徐學(xué)文，任建存，倪保航

（海軍航空工程學(xué)院a.接改裝訓(xùn)練大隊(duì)；b.控制工程系，山東煙臺(tái)264001）

三維J積分理論在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裂紋研究中的應(yīng)用

徐學(xué)文a，任建存b，倪保航a

（海軍航空工程學(xué)院a.接改裝訓(xùn)練大隊(duì)；b.控制工程系，山東煙臺(tái)264001）

針對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱上裂紋的三維性和受力復(fù)雜性，文章提出采用三維J積分理論和數(shù)值仿真來(lái)計(jì)算藥柱上裂紋縫線上的J積分值，并給出了三維J積分的體積分表達(dá)式和有限元數(shù)值分析方法；通過(guò)對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱上在燃燒室星角處的一條典型裂紋——橫向貫穿楔形裂紋仿真計(jì)算，得出裂紋縫線上J積分值呈現(xiàn)中間高兩端低的非均勻分布特點(diǎn)，證明了三維J積分理論在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥裂紋危險(xiǎn)性研究上的適用性。

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)；裂紋；三維J積分；數(shù)值仿真

自上個(gè)世紀(jì)以來(lái)，人們開(kāi)始將固體材料斷裂學(xué)理論[1]引入到固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱裂紋擴(kuò)展機(jī)理的研究中來(lái)[2-4]。隨著研究的深入，逐步發(fā)現(xiàn)，K判據(jù)和G判據(jù)僅適用于裂紋尖端屈服區(qū)很小的或脆性斷裂的材料，不適合固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)劑等屈服強(qiáng)度比較大的粘彈性材料[5-6]；COD斷裂準(zhǔn)則雖然采用裂紋尖端張開(kāi)位移能夠描述彈塑性材料裂紋的危險(xiǎn)程度，但它只是采用經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表征材料斷裂韌性[7-8]。而Rice提出的J積分概念[9]，巧妙地避開(kāi)了求解裂紋尖端前緣屈服區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)所遇到的數(shù)學(xué)困難，并且經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明，平面型裂紋J積分計(jì)算與路徑無(wú)關(guān)。因此，J積分更適合固體裝藥為粘彈性材料[10]的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱裂紋危險(xiǎn)性研究。由于固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱上裂紋的三維性和受力復(fù)雜性，裂紋縫線上J積分值分布呈現(xiàn)非均勻性[11]，因而本文提出采用三維J積分理論和數(shù)值方法來(lái)計(jì)算固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱裂紋的J積分值，從而為研究裂紋擴(kuò)展機(jī)理和危險(xiǎn)性分析提供可靠的理論依據(jù)。

1 三維J積分理論

假設(shè)藥柱裂紋縫線是一條切向連續(xù)的線，在其上任意一點(diǎn)s處建立局部坐標(biāo)系，如圖1所示，坐標(biāo)軸x1在裂紋縫線平面內(nèi)垂直于裂紋縫線，坐標(biāo)軸x3與裂紋縫線相切，坐標(biāo)軸x2垂直裂紋縫線平面。裂紋局部擴(kuò)展方向用q表示，它垂直于裂紋縫線而位于裂紋平面（x1-x3）內(nèi)，這樣在總體坐標(biāo)任意點(diǎn)s處垂直于裂紋縫線的平面（x1-x2）內(nèi)，可寫(xiě)出不依賴于路徑的任意積分回路Γ上的J積分：

式（1）中：n是積分路徑Γ的法向；ω是應(yīng)變能，對(duì)粘彈性材料，它包括彈性應(yīng)變能和塑性耗散能；u是積分回路的位移矢量。

將平面上定義的二維J積分沿著裂紋縫線逐點(diǎn)積分可得裂紋縫線的三維J積分為：

式（2）中：L表示裂紋縫線長(zhǎng)度；d A是包繞裂紋縫線的圓柱曲面上的面積微元，d A=d s dΓ；n表示微元d A的外法線方向；λ(s)是裂紋縫線s點(diǎn)處的長(zhǎng)度。

圖1 局部坐標(biāo)Fig.1 Localorthogonal cartesian coordinates

為了計(jì)算Jˉ，需要將式子中的面積分轉(zhuǎn)換為體積分，圍繞著裂紋縫線建立一個(gè)封閉輪廓的積分曲面，如圖2所示。Ao是沿著裂紋縫線方向的外層圓柱曲面，At是內(nèi)層圓柱曲面，Aends是裂紋縫線兩端的端面，Acracks是裂紋腔上下兩裂紋面。 Ao、At、Aends和 Acracks組成的曲面A形成了一個(gè)體積為V的體積分區(qū)域。在體積分區(qū)域內(nèi)定義一個(gè)權(quán)函數(shù)qˉ，在At上qˉ的模為0，在Ao上qˉ=λ(s)q，在曲面A內(nèi)qˉ在這2個(gè)值之間平滑變化，在Aends面上，沿裂紋擴(kuò)展方向的單位矢量q不一定與 Aends相切，但必須確切地給出 Aends面的法向。因此式（2）可以寫(xiě)成曲面A上的面積分為：

式（3）中：m是封閉曲面A上的法向矢量，在Ao上m=-n；t=m?σ是端面Aends和裂紋面Acracks上的表面張力。

根據(jù)高斯定理把封閉曲面上的面積分轉(zhuǎn)化為體積分得三維J積分為：

式中，V是封閉曲面所圍成的體積。

圖2 積分曲面Fig.2 Integralsurface

2 J積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法

本文以五角星型內(nèi)孔燃燒固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱上，在燃燒室星角處存在的一條典型裂紋——橫向貫穿楔形裂紋為計(jì)算對(duì)象，見(jiàn)圖3，說(shuō)明J積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法[12-13]，計(jì)算模型內(nèi)的裂紋縫線是裂紋腔2個(gè)側(cè)平面的交線，是一條直線段。采用非線性有限元法[14]計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱的應(yīng)力應(yīng)變和裂紋縫線上各節(jié)點(diǎn)處的J積分值。

在有限元模型中，沿著裂紋縫線某節(jié)點(diǎn)p處的λ(s)可以寫(xiě)成有限元單元的形函數(shù)形式，即

式（5）中：Np(s)為形函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)p處，λp=1；在其他節(jié)點(diǎn)上λp=0。本文所采用的離散單元為8節(jié)點(diǎn)六面體單元和4節(jié)點(diǎn)四面體單元[15]。

圖3 藥柱上的裂紋、裂紋縫線和虛擬裂紋擴(kuò)展方向Fig.3 Crack in grain，crack front line and the virtual crack extension direction

這樣，在裂紋縫線上每一節(jié)點(diǎn)p的J積分值可以表示為

在計(jì)算過(guò)程中[16-17]，首先指定裂紋的縫線。然后，指定積分的輪廓數(shù)N。積分輪廓是包繞在裂紋尖端或裂紋縫線上的從一個(gè)裂紋面上開(kāi)始到對(duì)面裂紋面結(jié)束的一串單元，這N個(gè)輪廓單元圍繞著裂紋縫線從里到外層層包繞，這些積分輪廓上的積分將被轉(zhuǎn)換為包繞區(qū)域的面積分（二維）和體積分（三維）。本文設(shè)定的積分輪廓數(shù)為5，以便鑒別各輪廓上算出的J積分值的有效性。

最后，還要指定裂紋縫線上各點(diǎn)的虛擬裂紋擴(kuò)展方向，一般通過(guò)指定裂紋縫線所在平面的法向或者直接指定擴(kuò)展方向來(lái)完成。由于本文要計(jì)算的裂紋縫線為直線，所以這里直接指定裂紋虛擬擴(kuò)展方向，整個(gè)裂紋縫線的擴(kuò)展方向在裂紋體沿軸向的中心對(duì)稱平面內(nèi)垂直裂紋縫線向內(nèi)，如圖3中箭頭所示。

3 仿真結(jié)果

深度為43mm的裂紋在燃?xì)鈮毫Γ鸭y腔進(jìn)口平均壓力[18]為0.385MPa）作用下，藥柱橫截面上M ises應(yīng)力分布如圖4所示，在裂紋縫線附近產(chǎn)生應(yīng)力集中，在裂紋縫線上，中間部位應(yīng)力最高，然后沿著裂紋縫線由中間向兩端應(yīng)力逐漸遞減，呈現(xiàn)出均勻性。

圖4 在包含裂紋縫線的藥柱橫截面上Mises應(yīng)力分布Fig.4 M isesstressdistribution on thehorizontalsection ofgrainw ith the crack front

裂紋縫線上J積分值分布見(jiàn)圖5，J積分值呈現(xiàn)出中間高兩端低的分布趨勢(shì)，縫線中間部位的J積分值最大，此處裂紋點(diǎn)最易先擴(kuò)展。這是因?yàn)樗幹墙求w橫截面是頂部窄底部寬的形狀，裂紋縫線上各點(diǎn)的裂紋深度不一樣，在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作過(guò)程中，裂紋腔壁面上中央靠近裂紋縫線部位作用的燃?xì)鈮毫Ρ容^高，此處的推進(jìn)劑變形比較大，造成該型裂紋縫線上J積分值呈現(xiàn)中間高兩端低的非均勻分布趨勢(shì)。

圖5 沿裂紋縫線上的J積分分布Fig.5　J-integraldistribution along the crack front line

改變裂紋腔進(jìn)口壓力，計(jì)算出不同壓力下裂紋縫線上的J積分值，如表1所示。從表1看出，不同壓力下的裂紋縫線上J積分值沿著縫線的分布類似于圖5所示的分布曲線——中間高兩端低。在壓力低的情況下，這種分布曲線趨向平緩；壓力越高，曲線中間部位越凸起，裂紋縫線中間部位的點(diǎn)更容易擴(kuò)展。

表1 43 mm深的裂紋在不同壓力下縫線上的J積分值Tab.1 J-integralvalueson the crack front line of crack cavity w ith 43mm depth under differentpressures

4 結(jié)論

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱為粘彈性材料，藥柱上裂紋擴(kuò)展機(jī)理研究宜采用適合大范圍屈服的，并經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明與積分路徑無(wú)關(guān)的J積分理論；通過(guò)高斯定理變換，將二維J積分計(jì)算公式擴(kuò)展到三維J積分計(jì)算公式，再采用有限元計(jì)算方法，得到了發(fā)動(dòng)機(jī)藥柱上燃燒室星角處橫向貫穿裂紋縫線上J積分值呈現(xiàn)中間高兩端低的分布特點(diǎn)，證明了三維J積分理論在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥裂紋等缺陷擴(kuò)展機(jī)理研究上的適用性。

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Application of 3-D J-integral Theory in the Solid RocketMotor Crack Reasearch

XUXuewena,REN Jiancunb,NIBaohanga

（Naval Aeronauticaland AstronauticalUniversity a.Training brigade ofEquipmentAcceptance and Modification; b.DepartmentofControlEngineering,YantaiShandong 264001,China）

Aiming to the 3-D characteristics of the crack and its force application complexity in solid rocketmotor grain, the application of3-D J-integral theory and numericalsimulation to calulate the J-integralvalues at the Gauss integration pointsof the crack linewasproposed in the dissertation,and the 3-D volumic J-integralexpression and the finite-element numerical analysismethod were given out.Thewedge crack which traversed through the projection of star grain was simu?lated as a typical crack in solid rocketmotor.As shown in the calculation results,the J-integral distribution along the crack front line behaved as the varying characteristicsofhigh valueat the centerand low value in both sides,which proved that3-D J-integralcalculationmethod was suitable to reasearch the risk ofsolid rocketmotorgrain crack.

solid rocketmotor;crack;3-D J-integral;numericalsimulation

V435

A

1673-1522（2016）02-0117-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.02.004

2015-11-18；

2016-01-19

徐學(xué)文（1971-），男，副教授，博士。