吳　潔，胡　農(nóng)（天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，天津 300350）

一類黎卡提方程逼近解的求法

吳潔，胡農(nóng)
（天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，天津 300350）

摘要：首先，針對一類特殊的黎卡提方程，提出一種求其逼近解的方法，得到了該方程逼近解的表達式.其次，基于該方法，并利用換元法，得到了另一類黎卡提方程的逼近解.最后，討論了逼近解的收斂性問題.

關(guān)鍵詞：黎卡提方程；逼近解；待定函數(shù)；換元法；收斂性

對于一階微分方程y′=f（x，y），設(shè)右端函數(shù)f（x，y）為一個關(guān)于y的二次多項式，該方程可表示為

其中：函數(shù)p（x）、q（x）和r（x）在區(qū)間I上連續(xù)，而且p（x）≠0.方程（1）即為黎卡提方程.

黎卡提方程是形式最簡單的非線性方程.Liouville已證明它不能用初等積分法求解［1］.許多學(xué)者從不同角度對黎卡提方程進行了研究.文獻［2］在已知黎卡提方程特解的條件下，利用變量變換得到了其通解.文獻［3］給出了周期系數(shù)黎卡提方程存在周期解的一個充分條件.文獻［4］通過定義黎卡提方程的廣義反射函數(shù)尋找其周期解，并分析了周期解的穩(wěn)定性.文獻［5］探討了二階變系數(shù)線性微分方程和黎卡提方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.文獻［6］通過齊次平衡原理和G′/G展開法求解黎卡提方程，得到了滿足一定條件的黎卡提方程的G′/G解.本研究針對一類特殊的黎卡提方程，得到了其逼近解的表達式，并討論了逼近解的收斂性問題.

1　逼近解的求解方法

考慮如下形式的黎卡提方程：

函數(shù)序列｛f（nx）｝滿足

r2n+1=0.具體推導(dǎo)過程如下：

設(shè)y=（fx）+g（x）/y1為方程（2）的解，將其代入方程（2）并化簡，則有

將上式變形為關(guān)于y1的方程，可得

為使方程（2）和方程（4）的形式相同，設(shè)g（x）=x（1+ rx），將g（x）代入方程（4），則方程（4）變?yōu)?/p>

設(shè)（fx）=mx+n（m、n待定），將（fx）代入方程（5），則方程（5）變?yōu)?/p>

為使方程（2）和方程（6）的形式相同，令an+cn2=0，即n=-a/c，代入方程（6），則方程（6）變?yōu)?/p>

當(dāng)m=-ar/c時，將其代入方程（7），則方程（7）變?yōu)?/p>

設(shè)a1=a-1，b1=-b+2ar-2r，c1=s+（ar-a2r+ab）/c，則方程（8）變?yōu)?/p>

可以看出方程（2）和方程（9）形式相同，而此時

因此有y=（fx）+g（x）/y1=-ar/cx-a/c+x（1+rx）/y1，故cy=-a（1+rx）+cx（1+rx）/y1.類似前面方法，可設(shè)y1=f（1x）+g（1x）/y2，重復(fù)上述過程，可得

其中：常數(shù)列｛an｝、｛bn｝滿足：

令c0=c，由數(shù)學(xué)歸納法不難得到

由此可得方程（2）的逼近解為式（3）.

當(dāng)m=-b/c時，同理可得方程（2）與cy=f（0x）類似的逼近解.

下面考慮黎卡提方程

將x、y、y′代入方程（10）并化簡，可得

方程（11）即是方程（2）在r=-1時的情形，由方程（2）的逼近解式（3）可得方程（11）的逼近解，進而得到方程（10）的逼近解為

函數(shù)序列｛g（nx）｝滿足

其中：αn=-a+n；γ2n=sc+（a-n）（b-n），γ2n+1=sc+ （n+1）（b-a+n+1）.

2　逼近解的收斂性

對于序列

的連分式c0.對于序列（13）的連分式c0，有如下結(jié)論.

下面討論方程（10）的逼近解式（12）的收斂性.

當(dāng)n=2k-1時，有

3　結(jié)語

本研究針對一類特殊的黎卡提方程，得到了其逼近解的表達式，并討論了逼近解的收斂性問題.在一些特殊的情況下，由本研究結(jié)果可得到方程（2）的特解，如當(dāng)a=1，b=-1，c=1，s=1，r=0時，方程（2）為x（1+x）y′+（1-x）y+y2=x（1+x），這時由式（3）可得y=-x-1即為該方程的特解，而在已知方程特解的情況下，可通過換元法將黎卡提方程變?yōu)椴匠?，進而利用初等積分法得到方程的通解.

參考文獻：

［1］王高雄，周之銘.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006. WANG G X，ZHOU Z M.Ordinary Differential Equation［M］.3rd ed. Beijing：Higher Education Press，2006（in Chinese）.

［2］賈慶菊，馮文俊，武躍祥.某些黎卡蒂（Riccati）方程的解［J］.中央民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，22（1）：48-51. JIA Q J，F(xiàn)ENG W J，WU Y X.The solution of some Riccati equations ［J］.Journal of MUC：Natural Sciences Edition，2013，22（1）：48-51 （in Chinese）.

［3］陳敏.關(guān)于Riccati方程的一個結(jié)論［J］.福州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，41（6）：954-957. CHEN M.A result for Riccati equation［J］.Journal of Fuzhou University：Natural Science Edition，2013，41（6）：954-957（in Chinese）.

［4］孫長軍.Riccati方程的廣義反射函數(shù)與周期解［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，30（4）：576-578. SUN C J.Generalized reflection function and periodic solution of Riccati equation［J］.Journal of Liaoning Technical University：Natural Science，2011，30（4）：576-578（in Chinese）.

［5］胡勁松.二階變系數(shù)線性微分方程與Riccati方程的關(guān)系［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（1）：163-167. HU J S.The relation between the various coefficient linear differential equation of order 2 and Riccati equation［J］.College Mathematics，2009，25（1）：163-167（in Chinese）.

［6］魏帥帥，李凱輝，劉漢澤.G′/G展開法在Riccati方程中的應(yīng)用［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，36（5）：92-96. WEI S S，LI K H，LIU H Z.Application of G′/G expansion method in Riccati equation［J］.Journal of Henan University of Science and Technology：Natural Science，2015，36（5）：92-96（in Chinese）.

［7］哈凡斯基A H.連分式及其推廣在近似分析問題上的應(yīng)用［M］.葉乃膺，譯.北京：科學(xué)出版社，1962. ФОВАНСКИЙ A H.The Applications of Continued Fraction and Its Extension on Approximate Analysis［M］.Translated by YE N Y.Beijing：Science Press，1962（in Chinese）.

（責(zé)任編校馬新光）

第一作者：吳潔（1965—），女，副教授，主要從事計算數(shù)學(xué)方面的研究.

文章編號：1671-1114（2016）01-0040-08

中圖分類號：O175.1

文獻標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-03-14

A method for finding approximate solutions for a type of Riccati equations

WU Jie，HU Nong
（Basic Courses Department，Tianjin Sino-German Vocational Technical College，Tianjin 300350，China）

Abstract：Firstly，A method for finding approximate solutions for a type of Riccati equations is presented，and the expression of the approximate solution is obtained.Secondly，by using the method of substitution，the approximate solution of another type of Riccati equations is given based on the method.Finally，the convergence of approximate solutions is discussed.

Keywords：Riccati equation；approximate solution；undetermined function；method of substitution；convergence