田寶國，王　棟，吳世勇

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

基于最大熵原理的順磁性固體磁化研究

田寶國，王棟，吳世勇

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

從最大熵原理出發(fā)，在經典和量子2種情況下，研究了順磁物質的磁化規(guī)律，得到了順磁物質磁化強度的表達式，在高溫弱磁情況下，磁化強度與外磁場成正比，與溫度成反比，得到的結論與統(tǒng)計物理中的系綜理論或最該然分布結論一致。該原理不僅適用于平衡態(tài)問題，而且也適用于非平衡定態(tài)問題。

熵；最大熵原理；順磁物質；磁化強度

熵概念作為描述熱力學系統(tǒng)的態(tài)函數，最早是由Clausius于1865年提出的，并可用之定量解釋熱力學第二定律。1877年，Boltzman給出了熵的微觀意義（統(tǒng)計解釋），把熵概念與宏觀系統(tǒng)所包含的熱力學概率聯系起來[1]。1948年，Shannon提出了信息熵的概念，用熵概念來描述信息量的獲得[2]。1958年，Kolmogorov發(fā)展了熵的概念，作為不確定性的數學度量，將其引入到非線性動力學當中。目前，熵的概念在物理、化學、經濟、信息科學等自然科學以及工程技術等許多領域都得到了廣泛的應用，甚至被推廣到社會科學當中[3-11]。

1 熵及最大熵原理

1.1熵

本文采用信息熵的定義。對于離散系統(tǒng)，假設該系統(tǒng)某個物理量的取值有n個可能結果x1,x2,…,xn，這些可能結果發(fā)生的概率分別為p1,p2,…,pn，則系統(tǒng)信息熵的定義為

式中，k為正常數。

根據概率性質，pi應滿足下面的約束條件：

對于物理量可連續(xù)取值的概率系統(tǒng)，設變量取值的概率密度為 f(x)，則熵定義為

概率密度滿足歸一化約束條件：

1.2最大熵原理

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的[12]，原理的基本內容可以表述為：一個宏觀系統(tǒng)的信息熵在一組約束條件下趨于約束最大值。按照此原理，對于一個宏觀系統(tǒng)，如果選擇合適的約束條件，然后計算其信息熵在此約束條件下的極大值，就可以求出該系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的概率分布。這樣就把求系統(tǒng)的分布問題轉變?yōu)閿祵W上求一定約束條件下的極值問題。作為確定系統(tǒng)分布的重要方法，該原理不僅適用于處理平衡態(tài)問題，而且也適用于非平衡定態(tài)問題，因而其在物理、化學、交通甚至社會科學等很多領域都得到了廣泛應用。本文采用此原理研究順磁性磁介質的磁化問題。

2 經典情形下順磁物質的磁化研究

磁矩不為0的粒子（分子、原子或離子）叫做磁性粒子，而由磁性粒子組成的物質叫做順磁性物質。在沒有外磁場作用時，各個粒子的磁矩在空間無規(guī)則地取向，它們的磁矩相互抵消，因而物質在宏觀上不顯示磁性。當順磁物質處于外磁場中，磁場的作用促使各個粒子的磁矩沿磁場方向取向，但熱運動卻阻礙這種取向，在這2種作用的影響下，各個粒子的磁矩在空間的取向達到一個平衡分布，粒子的磁矩沿磁場方向取向占優(yōu)勢，因而物質的總磁矩不再為0，即物質被磁化了。如果知道了各個粒子磁矩取向的分布，就可以得到順磁物質的磁化強度。目前，統(tǒng)計物理教材中得到的分布都是在平衡態(tài)前提下由系綜理論或近獨立系統(tǒng)系統(tǒng)的最概然方法得到。我們認為，在一定的外界條件下，分子磁矩取向的分布應該滿足最大熵原理，下面根據此原理來研究該問題。

在經典理論中，粒子磁矩在空間的取向可以連續(xù)變化，對于磁矩為μ的粒子，當處于在外磁場H中時，磁勢能為

式（5）中：θ為粒子磁矩方向與外磁場之間的夾角；μ0是真空磁導率。

粒子磁矩分布的概率密度定義為 f(θ)，則系統(tǒng)熵為

歸一化條件表示為

粒子平均磁勢能為

按照拉格朗日乘子法，定義拉格朗日函數為：

由變分原理，F對 f(θ)的導數為0，可得：

即概率密度

代入歸一化條件（7）式得

由式（12）得

把式（13）代入式（11），可得粒子磁矩方向分布的概率密度為

假設粒子的體密度為n，則系統(tǒng)單位體積內所有粒子的磁矩沿磁場方向的投影之和為順磁物質的磁化強度M，于是

π

令y=βμ0μH，ξ=cosθ，則式（15）可以化為

式（16）中的積分結果為朗之萬函數L(y)[11]，即：

3 量子情形下順磁物質的磁化研究

量子力學證明，在順磁物質中，粒子的磁矩與角動量J的關系為[13]

式（19）中：μB是玻爾磁子；g是郎德劈裂因子，

對于一定的粒子，g是一個常數，J是總角動量量子數，L是軌道角動量量子數，S是自旋量子數。

，式中：m是電子的質量；e是電子的電荷；?是約化普朗克常數。

于是，當外磁場為H時，此時粒子在磁場中的磁勢能表示為：

式（21）中：mJ是角動量J在磁場H方向上的投影，叫做磁量子數。

mJ只能取-J,-J+1,…,J-1,J這2J+1個值。因為，在量子情形下，粒子角動量的方向只能取離散的數值，此時系統(tǒng)信息熵的定義采用式（1），其中pi為粒子位于某一量子狀態(tài)的概率。粒子的平均磁勢能為

仍然構造廣義的拉格朗日函數形式：

令x=βgμ0μBH，則粒子配分函數為：

單位體積中粒子的磁矩在磁場方向投影的代數和，即磁化強度為：

式中，稱為布里淵函數。

磁矩表達式

這時，所有粒子的磁矩都沿外磁場方向取向，順磁物質處于磁飽和狀態(tài)。

4 結論

本文運用最大熵原理研究了順磁物質在外磁場作用下的磁化規(guī)律，在經典和量子2種情況下，得到了系統(tǒng)磁化強度的關系表達式。結果表明，在高溫弱磁條件下，磁化強度都與外磁場成正比，與溫度成反比；而在低溫強磁場情況下，順磁物質將處于磁飽和狀態(tài)，此結論與實驗結果及統(tǒng)計系綜理論得到的結果一致。該研究方法對平衡態(tài)系統(tǒng)及非平衡定態(tài)系統(tǒng)都同樣適用。另外，采用不同熵的定義表達式，可以把該原理方法推廣到其他自然或社會系統(tǒng)當中，具有較為普遍的應用范圍。

[1]馬文蔚.物理學[M].5版.北京：高等教育出版社，2010：247-253.

MAWENWEI.Physics[M].5thed.Beijing：Higher Education Press，2010：247-253.（in Chinese）

[2]SHANNON C E.A mathematical theory of communication[J].ACM SigmobileMobile Computing And Communication Review，1948，5（1）：3-55.

[3]JIANG L.Economic entropy and its applications to the structureof the transportsystem[J].Quality and Quantity，1996，30（2）：161-171.

[4]李鶴齡，楊斌.統(tǒng)計物理方法在離散變量模型中的應用及推廣[J].大學物理，2014，33（9）：27-30.

LIHELING，YANG BIN.Applications and extension of statistical physics approach in amodelw ith discrete variables[J].College Physics，2014，33（9）：27-30.（in Chinese）

[5]晉宏營.使用最大熵原理研究電介質系統(tǒng)的極化[J].復雜系統(tǒng)與復雜性科學，2013，10（1）：83-88.

JIN HONGYING.Using maximum entropy principle to study polarization of dielectric systems[J].Complex Systems and Complexity Science，2013，10（1）：83-88.（inChinese）

[6]袁彩霞，王小捷.基于受限最大熵模型的漢語詞性標注的研究[C]//第三屆學生計算語言學研討會.沈陽：《中文信息學報》雜志社，2006：303-308.

YUAN CAIXIA，WANG XIAOJIE.Chinese POS tagging using restricted maximum entropy model[C]//3thSymposium on Student Computational Linguistics.Shenyang：Journal of Chinese Information Processing，2006：303-308.（in Chinese）

[7]譚濤，李鶴齡.統(tǒng)計力學基本假設的數學更新[J].大學物理，1997，16（1）：44-45，48.

TAN TAO，LIHELING.Themathematicalupdating of basic hypothesis in statisticalmechanics[J].College Physics，1997，16（1）：44-45，48.（in Chinese）

[8]王棟，朱元甡.最大熵原理在水文水資源科學中的應用[J].水科學進展，2001，12（3）：424-430.

WANG DONG，ZHU YUANSHENG.Principle ofmaximum entropy and Its application in hydrology and water resources[J].Advances in Water Science，2001，12（3）：424-430.（in Chinese）

[9]周旭升，李圣怡，鄭子文.基于最大熵原理的平面研拋工藝參數優(yōu)化[J].中國機械工程，2005，16（11）：1001-1004.

ZHOU XUSHENG，LISHENGYI，ZHENG ZIWEN.Optimization of plane polishing parameters based on maximum entropy principle[J].China Mechanical Engineering，2005，16（11）：1001-1004.（in Chinese）

[10]晉宏營.最大熵原理導出理想氣體分子的速度和速率分布[J].科學技術與工程，2012，12（3）：7989-7992.

JIN HONGYING.Using maximum entropy principle to deduce the Velocity distribution of idealgasmolecules[J]. Science Technology and Engineering，2012，12（3）：7989-7992.（in Chinese）

[11]晉宏營.最大熵原理研究二維有極分子電介質的極化規(guī)律[J].科學技術與工程，2012，12（10）：2407-2410.

JIN HONGYING.Using themaximum entropy principle to study polarization of two-dimensional dielectric of polar molecules[J].Science Technology and Engineering，2012，12（10）：2407-2410.（in Chinese）

[12]JAYNESR T.Information theory and statisticalmechanics[J].PhysicalReview，1957，106（4），620-630.

[13]王誠泰.統(tǒng)計物理學[M].北京：清華大學出版社，1997：241-243.

WANG CHENGTAI.Statistical physics[M].Beijing：Tsinghua University Press，1997：241-243.（in Chinese）

[14]王鵬，韓敬.朗之萬函數與布里淵函數的一些近似公式的推導[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2007，13 （2）：87-89.

WANG PENG，HAN JING.Deduce some approximate formulate of langevin function and brillouin function[J]. Journal of Anqing Teachers College：Natural Science Edition，2007，13（2）：87-89.（in Chinese）

Rrsearch on Solid Magnetization of Paramagnetic Substance Based on Maximum Entropy Principle

TIANBaoguo,WANGDong,WUShiyong

（Departmentof Basic Sciences,NAAU,YantaiShandong 264001,China）

Themagnetization law of paramagnetic substance was studied under classical and quantum condition based on maximum entropy principle.The results showed thatmagnetization intensitywas proportional tomagnetic intensity and in?versely proportional to temperature underhigh temperature and lowmagnetic intensity,which agreed with to the resultsob?tained from ensemble theory ormost probability distribution theory.Maximum entropy principle applied not only to the problem ofequilibrium state,butalso to the problem ofnon-equilibrium stationary state.

entropy;maximum entropy principle;paramagnetic substance;magnetization intensity

O414

A

1673-1522（2016）02-0191-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.02.018

2015-11-28；

2016-01-19

田寶國（1968-），男，教授，博士。