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高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},則UA=______.

2.已知復(fù)數(shù)z1=1+3i,z2=3+i(i為虛數(shù)單位)，在復(fù)平面內(nèi),z1-z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第______象限.

3.命題:“?x∈R,|x|≤0”的否定是______.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=8x上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為______.

5.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足

則z=3x+2y的最大值是______.

6.如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸入x的值為2,則輸出y的值是______.

8.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩個(gè)城市連續(xù)5天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)如下:

城市空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112

則空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)較為穩(wěn)定(方差較小)的城市為______(填甲或乙).

11.若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|a+b|≤2a·b,則cos(α-β)的值是______.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+b是曲線y=aln x的切線,則當(dāng)a>0時(shí),實(shí)數(shù)b的最小值是______.

14.若函數(shù)f(x)=ax2+20x+14 (a>0)對(duì)任意實(shí)數(shù)t,在閉區(qū)間[t-1,t+1]上總存在兩實(shí)數(shù)x1、x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為______.

二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB1⊥BC,且AA1=AB.

(1)求證:AB∥平面D1DCC1;

(1)求tan B的值;

(2)若c=2,求?ABC的面積.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)≥a-1對(duì)一切x>0成立,求a的取值范圍.

(1)求矩形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)矩形鐵片ABCD的面積最大時(shí)，求cosθ的值.

(1)求橢圓的方程;

(2)求直線AB的斜率.

20.(本小題滿分16分)已知等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}滿足a1+a2=a3,b1b2=b3,且a3,a2+b1,a1+b2成等差數(shù)列,a1,a2,b2成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)按如下方法從數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}中取項(xiàng):

第1次從數(shù)列{an}中取a1,

第2次從數(shù)列{bn}中取b1,b2,

第3次從數(shù)列{an}中取a2,a3,a4,

第4次從數(shù)列{bn}中取b3,b4,b5,b6,

……

第2n-1次從數(shù)列{an}中繼續(xù)依次取2n-1個(gè)項(xiàng),

第2n次從數(shù)列{bn}中繼續(xù)依次取2n個(gè)項(xiàng),

……

由此構(gòu)造數(shù)列{cn}:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12,…,記數(shù)列{cn}的前n和為Sn.求滿足Sn<22014的最大正整數(shù)n.

參考答案

一、填空題

1.{3,5}；2.二；3.?x∈R,|x|>0；

二、解答題

15.(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB?平面D1DCC1,CD?平面D1DCC1,

所以AB∥平面D1DCC1.

(2)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形A1ABB1為平行四邊形,又AA1=AB,故四邊形A1ABB1為菱形，從而AB1⊥A1B.

又AB1⊥BC,而A1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.

16.(1)由正弦定理,得

sin C=-3sin Bcos A,

即sin(A+B)=-3sin Bcos A，

所以sin Acos B+cos Asin B=-3sin Bcos A，

從而sin Acos B=-4sin Bcos A.

所以?ABC的面積為

17(1)由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知,我們只要討論f(x)在區(qū)間(-∞,0)的單調(diào)性即可.

① 當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,故f(x)在區(qū)間(-∞,0)單調(diào)遞增.

② 當(dāng)a>0時(shí),x ∈(-∞,-a),f′(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,-a)單調(diào)遞增.

x ∈(-a,0),f′(x)<0,所以f(x)在區(qū)間(-a,0)單調(diào)減.

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí),f(x)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞);當(dāng)a>0時(shí),f(x)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-a,0),(0,a).

(2)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí),

f(x)=-f(-x)

② 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x-1>-1=a-1對(duì)一切x>0成立,故a=0滿足題設(shè)要求.

③ 當(dāng)a>0時(shí),由(1)可知f(x)在(0,a)是減函數(shù),在(a,+∞)是增函數(shù).

所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1,所以a>0時(shí)也滿足題設(shè)要求.

綜上所述,a的取值范圍是[0,+∞).

18.設(shè)矩形鐵片的面積為S,∠AOM=θ.

AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ,

S=AB×AD=(4cosθ+2)(2×4sinθ)

=16sinθ(2cosθ+1).

AB=2×4cosθ,AD=2×4sinθ,

故S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin 2θ.

綜上，得矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為

S′=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]

=16(4cos2θ+cosθ-2)，

θ(0,θ0)θ0θ0,π3()S'+0-S增函數(shù)極大值減函數(shù)

19.(1)依題意,有

解得a2=4,b2=1，

③

設(shè)B(x2,y2),同理可得

④

20.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,依題意,得

解得a1=d=1,b1=q=2，

故an=n,bn=2n.

(2)將a1,b1,b2記為第1組,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6記為第2組,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12記為第3組,…以此類推,則第n組中,有2n-1項(xiàng)選取于數(shù)列{an},有2 n項(xiàng)選取于數(shù)列{bn},前n組共有n2項(xiàng)選取于數(shù)列{an},有n2+n項(xiàng)選取于數(shù)列{bn},記它們的總和為Pn,并且有

>0,

<0.

可得到符合Sn<22 014的最大的

n=452+2 012=4 037.

(2)求證:AB1⊥平面A1BC.