周順鈿

(浙江省杭州高級中學，310003)

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○數學探究○

阿波羅尼斯圓的探究及其應用

周順鈿

(浙江省杭州高級中學，310003)

一、問題背景

我們知道,到兩定點的距離之和為定值(定值大于兩定點間的距離)的點的軌跡是橢圓,到兩定點的距離之差為定值(定值大于零且小于兩定點間的距離)的點的軌跡是雙曲線．那么，到兩定點的距離之商為定值(定值大于零且不等于1)的點的軌跡是什么呢?這就是由公元前3世紀下半葉古希臘數學家阿波羅尼斯(Apollonius of Perga,公元前262-公元前190)提出的幾何作圖問題,載于他的《論接觸》中,惜原書已失傳．

若避開純幾何解決方法，我們從解析法探究：設兩個定點的坐標為A(-a,0),B(a,0),動點P的坐標為(x,y).

(x+a)2+y2=k2[(x-a)2+y2],

展開化簡，得

于是,平面內到兩個定點的距離之比為常數k(0

現行中學數學教材在編寫時都十分重視對數學歷史題材的挖掘和應用.如，蘇教版數學選修2-1在第二章《圓錐曲線和方程》第63頁例2：“求平面內到兩定點距離之比等于2的動點M的軌跡方程”就是對阿波羅尼斯圓的開發(fā)與應用.

二、阿波羅尼斯圓的靈活應用舉例

例1在直角坐標平面上,已知點A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0)．點M是線段AD上的動點,如果|AM|≤2|BM|恒成立,求正實數t的最小值．

評注本題的關鍵是將問題轉化為直線與圓的位置關系．

例2(2013年江蘇高考題)如圖1，在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),設圓C的半徑為1,圓心C在直線l:y=2x-4上．

(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

解(1)所求切線方程為y=3或者3x+4y-12=0．(過程略)

(2)設M(x,y),由|MA|=2|MO|,可得點M的軌跡為阿波羅尼斯圓

D:x2+(y+1)2=4．

由題意,點M應該既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有公共點．設圓心C(a,2a-4),則

≤|2+1|,

評注解決本題(2)的關鍵是轉化為兩圓的位置關系．

解由點M知,∠AKC=∠BKC,

即KC為∠AKB的平分線(如圖2),所以

記A(-a,0),B(a,0),K(x,y),其中a>0,則點K的軌跡為阿波羅尼斯圓

當且僅當r=2時取等號．

評注本題通過對隱晦條件的層層剖析,揭示了點K的軌跡即為阿波羅尼斯圓,于是問題的背景便豁然開朗．

三、對阿波羅尼斯問題的進一步探究

對于阿波羅尼斯問題,如果給予定點、定值、圓心、半徑等相關的要素進行不同的組合,還可以作進一步的探究．

解設P(x,y),則

(x+2)2+y2=λ2[(x-4)2+y2],

展開化簡得

與圓C:(x+4)2+y2=16相比較，得

4[(x-a)2+y2]=(x-b)2+y2,

化簡得

評注上述兩題本質上是阿波羅尼斯圓的逆向探究問題．

例6(2015年湖北高考題)如圖3,圓C與x軸相切于點T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標準方程為______.

(2)過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

其中正確結論的序號是______.(寫出所有正確結論的序號)

OA·OB,故?OAN∽?OBN,從而∠ONA=∠OBN.

同理,?OAM∽?OBM,得∠OMA=∠OBM(如圖4)．

又由OM=ON,得∠OMA=∠ONA,于是∠OBM=∠OBN.

所以②③也成立．

數學探究教學是數學知識“再創(chuàng)造”和“再現”的重要方式．在探究活動中,教師應把自己的精力放在鼓勵學生觀察分析、自主探索和合作交流上.開放性是探究學習的一個重要特征,教師應創(chuàng)建一個開放的課堂教學體系,給學生營造一個寬松、和諧、民主的心理氛圍,不限制學生思考問題的方向和角度,不預設探究的結果和產物,從而保證探究活動的有效性．