姜紅

聯(lián)系圖形，巧解數(shù)學題

姜紅

七年級下學期第九章，同學們學習了《整式乘法與因式分解》，在學習完全平方公式時，我們用了以下圖形進行驗證，用圖1的兩個正方形和兩個長方形拼成圖2的大正方形，再算其面積.

圖1

圖2

比較二者可得，完全平方公式：（a+b）2= a2+2ab+b2.

在學習因式分解時，我們也用到了類似的方法.

看下面的問題：

如圖3，陰影部分是邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后所得到的圖形4，請借助此圖，驗證平方差公式.

圖3

圖4

比較二者可得，平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a-b）.

以上解決問題的思想方法，叫作“數(shù)形結(jié)合”.

數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.初中數(shù)學研究的對象大致可分為數(shù)和形兩大部分.數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系就稱之為數(shù)形結(jié)合.

作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.

其實，數(shù)形結(jié)合的思想方法，我們上學期就接觸到的.比如，在學習“絕對值”的概念時，我們說：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到原點

同學們仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)這兩題是同一類型.我們以第一題為例來探討其解法.

方法一：依據(jù)絕對值的化簡方法.即：

故此，我們需要，逐一判斷每個絕對值符號內(nèi)部的代數(shù)式的符號，找到它們的零點x=1、x=3，再分類討論，加以解決.解法如下：

當x=1時，此式最小值為2；

當x=3時，此式最小值為2.

方法二：數(shù)形結(jié)合

圖5

結(jié)合圖5，若表示數(shù)x的點P在數(shù)軸上移動，易知當點P運動到1與3之間時，兩個距離之和最小，相當于表示1與3的兩點之間的距離，即為2.故此，原式的最小值為2.

其實，數(shù)形結(jié)合這個獨特的思想方法，還有著很多的應用.據(jù)傳，古希臘著名數(shù)學家畢達哥拉斯借助八個完全相同的直角三角形進行拼圖，驗證了直角三角形的三邊a、b、c之間有著特殊的關(guān)系，你能借助下圖進行探索嗎？

圖6

圖7

同學們找到a、b、c之間的關(guān)系了嗎？這就是我們下學期即將要學到的著名的勾股定理：直角三角形的兩直角邊a、b與斜邊c之間符合：a2+b2=c2.這個定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理.

用心觀察，運用經(jīng)典的數(shù)學思想方法，也許將來的某一天，在數(shù)學論著中也能出現(xiàn)以你的名字命名的數(shù)學結(jié)論呢.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）