山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　(252000)

姜曉潔*　于興江

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一題多解與一題多究

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(252000)

姜曉潔*于興江

一題多解與一題多究可以深入了解題目的設(shè)計(jì)意圖、設(shè)計(jì)方法，牢固掌握題目相關(guān)知識(shí)，是中學(xué)教師提升自身知識(shí)素質(zhì)的最佳途徑.筆者就2015年高考理科數(shù)學(xué)四川卷第20題為例，進(jìn)行了多解分析和推廣探究,并將本題推廣到雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)上，得到了相似的結(jié)論.

1　原題呈現(xiàn)

圖1

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

2　解法探究

|QD|.因此Q點(diǎn)在y軸上，設(shè)Q(0,y0).

圖2

圖3

以下證明，對(duì)任意的直線(xiàn)l，Q(0,2)均滿(mǎn)足條件.

如圖3，當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，顯然成立，以上已證.

當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

圖4

解法2:由解法1可知，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，則只能是Q(0,2).以下證明，對(duì)任意的直線(xiàn)l，Q(0,2)均滿(mǎn)足條件.

3　推廣探究

以下證明，對(duì)任意的直線(xiàn)l，Q(0,b2)均滿(mǎn)足條件.

(a2k2+b2)x2+2a2kx+a2-a2b2=0.

圖5

圖6

圖7

圖8

以下證明，對(duì)任意的直線(xiàn)l，Q(a2,0)均滿(mǎn)足條件.

[1]柳俊婷，于興江，“圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)”再探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2015，11.

[2]李靜，于興江.一道高考題的多解及推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2013，12.

[3]孫玉英，于興江.探究 引申 剖析 啟示— 一道高考題的賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2013，10.

[4]柳俊婷，于興江， 2015年山東理科第20題的多解分析及探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2015，8.

* 作者現(xiàn)為2015級(jí)碩士研究生.