楊　俊，張亞軍，張小漫

（重慶大學(xué) 經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400044）

天然氣市場不同預(yù)期規(guī)則下的三寡頭博弈模型研究

楊俊，張亞軍，張小漫

（重慶大學(xué) 經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400044）

摘要：文章針對三寡頭壟斷的天然氣上游（供氣）市場，基于不同預(yù)期規(guī)則建立了三寡頭動態(tài)博弈模型，運用混沌經(jīng)濟學(xué)理論求解系統(tǒng)均衡點并進行穩(wěn)定性分析；最后利用數(shù)值模擬研究了主要參數(shù)發(fā)生變化時系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)行為。結(jié)果表明：不同預(yù)期規(guī)則下的三寡頭博弈模型具有非常復(fù)雜的動力學(xué)特性；自適應(yīng)企業(yè)對市場具有穩(wěn)定效應(yīng)，而有限理性企業(yè)過快的產(chǎn)量調(diào)整速率會導(dǎo)致市場進入混沌狀態(tài)。

關(guān)鍵詞：天然氣；博弈模型；預(yù)期；混沌

［DOI］10.3969/j.issn.1007-5097.2016.08.002

一、引　言

改革開放30多年來，伴隨著我國經(jīng)濟快速發(fā)展的同時也導(dǎo)致了資源的大量消耗。由于我國的煤礦資源豐富以及開采、存儲和運輸成本低，使得在我國一次能源消費中，煤炭一直占有主要地位，2014年一次能源消費中煤炭占比為66%，而這一比例遠遠高于世界平均水平30%，近些年來由煤炭等化石燃料大量消耗所導(dǎo)致的霧霾等生態(tài)環(huán)境問題日益凸顯，環(huán)境治理刻不容緩。在此背景下，黨的十八大提出了“堅持節(jié)約資源和保護環(huán)境”的基本國策，要加快能源向清潔化方向發(fā)展。而天然氣作為一種優(yōu)質(zhì)、高效、清潔的能源自然成為當下能源結(jié)構(gòu)調(diào)整破解經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染矛盾最有效的方式。

隨著工業(yè)化和城鎮(zhèn)化的加快，近些年我國天然氣產(chǎn)業(yè)步入了快速發(fā)展的軌道，消費模式由“供應(yīng)驅(qū)動消費”逐步向“需求拉動消費”轉(zhuǎn)變。從表1可知，2014年我國天然氣生產(chǎn)量和消費量分別達到1 345億立方米和1 855億立方米，較2013年同比增長7.7% 和10.3%，天然氣在我國一次能源消費的比重增長到5.7%（但遠低于世界平均水平23.7%和亞太地區(qū)的11.2%）。根據(jù)“能源發(fā)展戰(zhàn)略行動計劃2014-2020”設(shè)定的目標，到2020年，我國天然氣在一次能源消費中的比重將提高到10%以上。雖然天然氣生產(chǎn)量和消費量都呈現(xiàn)快速增長的態(tài)勢，但是產(chǎn)量的增速跟不上消費量的增速，例如，2005年、2006年、2010年、2012年以及2013年國內(nèi)都出現(xiàn)了大面積“氣荒”，這些充分凸顯出目前我國天然氣供需的矛盾；同時也導(dǎo)致我國天然氣缺口逐年增大，對外依存度不斷提高，截至2014年底我國天然氣對外依存度達到30.2%，預(yù)計到2020將達到50%，這勢必會威脅到我國的能源安全。因此，保障我國天然氣的穩(wěn)定供應(yīng)、確保能源安全將是一個非常重要而又亟須解決的問題。要保障天然氣持續(xù)穩(wěn)定的供應(yīng)無非有如下兩個方面的途徑：①從國外進口，包括進口天然氣和進口LNG。目前中國已經(jīng)建成了四大天然氣進口通道，包括中亞管道天然氣、中緬管道天然氣、中俄管道天然氣以及沿海進口液化天然氣。進口天然氣雖然在短期內(nèi)能夠緩解國內(nèi)經(jīng)濟增長對天然氣的需求，但進口天然氣受地緣政治、地區(qū)穩(wěn)定、國際經(jīng)濟形勢等情況影響較大，從長遠來看并不利于國內(nèi)能源安全。②國內(nèi)開采。目前我國已探明的天然氣儲量比較豐富，勘探開采潛力巨大，僅2014年全國天然氣、煤層氣及頁巖氣等能源類氣體新增探明地質(zhì)儲量總量達11 107.15億立方米，創(chuàng)歷史最高水平，呈快速增長趨勢。顯然，大力勘探和開采天然氣將是滿足我國天然氣需求和保障國家能源安全最為重要和有效的途徑。因此，通過分析我國天然氣市場結(jié)構(gòu)，研究天然氣企業(yè)的競爭機制，以求提出一些能夠促進我國天然氣穩(wěn)定供應(yīng)的建議和舉措，具有較強的現(xiàn)實意義。

表1　2009-2014年我國天然氣生產(chǎn)、消費等情況億　立方米

和傳統(tǒng)的自然壟斷行業(yè)一樣，天然氣行業(yè)沉淀成本大，其規(guī)模經(jīng)濟性和范圍經(jīng)濟性較強，而且利潤不宜過高，使得我國的天然氣上游（供氣）市場處于三寡頭（中石油、中石化、中海油）壟斷的局面［1］。不同的市場結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致企業(yè)采取不同的競爭行為，必然也會產(chǎn)生不同的市場效果；而三寡頭壟斷市場在我國是非常普遍的，因此研究三寡頭的市場競爭及博弈機制無疑具有較強的現(xiàn)實意義。目前大多數(shù)學(xué)者對三寡頭的研究主要是基于靜態(tài)的、完全信息和單一策略前提下進行的，然而完全信息假設(shè)在現(xiàn)實中必然不會存在，因此它們的決策是居于有限理性進行的；同時由于受制于管理層對市場形勢的判斷能力、企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模和信息是否充分對稱等條件，企業(yè)往往會有不同的預(yù)期，因此寡頭壟斷企業(yè)主動參與市場，制定優(yōu)化可行的策略，實現(xiàn)自身利潤最大化是一個非常復(fù)雜的過程［2］。近年來，隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，尤其是其與經(jīng)濟學(xué)的結(jié)合所產(chǎn)生的混沌經(jīng)濟學(xué)理論不斷成熟，使得學(xué)者能夠更加深入和貼近現(xiàn)實去研究寡頭壟斷市場。

Agiza等（2010）否定古諾模型中的完全信息假設(shè)條件，引入有限理性預(yù)期，構(gòu)建了雙寡頭動態(tài)博弈模型并研究了其具有的動力學(xué)特性［3］。Bischi等（2001）將自適應(yīng)預(yù)期引入雙寡頭模型，分析了雙寡頭產(chǎn)量博弈的動力學(xué)特性［4］。Elsadany（2002）研究了信息不對稱和不同預(yù)期對廠商決策行為的影響，并求解了模型的均衡解［5］。張驥驤（2008）等基于不同預(yù)期規(guī)則建立了雙寡頭模型，研究了分別采用靜態(tài)預(yù)期與有限理性預(yù)期的寡頭廠商之間的競爭決策問題［6］。

吉偉卓、馬海軍（2008）在假設(shè)企業(yè)具有非線性需求及成本函數(shù)的基礎(chǔ)上研究了三寡頭電力市場博弈模型，探究了在初始產(chǎn)量確定與不確定兩種情況下電力生產(chǎn)商的最佳產(chǎn)量決策［7］。Chen、Ma（2009）在中國移動通信市場上基于伯川德模型構(gòu)建了三寡頭博弈模型，研究結(jié)論表明移動運營商之間的價格調(diào)整可能會引起整個通信市場進入無序競爭狀態(tài)［8］。Ma、Ji（2009）在電力市場上構(gòu)建了三寡頭博弈模型，主要研究了過網(wǎng)費對三寡頭競爭行為的影響，結(jié)果表明過較高的過網(wǎng)費會提升企業(yè)生產(chǎn)成本，企業(yè)往往會通過提高電價的方式來轉(zhuǎn)移成本，減少了消費者剩余［9］。

本文假設(shè)企業(yè)間采取產(chǎn)量競爭策略并結(jié)合有限理性及混沌經(jīng)濟學(xué)相關(guān)研究成果，建立基于不同預(yù)期決策規(guī)則的天然氣市場三寡頭動態(tài)博弈模型；通過嚴格的數(shù)理推理和數(shù)值模擬，分析了天然氣市場三寡頭在不同預(yù)期情形下，為實現(xiàn)利潤最大化而采取決策過程中表現(xiàn)出的復(fù)雜動力學(xué)特性，以期能為我國天然氣市場上的企業(yè)提供些許產(chǎn)量決策依據(jù)。

二、天然氣市場三寡頭博弈模型的建立

假設(shè)天然氣市場的寡頭企業(yè)之間采取產(chǎn)量博弈，且每個企業(yè)所生產(chǎn)的天然氣是同質(zhì)的。以?表示第i（i=1，2，3）個天然氣企業(yè)在t時期的產(chǎn)量，則t期市場的總產(chǎn)量為：

假定三寡頭面臨著共同的線性逆需求函數(shù)：

同時各企業(yè)成本函數(shù)為：

由式（1）、（2）、（3）可得第i個天然氣企業(yè)在第t期的利潤函數(shù)為：

通過求解各企業(yè)的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)可得到納什均衡，即

求解（5）式可得三寡頭古諾納什均衡為：

方程（6）表示在固定時期內(nèi)，給定兩家天然氣企業(yè)產(chǎn)量的情況下，另一家天然氣企業(yè)實現(xiàn)利潤最大化的最優(yōu)產(chǎn)量。從（6）式中也可以看出，古諾博弈模型是基于完全信息假設(shè)下進行的，及任何一家企業(yè)的行為都能被其他企業(yè)完全掌握，因此上式中各企業(yè)的產(chǎn)量是關(guān)于其他企業(yè)產(chǎn)量的函數(shù)，因此天然氣企業(yè)在對自身產(chǎn)量做決策時要盡可能多的去獲取或者判斷有關(guān)另外兩家企業(yè)產(chǎn)量的信息，如此才能使自己的決策更準確。

在經(jīng)濟模型中，“預(yù)期”起著重要的作用，預(yù)期是各經(jīng)濟主體基于自身的認知能力并結(jié)合當下的發(fā)展形勢對未來發(fā)展趨勢做出的判斷，因此也可也說預(yù)期連接著經(jīng)濟體的當下和未來，常見的預(yù)期包括：靜態(tài)預(yù)期、適應(yīng)性預(yù)期和有限理性預(yù)期［2］。在古諾模型中寡頭企業(yè)簡單地以競爭對手當期的產(chǎn)量為依據(jù)，以此來估計和判斷未來的經(jīng)濟形勢，以確定下一期的產(chǎn)量，這種預(yù)期為靜態(tài)預(yù)期。靜態(tài)預(yù)期是在“蛛網(wǎng)模型”基礎(chǔ)上提出來的最為單純、把現(xiàn)期實際值完全當成下期預(yù)測的機制［7］。所謂的適應(yīng)性預(yù)期是指經(jīng)濟主體依據(jù)當前的市場情形并結(jié)合過去的預(yù)測經(jīng)驗（包括成功的預(yù)測經(jīng)驗和對以往預(yù)測失敗的修正）而對未來進行判斷的一種機制。有限理性預(yù)期是指經(jīng)濟主體在盡可能收集一切能夠獲知的有用信息基礎(chǔ)上對不確定市場變化做出的研判，以此來規(guī)避風(fēng)險或者是實現(xiàn)利潤最大化的決策形式。

現(xiàn)實生活中，受制于管理層的認知水平、獲取信息的能力和企業(yè)所處市場競爭激烈程度、規(guī)模經(jīng)濟效應(yīng)等條件限制，不同企業(yè)對未來市場變化會有不同的判斷，因此也會有不同的決策類型即擁有不同的預(yù)期［2］。因此本文假設(shè)三家天然氣企業(yè)在做決策時采用差異化的預(yù)期規(guī)則。

假設(shè)天然氣企業(yè)1由于各種條件限制（包括市場占有率、企業(yè)獲取信息能力、資源占有優(yōu)勢等）采取靜態(tài)預(yù)期，即

第二家天然氣企業(yè)在做出下期產(chǎn)量決策時會參考之前所做預(yù)測經(jīng)驗，故采用自適應(yīng)預(yù)期，應(yīng)用文獻［10］中的模型，即α為第二家天然氣企業(yè)的反饋系數(shù)。第三家天然氣企業(yè)采取有限理性預(yù)期，決策模型為［11］：

其中，β為產(chǎn)量調(diào)整速率，企業(yè)根據(jù)當期的邊際利潤來決策下期產(chǎn)量，即當期邊際利潤為正時，表明當期的產(chǎn)量偏低，下一期則相應(yīng)的提高產(chǎn)量；反之當邊際利潤為負時，下一期減少產(chǎn)量。

根據(jù)式（7）、（8）、（9）可得天然氣市場基于不同預(yù)期規(guī)則的三寡頭動態(tài)博弈模型：

為了方便分析系統(tǒng)（10）的復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象，尤其是為了對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌現(xiàn)象進行嚴格數(shù)學(xué)證明，對系統(tǒng)做如下變換：

由于系統(tǒng)（10）和（11）是等效的，故對系統(tǒng)（10）的動力學(xué)性質(zhì)分析可以轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)（11）的動力學(xué)性質(zhì)研究。

三、博弈模型復(fù)雜動力學(xué)分析

本節(jié)將應(yīng)用非線性動力系統(tǒng)理論相關(guān)知識，對系統(tǒng)（11）的局部動力學(xué)和混沌存在性進行研究。求解系統(tǒng)的均衡解，并應(yīng)用數(shù)學(xué)推理證明Nash均衡點的存在性及系統(tǒng)局部穩(wěn)定性，最后利用數(shù)值模擬驗證推理的正確性，同時利用Lyapunov指數(shù)和吸引子分維數(shù)判定系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象。

（一）不動點與局部穩(wěn)定性分析

定義集合：

定理1：當a＞ci，i=1，2，3，且（α，β）∈Ω1，（a，c1，c2，c3）∈Ω2時，系統(tǒng)（11）存在2個非負均衡點。

證明：令X（t+1）=X（t），Y（t+1）=Y（t），Z（t+1）=Z（t）可解得系統(tǒng)（11）的兩個均衡解，即

因為有（a，c1，c2，c3）∈Ω2，即

所以X*＞0，Y*＞0，Z*

則均衡點E0、E*均為非負，且E0為有界均衡點，E*為Nash均衡點。

為了研究系統(tǒng)不動點的局部穩(wěn)定性，計算出系統(tǒng)（11）的Jacobi（雅克比）矩陣：

定理2：當（α，β）∈Ω1，（a，c1，c2，c3）∈Ω2時，系統(tǒng)（11）的有界均衡點E0為不穩(wěn)定的鞍點。

證明：由（12）式可知，系統(tǒng)（11）在有界均衡點E0處的雅克比矩陣為：

其特征多項式為：

根據(jù)文獻［12-13］可知，如果系統(tǒng)（11）在均衡點E0處對應(yīng)的特征方程的所有特征值λi滿足|λi|＜1，i=1，2，…，n時，此均衡點才是穩(wěn)定的。

當（α，β）∈Ω1，（a，c1，c2，c3）∈Ω2時，有0＜λ1＜1，0＜λ2＜1，λ3＞1，意味著系統(tǒng)在E0處不滿足所有的特征值絕對值都小于1，故有界均衡點E0是不穩(wěn)定的鞍點。

為了接下來證明系統(tǒng)在均衡點E*處的穩(wěn)定性，現(xiàn)給出一條引理：

引理1：設(shè)多項式 f（x）=x3+a1x2+a2x+a3，則有［14］：

（1）若 f（x）的系數(shù)滿足 1+a1+a2+a3＜0或1-a1+a2-a3＜0，則 f（x）=0至少有一個根的絕對值大于1。

（2）若f（x）的系數(shù)同時滿足以下條件：

則 f（x）=0的所有根（實數(shù)或者復(fù)數(shù)根）的絕對值都小于1。

證明：系統(tǒng)（11）在均衡點E*處的雅克比矩陣為：

其特征多項式為：

故系統(tǒng)（11）在E*的特征方程具有如下形式：

其中：

則系統(tǒng)（11）在Nash均衡點E*處對應(yīng)的特征方程的根的絕對值都小于1，故此時均衡點E*是穩(wěn)定的，證明完畢。

（二）系統(tǒng)局部動力學(xué)數(shù)值模擬

本節(jié)通過對系統(tǒng)（11）進行數(shù)值模擬，來驗證理論推理的正確性，并分析系統(tǒng)在不同參數(shù)取值情況下的分岔、混沌吸引子和初值敏感性（蝴蝶效應(yīng)）等特征。

參數(shù)取值：a=8，c1=4，c2=3，c3=2，此時有：

即均衡點E*=（0.25，1.25，2.25），將Z*=2.25代入定理3，得到系統(tǒng)（11）的穩(wěn)定性判斷式為：

（20）式中由自適應(yīng)天然氣企業(yè)反饋系數(shù)α和有限理性企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整系數(shù)β所構(gòu)成的平面區(qū)域決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，如圖1所示。

由圖1可知，當天然氣企業(yè)3的產(chǎn)量調(diào)整速率β及企業(yè)2的產(chǎn)量反饋系數(shù)α的組合（α，β）處于曲線下方（及圖1中所標識為穩(wěn)定區(qū)域）部分時，系統(tǒng)（11）總是處于穩(wěn)定點E*處，此時意味著三個企業(yè)的產(chǎn)量始終穩(wěn)定在（0.25，1.25，2.25）。然而如果企業(yè)3的產(chǎn)量調(diào)整速率過快，市場將隨著β的不斷增大而逐漸步入不穩(wěn)定狀態(tài)，接下來以圖中的四個點為例進行說明。由圖1中曲線可得β的兩個臨界值為β=0.360 和β=0.225。當β＜0.225時，對于任意的α取值，均衡點E*總是穩(wěn)定的，例如圖中的A點；當0.225＜β＜0.360時，如果此時α的取值使得點（α，β）在曲線之下，則均衡點E*依舊是穩(wěn)定的，例如圖中C點；若（α，β）對應(yīng)的點在曲線上部（如B點）則均衡點E*不穩(wěn)定；當 β＞0.360，此時任意的組合點（α，β）都處于曲線上部所在的非穩(wěn)定區(qū)域，如圖中D點所示。所謂的穩(wěn)定區(qū)域是指系統(tǒng)（11）在初始條件不同的情況下最終是否能歸于收斂的意思，其經(jīng)濟學(xué)解釋為：三家天然氣企業(yè)在不同的初始產(chǎn)量下，若其產(chǎn)量調(diào)整速率β與產(chǎn)量反饋系數(shù)α的組合（α，β）位于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，那么在經(jīng)過有限次數(shù)的博弈之后三家天然氣企業(yè)的產(chǎn)量終歸平衡于穩(wěn)定點（0.25，1.25，2.25）處；反之當天然氣企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整參數(shù)組合位于曲線上部的非穩(wěn)定區(qū)域時，無論經(jīng)歷多少次的博弈，各企業(yè)的產(chǎn)量依舊不會穩(wěn)定于一點，此時各企業(yè)的產(chǎn)量將一直處于波動狀態(tài)，整個天然氣市場也很有可能進入無序競爭狀態(tài)，即所謂的混沌狀態(tài)。

1.各天然氣企業(yè)的產(chǎn)量分岔圖

剛剛分析了在天然氣企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整參數(shù)取值不當時可能導(dǎo)致整個市場進入混沌狀態(tài)，為了進一步地分析系統(tǒng)（11）的混沌特性，下面給出了各企業(yè)產(chǎn)量隨參數(shù)α、β變化的分岔圖，圖2和圖3分別是β=0.2和 β=0.3時系統(tǒng)（11）隨參數(shù)α變化的分岔圖；圖4為α=0.3時系統(tǒng)（11）關(guān)于 β變化的分岔圖。參數(shù)取值依然為：a=8，c1=4，c2=3，c3=2，三家天然氣企業(yè)初始產(chǎn)量依次取值0.1、0.2、0.3。

圖2　　β=0.2時各天然氣企業(yè)產(chǎn)量隨參數(shù)α變化的分岔圖

從圖2可知，當β=0.2時，系統(tǒng)（11）中各天然氣企業(yè)的產(chǎn)量在整個α∈（0，1）區(qū)間內(nèi)一直穩(wěn)定在均衡點E*=（0.25，1.25，2.25）。結(jié)合圖1可知，由于 β=0.2小于臨界值0.225，故在整個α變化區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)都穩(wěn)定在E*處，這表明圖1和圖2是一致的。為了進一步驗證圖1的正確性，在0.225＜β＜0.360區(qū)間內(nèi)另取一個 β值畫出系統(tǒng)（11）中各天然氣企業(yè)的產(chǎn)量分岔圖，如圖3所示。

圖3　　β=0.3時各天然氣企業(yè)產(chǎn)量隨參數(shù)α變化的分岔圖

從圖3可以看出，當0＜α＜0.54時，系統(tǒng)依舊穩(wěn)定在均衡點E*=（0.25，1.25，2.25）處；當α≥0.54時系統(tǒng)出現(xiàn)分岔，從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎吨芷跔顟B(tài)。從圖1中也可以看出，在β=0.3時，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域為0＜α＜0.54，這表明圖3和圖1也是一致的。

從圖4可知，當0＜β＜0.325時，系統(tǒng)穩(wěn)定在均衡點E*=（0.25，1.25，2.25）處；當 β=0.325時，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔。這依然和圖1是一致的。從β≥0.325開始，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，依次進入2周期、4周期、8周期……當 β＞0.540時，系統(tǒng)徹底進入混沌狀態(tài)。結(jié)合上述四幅圖可得出結(jié)論：自適應(yīng)預(yù)期天然氣企業(yè)的反饋參數(shù)α越小，越有利于維護市場的穩(wěn)定；而采取有限理性預(yù)期的天然氣企業(yè)對市場的穩(wěn)定性影響最為顯著，其產(chǎn)量調(diào)整速率應(yīng)當控制在一個合理的區(qū)間，一旦調(diào)整速率過快將很可能導(dǎo)致整個天然氣市場從穩(wěn)定狀態(tài)進入無序競爭狀態(tài)。綜上所述，在不同預(yù)期決策規(guī)則下，企業(yè)自身的決策對整個市場的影響差異很大，且整個市場的穩(wěn)定性將變得更加難以控制，若彼此之間的競爭處于合理狀態(tài)那么整個市場很可能會一直處于有序競爭狀態(tài)；反之一旦某些企業(yè)采用激進的競爭策略，很可能導(dǎo)致整個市場出現(xiàn)巨幅震蕩，進入混沌狀態(tài)。

圖4　α=0.3時各天然氣企業(yè)產(chǎn)量隨參數(shù)β變化的分岔圖

2.系統(tǒng)混沌的判定

（1）李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)。李雅普諾夫指數(shù)是刻畫動力系統(tǒng)中兩條相互靠近的軌道沿某特定方向按指數(shù)相互分離或靠攏的速率，它是判定動力系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的重要定量指標。當系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)為負值時表明系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；最大Lyapunov指數(shù)為零時意味著系統(tǒng)出現(xiàn)分岔；反之，正的Lyapunov指數(shù)則意味著混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)［15］。本文給出了系統(tǒng)在圖4中的參數(shù)取值下的Lyapunov指數(shù)譜，如圖5所示。

從圖5中可知，在β＜0.540區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)為非負且出現(xiàn)了a、b、c、d四個零點，意味著系統(tǒng)發(fā)生了分岔；結(jié)合圖4可知，在a點（即圖4中β=0.325的點）系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)進入二倍周期，依次在b、c、d三個零點進入四倍周期、八倍周期、十六倍周期；當 β＞0.540時，系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)為正，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。因此圖5和圖4是一致的，由此說明系統(tǒng)確實產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象。

圖5　a=8，c1=4，c2=3，c3=2，α=0.3時系統(tǒng)（11）的Lyapunov指數(shù)譜

（2）混沌吸引子與分維數(shù)。在系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的同時會出現(xiàn)混沌吸引子（奇異吸引子），而此時的混沌吸引子具有分維數(shù)特征，因此可以通過判斷混沌吸引子是否具有分維數(shù)來判定混沌［16］。圖6給出了系統(tǒng)在某些固定β時的相圖及混沌吸引子。

圖6給出了系統(tǒng)的相圖，通過圖6（a）到（e）可觀察到周期1軌、周期2軌、周期4軌、周期8軌及周期16軌，（f）為系統(tǒng)的混沌吸引子。從圖5中可知，系統(tǒng)在（f）下的李雅普諾夫指數(shù)分別為：

圖6　a=8，c1=4，c2=3，c3=2，α=0.3系統(tǒng)在固定β取值下的相圖及混沌吸引子

由Lyapunov指數(shù)可以計算出混沌吸引子的Kaplan-Yorke維數(shù)，記為Dky，其表達式如下：

其中，k等于滿足∑ki=1λi≥0的最大的i值（λi按Lyapunov指數(shù)降序排列）［17］。通過觀察可知在上述的三個李雅普諾夫指數(shù)取值下k=2，則圖6（f）中混沌吸引子的Kaplan-Yorke維為：

因此（f）的混沌吸引子具有分維數(shù)，系統(tǒng)的確處于混沌狀態(tài)。

（3）各企業(yè)產(chǎn)量對初值的敏感性。所謂的初值敏感性又稱之為“蝴蝶效應(yīng)（The Butterfly Effect），是指在動力系統(tǒng)中，初始條件的微小差別通過有限次的運動和迭代之后將使最終結(jié)果產(chǎn)生巨大的偏差［6］。

為分析系統(tǒng)（11）中各天然氣企業(yè)產(chǎn)量對初值的敏感性特征，在圖4中系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)（α=0.3，β≥0.540）的基礎(chǔ)上，將天然氣企業(yè)3的初始產(chǎn)量由Z（1）=0.3增加到Z'（1）=0.300 01，圖7-9展示了這種微小變化對系統(tǒng)的影響。

圖7　α=0.3，β=0.545時天然氣企業(yè)1產(chǎn)量對初值變化的敏感性

圖8　α=0.3，β=0.545時天然氣企業(yè)2產(chǎn)量對初值變化的敏感性

圖9　α=0.3，β=0.545時天然氣企業(yè)3產(chǎn)量對初值變化的敏感性

由圖7-9可知，企業(yè)3產(chǎn)量0.000 01的微小變化經(jīng)過有限次迭代之后，將會對三家企業(yè)的產(chǎn)量產(chǎn)生明顯的影響，企業(yè)1前后產(chǎn)量的變化幅度為（-0.4，0.5），企業(yè)2產(chǎn)量變化幅度為（-0.25，0.17），企業(yè)3產(chǎn)量變化幅度為（-1.25，1.7）。從系統(tǒng)對初值的敏感性可知，當市場處于混沌狀態(tài)時，任何一家天然氣企業(yè)產(chǎn)量的微小變化都會對其他企業(yè)產(chǎn)量產(chǎn)生巨大影響。因此在混沌市場狀態(tài)下，企業(yè)就更難對未來市場的變化做出準確的判斷，其關(guān)于產(chǎn)量的決策就更加無據(jù)可依。

（三）系統(tǒng)混沌控制

在現(xiàn)實中，企業(yè)間的過度競爭容易導(dǎo)致市場無序行為的出現(xiàn)，這不僅損害了在位企業(yè)的利益，長遠來看這種不確定的競爭也不利于市場規(guī)范。因此采取能夠有效穩(wěn)定市場、防止混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的措施尤為必要。

本文采用文獻［18］中的時滯反饋機制對系統(tǒng)（11）進行混沌控制，時滯反饋方法為：

其中，T為引入時滯；k為控制系數(shù)。由于天然氣企業(yè)3的產(chǎn)量調(diào)整速率β對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響最為明顯，故文章采取對天然氣企業(yè)3進行時滯反饋控制。將（22）代入系統(tǒng)（11）并令T=1，得到采取混沌控制后的系統(tǒng)如下：

由圖4可知，當α=0.3、β≥0.540時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，因此本文取參數(shù)α=0.3、β=0.550時進行混沌控制，其余參數(shù)依舊取a=8、c1=4、c2=3、c3=2，各天然氣企業(yè)初始產(chǎn)量分別為0.1、0.2、0.3，引入混沌控制后的系統(tǒng)（22）其產(chǎn)量隨控制參數(shù)k變化的分岔圖如圖10所示。

圖10　α=0.3，β=0.550時系統(tǒng)（22）隨控制系數(shù)k變化的產(chǎn)量分岔

從圖10中的產(chǎn)量分岔圖來看，隨著控制系數(shù)k的不斷增大，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)逐漸進入倍周期，當k＞0.68時分岔現(xiàn)象消失，系統(tǒng)進入穩(wěn)定狀態(tài)，說明引入時滯反饋后系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到有效控制，市場又重新恢復(fù)到有序狀態(tài)。

四、結(jié)束語

本文將混沌經(jīng)濟學(xué)理論應(yīng)用到我國天然氣上游（供氣）市場，構(gòu)建了不同預(yù)期決策規(guī)則下的三寡頭動態(tài)博弈模型，最后通過嚴格的數(shù)學(xué)推理及詳細的數(shù)值模擬揭示了博弈系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)特性。從中得出結(jié)論：采取自適應(yīng)預(yù)期的天然氣企業(yè)對市場具有穩(wěn)定效應(yīng)，其反饋參數(shù)越小，市場越穩(wěn)定；而有限理性天然氣企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速率會極大地影響市場的穩(wěn)定性，過大的產(chǎn)量調(diào)整速率會導(dǎo)致市場進入混沌狀態(tài)，在此狀態(tài)下經(jīng)濟系統(tǒng)存在“蝴蝶效應(yīng)”，即任何一個企業(yè)微小的產(chǎn)量調(diào)整都會引起自身及其他企業(yè)產(chǎn)量的大幅波動，導(dǎo)致企業(yè)更難把握未來市場的變化，不利于企業(yè)的長期規(guī)劃和市場規(guī)范。本文最后引入了時滯反饋機制對系統(tǒng)進行混沌控制，使市場重新回到有序的競爭狀態(tài)。研究結(jié)果期待能為我國天然氣市場供氣企業(yè)的產(chǎn)量決策提供參考。

參考文獻：

［1］楊世旭，段萬春，孫永河，等.基于混合策略的電信企業(yè)競合博弈分析［J］.經(jīng)濟問題探索，2014（8）：179-183.

［2］浦小松.一類寡頭壟斷市場產(chǎn)量博弈及混合模型的動力學(xué)研究［D］.天津：天津大學(xué)，2012.

［3］Agiza H N，Hegazi A S，Elsadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality［J］.Mathematics&Computers in Simulation，2002，58 （2）：133-146.

［4］Bischi G I，Kopel M.Equilibrium selection in a nonlinear duopoly game with adaptive expectations［J］.Journal of Economic Behavior&Organization，2001，46（1）：73-100.

［5］Agiza H N，Elsadany A A.Nonlinear dynamics in the Cournot duopoly game with heterogeneous players［J］.Physica A Statistical Mechanics&Its Applications，2002，320（1/4）：512-524.

［6］張驥驤，達慶利，王延華.寡占市場中有限理性博弈模型分析［J］.中國管理科學(xué)，2006，14（5）：109-113.

［7］吉偉卓，馬軍海.發(fā)電市場不同決策規(guī)則三寡頭博弈模型研究［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2008，23（3）：257-263.

［8］Chen F，Ma J H，Chen X Q.The study of dynamic process of the triopoly games in chinese 3G telecommunication market［J］.Chaos Solitons&Fractals，2009，42（3）：1542-1551.

［9］Ma J H，Ji W Z.Complexity of repeated game model in electric power triopoly［J］.Chaos Solitons&Fractals，2009，40 （4）：1735-1740.

［10］Dubiel-Teleszynski T.Nonlinear dynamics in a heterogeneous duopoly game with adjusting players and diseconomies of scale［J］.Communications in Nonlinear Science& Numerical Simulation，2011，16（1）：296-308.

［11］Ding Z，Hang Q，Tian L.Analysis of the dynamics of Cournot team-game with heterogeneous players［J］.Applied Mathematics&Computation，2009，215：1098-1105.

［12］Mahmoud E E.Dynamics and synchronization of new hyperchaotic complex Lorenz system［J］.Mathematical& Computer Modelling，2012，55（7/8）：1951-1962.

［13］Li Y，Liu X，Chen G，et al.A new hyperchaotic Lorenztype system：Generation，analysis，and implementation［J］. International Journal of Circuit Theory&Applications，2011，39（8）：865-879.

［14］謝麗凡.不同預(yù)期的寡頭博弈模型的復(fù)雜動力學(xué)研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2015.

［15］張曉丹，李志萍，張麗麗.一類基于奇異值分解的Lyapunov指數(shù)計算方法［J］.北京科技大學(xué)學(xué)報，2005，27（3）：371-374.

［16］Elabbasy E M，Elsadany A A，Zhang Y.Bifurcation analysis and chaos in a discrete reduced Lorenz system［J］.Applied Mathematics&Computation，2014，228（9）：184-194.

［17］Kaplan J L，Yorke J A.Chaotic behavior of multidimensional difference equations［J］.Computer Communications，2006，31（3）：576-590.

［18］Pyragas K.Continuous control of chaos by self-controlling feedback：stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits［C］//SPIE's 1993 International Symposium on Optics，Imaging，and Instrumentation.International Society for Optics and Photonics，1993：148-159.

［責任編輯：余志虎］

中圖分類號：F206；F271.5

文獻標志碼：A

文章編號：1007-5097（2016）08-0007-09

收稿日期：2016-04-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（71133007）；國家自然科學(xué)基金面上項目（71373297）；國家社會科學(xué)基金重點項目（15AZD014）

作者簡介：楊?。?972-），男，重慶銅梁人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：能源技術(shù)經(jīng)濟，行業(yè)經(jīng)濟與企業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略；張亞軍（1992-），男，重慶巫溪人，碩士研究生，研究方向：天然氣市場交易與定價機制設(shè)計；張小漫（1992-），女，湖北荊州人，碩士研究生，研究方向：企業(yè)戰(zhàn)略管理。

A Study of Three Oligopolistic Firms Game Model Based on Different Expectation Rules in Natural Gas Supply Market

YANG Jun，ZHANG Ya-jun，ZHANG Xiao-man
（School of Economics and Business Administration，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

Abstract：A three oligopolistic firms dynamic game model based on different expectation rules was established in the upstream market of natural gas（gas supply）.The system equilibrium was calculated by chaos theory of economics and then analyzed the stability of the system.In the end，the paper analyzed the complex dynamic behavior of the system deduced by the change of main-parameters by the numerical simulation method.The results show that the game model has a very complicated dynamic behavior.Adaptive firms have a stabilizing effect on the market，and the fast output adjustment rate of limited rational firms will lead to the market to enter the chaotic state.

Keywords：natural gas；game model；expectation；chaos