),在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)方程為y=x-1,其與y軸交點(diǎn)為(-1,0)。
當(dāng)a=-1時(shí),直線(xiàn)y=x-1與曲線(xiàn)f(x)=x2+x+a(x<0)沒(méi)有交點(diǎn)。利用信息技術(shù)手段展示f(x)=x2+x+a(x<0)往上平移的過(guò)程,同時(shí)函數(shù)f(x)=ln x的切線(xiàn)也變化。但要滿(mǎn)足切線(xiàn)與f(x)=x2+x+a(x<0)有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)f(x)=x2+x+a(x<0)往上平移的過(guò)程中,始終存在函數(shù)f(x)=ln x的切線(xiàn)與它有一個(gè)交點(diǎn),因而滿(mǎn)足題意的a的范圍為(-1,+∞)。答案為D。
曲線(xiàn)的切線(xiàn)是反映函數(shù)在某點(diǎn)處的變化速度的快慢,是研究函數(shù)變化的一種工具。函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化可以通過(guò)其切線(xiàn)變化來(lái)體現(xiàn),變化的過(guò)程可通過(guò)信息技術(shù)手段呈現(xiàn),可以直觀展示其變化過(guò)程,從而方便對(duì)結(jié)論的理解,達(dá)到事半功倍的效果。在應(yīng)用切線(xiàn)來(lái)解決問(wèn)題的時(shí)候要充分理解下面三個(gè)知識(shí)點(diǎn):
(1)對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的充分理解及靈活掌握。
(2)能準(zhǔn)確求出在曲線(xiàn)某點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)方程。
(3)能準(zhǔn)確求出過(guò)某點(diǎn)(a,b)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程。
信息技術(shù)能把動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程直觀展示,使理論變成直觀,對(duì)信息技術(shù)的靈活使用,能豐富我們的課堂教學(xué),同時(shí)也能讓我們的學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解變得更容易、更直觀,課堂的教學(xué)效果更顯著。