華瑞芬

(安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)，234213)

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巧用函數(shù)單調(diào)性解題

華瑞芬

(安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)，234213)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它不但是高考重點(diǎn)考察的熱點(diǎn)之一,而且它的思想方法貫串于高中數(shù)學(xué)的始終.函數(shù)的單調(diào)性又是函數(shù)的一條非常重要的性質(zhì),它的應(yīng)用十分廣泛．在解題的過(guò)程中,若能深入地挖掘潛在條件,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出相應(yīng)的單調(diào)函數(shù),巧妙地運(yùn)用該性質(zhì),將會(huì)起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用,常常會(huì)收到出奇不意的效果,達(dá)到快速簡(jiǎn)捷求解的目的．下面舉例說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性在解題中的應(yīng)用,目的在于使同學(xué)們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有更清醒的認(rèn)識(shí)和更深刻的理解,并能夠靈活地運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決一些實(shí)際問(wèn)題,以提高大家利用函數(shù)思想解題的能力．

一、比較大小

如果待比較的兩個(gè)數(shù)或式子是同一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,常借助于函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較,有時(shí)需要先構(gòu)造函數(shù)．

例1設(shè)f (x)=x2+bx+c對(duì)任意的實(shí)數(shù)t,都有f (2+t)=f (2 — t),試判斷f (1)、f (2)、f (4)的大小．

解由f(2+t)=f(2-t) 知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,且f (x)在[2,+∞)上是增函數(shù),所以f(2)

則由不等式的傳遞性,知

二、求值(值域)

對(duì)于某些待求代數(shù)式的值,可視為相應(yīng)函數(shù)的一個(gè)特殊值,再利用該函數(shù)的單調(diào)性,把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等,進(jìn)而巧妙獲解．

解由條件， (2y)3+sin(2y)+2a=0.設(shè)f(t)=t3+sin t,則f (x)=f (-2y)=2a,而f (t)在R上是增函數(shù),所以x=-2y,x+2y=0,cos(x+2y)=1.

解令cos x=t,則

∵0≤x≤π,∴-1≤t≤1．

而f (t) 在t∈[-1,1]上遞增,

∴f(-1)≤f (t)≤f (1)．

三、解不等式

有些不等式是由抽象函數(shù)式組成的,通過(guò)單調(diào)性才能轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,進(jìn)而求出不等式的解．

于是原不等式可化為log5(1+4t)>t,則

例6已知f (x)對(duì)任意的x,y∈R都滿足條件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>2,f(3)=5．解不等式：

f (a2-2a-2)<3．

解設(shè)x2>x1>0，則

x2-x1>0,故有f (x2-x1)>2．

∵f (x2)=f [(x2-x1)+x1]

=f (x2-x1)+f (x1) -2>f(x1),

∴f (x)為單調(diào)增函數(shù)．

∵f (3)=f (2+1)=f (2)+f (1)-2

=[f (1)+f (1)-2]+f (1)-2

=3f (1)-4,

又∵f (3)=5,∴f (1)=3，

∴f (a2-2a-2)

故不等式的解為-1

四、證明不等式(等式)

設(shè)m>0,n>0,∵y=xα(α>0) 在 (0,+∞) 上單調(diào)遞增,

∴am- bm與an-bn必同號(hào),或同為0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)),從而

(am-bm) (an-bn)≥0 ，

即am+n+bm+n≥ambn+anbm，

綜上，得證.

評(píng)注原不等式等價(jià)于am+n+bm+n≥ambn+anbm?(am-bm) (an-bn)≥0,這可由冪函數(shù)y=xα(α>0) 在 (0,+∞) 上遞增而得到．

該題可拓展:令m=sin2α,n=cos2α,則

a+b≥asin2αbcos2α+acos2αbsin2α．

例8設(shè)a,b>0,ab=ba,且a <1,試證：a=b．

證明取y=ax,當(dāng)0

∴ab>aa>ba,這與已知ab=ba相矛盾,故b

當(dāng)0

∴ab

這與已知ab=ba也相矛盾,故a

五、解方程

例9解方程3x+4x=5x.

六、判斷方程根的個(gè)數(shù)

例10已知函數(shù)f (x)=2x+lg(3x+1)的反函數(shù)為f-1(x),試判斷方程f-1(x)=2實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解容易看出f (x)是定義在 (-∞,+∞)上的增函數(shù),則其反函數(shù)在它的定義域上也為單調(diào)增函數(shù).由f (2)=5可知,f-1(x)=2有解x=5．

又據(jù)單調(diào)性可知,x=5是方程f-1(x)=2的唯一解，即該方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為1個(gè).