余　萬(wàn)，李　春，朱　玲，陽(yáng)　君，楊　陽(yáng)，季云峰

（1.上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093；2.上海體育學(xué)院，上海 200093）

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不同比賽氣候條件對(duì)乒乓球飛行軌跡影響研究

余萬(wàn)1，李春1，朱玲2，陽(yáng)君1，楊陽(yáng)1，季云峰2

（1.上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093；2.上海體育學(xué)院，上海 200093）

本文根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理，考慮乒乓球在旋轉(zhuǎn)飛行過(guò)程中的浮力、重力、阻力和Magnus力，建立乒乓球飛行的動(dòng)力學(xué)方程，數(shù)值求解得到乒乓球三維空間的飛行軌跡，對(duì)比分析了溫度和空氣對(duì)飛行軌跡的影響。結(jié)果表明，乒乓球飛行時(shí)保持轉(zhuǎn)速不變情況下，隨溫度的升高和空氣濕度增大，其飛行軌跡和高度都有增加。

空氣動(dòng)力學(xué)；乒乓球；Magnus力；環(huán)境物性參數(shù)

乒乓球的飛行具有旋轉(zhuǎn)快（通常3 000rpm）、速度高（通常5m/s）的特點(diǎn)，加之乒乓球比賽戰(zhàn)術(shù)多變，故其為一項(xiàng)極具觀賞性和競(jìng)技難度的運(yùn)動(dòng)。在各類(lèi)球體運(yùn)動(dòng)中，乒乓球的旋轉(zhuǎn)球、排球的側(cè)旋球以及足球的“香蕉球”有著相似的形成力學(xué)原理，即旋轉(zhuǎn)球在飛行過(guò)程中的飛行軌跡產(chǎn)生彎曲，這種現(xiàn)象稱(chēng)作為Magnus效應(yīng)。軌跡產(chǎn)生彎曲是因其受到力的作用，Magnus力大小與球體轉(zhuǎn)速以及環(huán)境條件密切相關(guān)，其方向與速度方向和旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)；在乒乓球旋轉(zhuǎn)飛行過(guò)程中，Magnus力的方向會(huì)影響乒乓球飛行軌跡以及落點(diǎn)。在乒乓球比賽中，乒乓球6大旋轉(zhuǎn)球，即上旋、下旋、左側(cè)旋、右側(cè)旋、順旋以及逆旋都是有著極大威脅的乒乓球攻擊技術(shù)，不僅因?yàn)槠古仪蝻w行速度快，更由于旋轉(zhuǎn)球飛行過(guò)程中受到Magnus力飛行軌跡發(fā)生偏離使得在比賽過(guò)程中對(duì)判斷能力提出較高要求。在二維平面中建立乒乓球弧圈球運(yùn)動(dòng)方程，分析其空氣動(dòng)力原理以及飛行軌跡的仿真分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，乒乓球轉(zhuǎn)速對(duì)乒乓球軌跡有直接影響，不同轉(zhuǎn)速的弧圈球的軌跡有著很明顯的差異，Magnus力大小和方向直接導(dǎo)致乒乓球速度以及轉(zhuǎn)速變化?；贠DE（Open Dynamics Engine）交互式可視化仿真環(huán)境，并借鑒網(wǎng)球阻力系數(shù)和升力系數(shù)，在三維空間對(duì)乒乓球旋轉(zhuǎn)球軌跡進(jìn)行仿真研究。本文建立乒乓球和球桌三維坐標(biāo)系，計(jì)算乒乓球載荷，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程以及給出初始條件，并采用實(shí)驗(yàn)研究所得乒乓球升力系數(shù)和阻力系數(shù)，探討空氣物性對(duì)乒乓球飛行軌跡以及落點(diǎn)的影響。

1　坐標(biāo)系建立

1.1球桌坐標(biāo)系

球桌坐標(biāo)系以球桌一角為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平行球桌長(zhǎng)度指向球網(wǎng)方向?yàn)閄軸方向，平行寬度方向?yàn)閅軸，垂直球桌向上為Z軸方向，建立的空間坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系；乒乓球飛行軌跡以球桌坐標(biāo)系為參考，由乒乓球位置參數(shù)描述。

1.2乒乓球隨體坐標(biāo)系

乒乓球隨體坐標(biāo)X、Y以及Z軸方向分別與球桌坐標(biāo)系X、Y以及Z軸方向平行，隨體坐標(biāo)系隨著乒乓球飛行軌跡運(yùn)動(dòng)；乒乓球在空中飛行在隨體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸方向上分解其速度和受力方向，分解得到隨體坐標(biāo)系下個(gè)方向速度參量，從而得到乒乓球在飛行時(shí)的位置參量。

2　載荷計(jì)算

乒乓球在飛行過(guò)程中受到較為多種外力的綜合作用：浮力、重力、空氣阻力以及由于乒乓球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的Magnus力。乒乓球飛行中某空間點(diǎn)乒乓球的飛行速度和旋轉(zhuǎn)軸垂直時(shí)，乒乓球旋轉(zhuǎn)球在飛行過(guò)程中所受到的作用力主要有Magnus升力、空氣阻力以及重力；其中重力是垂直向下的，空氣阻力與飛行速度在一條直線(xiàn)上方向相反，Magnus升力垂直飛行速度與旋轉(zhuǎn)速度所在平面，且三者成右手螺旋定則。

國(guó)際乒聯(lián)規(guī)定比賽所使用乒乓球球和球桌，其幾何參數(shù)分別為：乒乓球半徑2cm、乒乓球質(zhì)量2.7g、球桌尺寸274× 152.5×76 cm以及球桌網(wǎng)高15.25cm。

2.1空氣阻力

乒乓球在飛行過(guò)程中受到空氣阻力，其方向與速度方向相反，速度越大，空氣阻力越大，其計(jì)算表達(dá)式為：

式中：ρ—空氣密度，kg.m-3；r—乒乓球半徑，m；V—乒乓球速度，m.s-1；Cd—阻力系數(shù)，實(shí)驗(yàn)研究表明阻力系數(shù)由雷諾數(shù)Re 和速比SP 的函數(shù)決定，Cd表達(dá)式為：

式中，v—空氣運(yùn)動(dòng)粘度，m2s-1。

2.2Magnus 力

旋轉(zhuǎn)球在飛行過(guò)程因旋轉(zhuǎn)受到力的作用使其實(shí)際軌跡偏離其原有軌跡的現(xiàn)象稱(chēng)為Magnus 效應(yīng)，產(chǎn)生這種效力稱(chēng)為Magnus 力。1852 年，Magnus（Heinrich Gustav Magnus）實(shí)驗(yàn)研究了旋轉(zhuǎn)圓柱體的Magnus 效應(yīng)。流體（空氣）經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)球下方因球體旋轉(zhuǎn)速度方向與流體速度方向相反，因球體表面粘性作用使得流體速度減少，在其上方旋轉(zhuǎn)速度方向與流體速度方向相同使得流體速度增大。根據(jù)伯努利方程可知：球體下方壓力大于上方壓力，從而受到向上的作用力，該作用力大小以及作用力方向也就是Magnus力大小和方向。

研究提出，Magnus力的計(jì)算公式以及實(shí)驗(yàn)研究升力系數(shù)是雷諾數(shù)Re和速比SP的函數(shù)，Magnus力計(jì)算表達(dá)式為：

3　動(dòng)力學(xué)求解

3.1動(dòng)力學(xué)方程

乒乓球在隨體坐標(biāo)內(nèi)進(jìn)行受力分析，如圖1所示。

根據(jù)牛頓第二定律在各方向分解作用力以及加速度，建立三維力學(xué)方程：

圖1　旋轉(zhuǎn)乒乓球三維受力示意圖

圖3　乒乓球飛行軌跡

3.2初始條件

在圖3中給出3種不同情況下的初始條件，算例1的初始位置（X，Y，Z）為（0，3，0），環(huán)境溫度15℃，壓強(qiáng)1atm，空氣濕度0，初始速度8.34 m.s-1，角度為14℃，角度 為0℃，轉(zhuǎn)速54rps，旋轉(zhuǎn)軸角度（定義：沿水平速度方向，旋轉(zhuǎn)軸與垂直方向所夾的銳角）為-7℃；算例2相比較算例1僅環(huán)境溫度不同，算例2環(huán)境溫度為32度；算例3相比較算例2僅空氣相對(duì)濕度不同，算例3空氣相對(duì)濕度為1。

3.3數(shù)值求解

以乒乓球初始參數(shù)為計(jì)算輸入初始條件，采用如圖2所示的程序算法流程求解運(yùn)動(dòng)方程得到乒乓球飛行軌跡。在程序計(jì)算中當(dāng)乒乓球未過(guò)網(wǎng)超界、碰網(wǎng)以及過(guò)網(wǎng)超界，則判定為無(wú)效球，輸出其軌跡；當(dāng)乒乓球過(guò)網(wǎng)未超界且落回桌面判定為有效球并輸出軌跡；因無(wú)效球軌跡短飛行時(shí)間段，為避免誤差僅以有效球軌跡作為結(jié)果分析分析對(duì)象。

圖2　程序算法流程

注：m—乒乓球質(zhì)量，g；t—時(shí)間，s。

4　結(jié)果與分析

如圖3所示，乒乓球飛行軌跡圖分別給出3個(gè)算例在X軸位移和Y軸位移軌跡，Z軸方向高度和X軸方向位移軌跡圖。

綜合分析乒乓球飛行各方向上的運(yùn)動(dòng)軌跡，乒乓球飛行軌跡圖顯示，算例1在X軸方向最大位移199.34cm，Y軸方向最大位移131.72cm，Z軸方向最大高度19.79cm；算例2在X軸方向最大位移205.90cm，Y軸方向最大位移128.20cm，Z軸方向最大高度19.87cm；算例3在X軸方向最大位移208.19cm，Y軸方向最大位移127.97cm，Z軸方向最大高度19.89cm。

對(duì)比分析算例1和算例2，兩者初始條件僅有環(huán)境溫度不同，前者溫度15 ，而后者溫度為32℃，由圖3中XZ平面坐標(biāo)可知后者相對(duì)于前者即環(huán)境溫度高的X軸方向位移偏大以及Z軸方向高度偏高，圖3表明后者相對(duì)于前者Y軸方向位移偏?。环治鰧?duì)比算例2和算例3，兩者僅在初濕度不同，僅在X軸方向位移表現(xiàn)出明顯差別，在其他方向上沒(méi)有明顯差別；乒乓球軌跡變化是因?yàn)榄h(huán)境溫度以及空氣濕度變化影響密度變化，從而影響Magnus力大小變化。

5　結(jié) 論

給定不同的初始條件，求解動(dòng)力學(xué)方程得到不同初始條件下乒乓球飛行軌跡，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，主要得出以下結(jié)論。第一，環(huán)境溫度高時(shí)相比于環(huán)境溫度低時(shí)，在X軸方向位移大6.56cm，Y軸方向位移小3.52cm，Z軸方向位移大0.08cm；環(huán)境溫度變高使得乒乓球軌跡X軸方向邊長(zhǎng)，Y軸方向位移縮短，Z軸方向高度變高；第二，空氣濕度大的相比于濕度小的在X軸方向位移大2.28cm，其他方向沒(méi)有明顯影響；第三，環(huán)境溫度的變化相比于空氣濕度的變化對(duì)乒乓球軌跡的影響更明顯。

［ 1 ］劉北湘.運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)運(yùn)動(dòng)技術(shù)分析與評(píng)價(jià)［ M ］.成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社.

［ 2 ］岳湘安. 液-固兩相流基礎(chǔ)［ M ］.北京：石油工業(yè)出版社，1996.

［ 3 ］楊燁. 全國(guó)體育院校2005屆本科生優(yōu)秀畢業(yè)學(xué)士論文集［ M ］.北京：人民體育出版社， 2006.

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1674-151X（2016）05-023-02

10.3969/j.issn.1674-151x.2016.10.012

投稿日期：2015-04-07

余萬(wàn)（1994—），在讀碩士研究生。研究方向：計(jì)算方法和數(shù)值模擬。