金國林

(浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學，315200)

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○短文集錦○

例談三倍角公式的應(yīng)用

金國林

(浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學，315200)

正余弦函數(shù)的三倍角公式作為一個證明題出現(xiàn)在人教A版必修4習題3.1的B組中.盡管如此,由于平時運用公式解決問題的機會不多,學生對三倍角公式還是比較陌生的,有些問題也聯(lián)想不到三倍角公式上去.但是三倍角公式卻是許多試題的題源,受到高校自主招生和各類競賽命題者的青睞.針對這種情況,筆者舉例來簡單談?wù)劰降某Ｒ姂?yīng)用,以饗讀者.

一、熟悉公式

容易證明三倍角公式：

sin 3x=3sin x-4sin3x;

cos 3x=4cos3x-3cos x;

二、計算特殊角的三角函數(shù)值

例1計算sin 18°.

解由sin 54°=cos 36°，可得

3sin 18°-4sin318°=1-2sin218°，

評注學生一般對15°的倍數(shù)角的三角函數(shù)值非常熟悉.事實上，18°角也是一個非常重要的特殊角,在很多方面有很好的應(yīng)用．

三、判斷三角函數(shù)值的特性

例2證明tan 3°是無理數(shù)

評注本題是2014年北約自主招生試題.利用反證法,結(jié)合正切函數(shù)的三倍角公式,不難得到證明.

四、三角恒等式的化簡、求值

例3化簡下式：

解由sin 3θ=3sinθ-4sin3θ,得

=1+2cos 2θ.

評注將公式進行變形后運用,往往能取得意想不到的效果．

五、在三次方程中的應(yīng)用

例4設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+1有三個不同的零點α,β,γ,且α<β<γ，求證:β2-γ2=α-β.

證明由題意f(-2)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0，

故α∈(-2,0),β∈(0,1),γ∈(1,2).

評注本題是一道2009年的匈牙利數(shù)學競賽題.觀察三次方程的系數(shù)特點,巧妙聯(lián)系正弦三倍角公式,將方程的三個根以三角函數(shù)值的形式簡潔表示,回避了繁雜的根式表達,大大簡化了后續(xù)運算.

六、求解高次方程組

例5求出滿足下面方程組的所有五元數(shù)組(x,y,z,v,w),其中x,y,z,v,w∈[-2,2].

解設(shè)x=2cosθ1,y=2cosθ2,z=2cosθ3,v=2cosθ4,w=2cosθ5,θi∈[0,π].

又cos 5θ=cos 2θcos 3θ-sin 2θsin 3θ

=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ，

則2cos 5θ=(2cosθ)5-5(2cosθ)3

+5(2cosθ).

由題設(shè)條件,我們得2cos 5θ1+2cos 5θ2+2cos 5θ3+2cos 5θ4+2cos 5θ5=-10.

根據(jù)余弦函數(shù)的有界性,得

cos 5θ1=cos 5θ2=cos 5θ3=cos 5θ4

=cos 5θ5=-1，

評注本題利用常規(guī)的消元法處理有一定難度,不容易找到一個平衡點，利用多倍角公式的系數(shù)特點,可以從整體上快速得到解決.

七、命制試題的源泉

例6設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1,若對于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為______.

評注本題是2008年的江蘇高考題,答案是a=4.本題主要考察利用導數(shù)處理含參函數(shù)的恒成立問題,有一定難度,需要很強的綜合能力.事實上,本題的命制背景就是正弦函數(shù)的三倍角公式sin 3x=3sin x-4sin3x,熟悉公式的同學應(yīng)該可以馬上得到答案.

最后提供幾個可以利用三倍角公式解決的練習,并附有提示,感興趣的讀者不妨嘗試一下.

3.(2013年清華大學數(shù)學金秋營)已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1.

(1)證明:函數(shù)f(x)有三個零點a

(3)定義映射

f:(a,b,c)→{a,b,c},f(t)=t2-2,

求f(a),f(b),f(c).

練習提示

即x6-21x4+35x2-7=0.

3.提示:參考例4.

故M=2(cos 3θ1+cos 3θ2+…+cos 3θ2013)≤4 026.

(2)證明:若x=t是f(x)的一個零點,則x=t2-2也是f(x)的一個零點;