浙江省金華市第六中學　(321000)

虞　懿

?

賞析2015年高考客觀題中的定義閱讀題

浙江省金華市第六中學(321000)

虞懿

定義閱讀題是通過新定義一種函數(shù)、運算、集合、符號、性質等，要求學生在短時間內閱讀并理解試題所給的新型定義，進而解決問題的一種重要題型．定義閱讀題常以“新定義”為載體考查學生學習新知識的能力，特別是能將所學知識與方法遷移到不同情境中，進而考查學生的理性思維和數(shù)學素養(yǎng)．下面采擷幾道典型試題并予以深度解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法．

一、定義新函數(shù)

“定義新函數(shù)”試題是指在現(xiàn)有的函數(shù)的圖像和性質的基礎上定義一種新的函數(shù)性質等，即給出一定容量的新信息，并運用它解決一些問題．

A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|

C．|x|=|x|sgnxD．|x|=xsgnx

解析：當x>0時，|x|=x,sgnx=1,則|x|=xsgnx;當x=0時，|x|=x=0,sgnx=0,則|x|=xsgnx;當x<0時，|x|=-x,sgnx=-1,則|x|=xsgnx,故選D．

評注：破解新定義函數(shù)題的關鍵是：緊扣新定義函數(shù)的含義，學會語言的翻譯，新舊知識的轉化，便可使問題順利獲解．

A．sgn[g(x)]=sgnx

B．sgn[g(x)]=-sgnx

C．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

評注：本題主要考查符號函數(shù)、函數(shù)的單調性，意在考查考生分析問題、解決問題的能力．

例3(2015年湖北卷理10)設x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若存在實數(shù)t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同時成立，則正整數(shù)n的最大值是().

A．3B．4C．5D．6

評注：取整函數(shù)[x]是一個非常重要的數(shù)學概念，其定義和性質非常簡單，正因為如此，在解決與之相關的問題時，可以依據(jù)的命題、法則不多，規(guī)律性不明顯，但解法變化大，靈活性強．需要用到多種數(shù)學思想方法，其中較為常見的有分類討論(例如對區(qū)間進行劃分)、命題轉換(例如等式轉化為不等式)、數(shù)形結合等．

二、定義新符號

“定義新符號”試題是指在現(xiàn)有的符號的基礎上定義一種新符號，運用它解決一些新的問題．

例4(2015年廣東卷文10)若集合Ε={(p,q,r,s)|0≤p

A．50B．100C．150D．200

解析：當s=4時，p,q,r都是取0,1,2,3中的一個，有4×4×4=64種；當s=3時，p，q,r都是取0,1,2中的一個，有3×3×3=27種；當s=2時，p,q,r都是取0,1中的一個，有2×2×2=8種；當s=1時，p,q,r都取0，有1種，所以card(Ε)=64+27+8+1=100.當t=0時，u取1,2,3,4中的一個，有4種；當t=1時，u取2,3,4中的一個，有3種；當t=2時，u取3,4中的一個，有2種；當t=3時，u取4，有1種，所以t,u的取值有1+2+3+4=10種，同理，v,w的取值也有10種，所以card(F)=10×10=100，所以card(Ε)+card(F)=100+100=200.故選D．

評注：求解此類以符號新定義包裝的判斷集合的元素個數(shù)題的關鍵是過好兩關：第一關：理解關，即準確理解符號的數(shù)學意義，并能適時進行符號語言、文字語言、圖象語言間的轉譯；第二關：分類討論關，即對集合中的元素所具有的特點進行分類討論．

例5(2015年浙江卷理6)設A,B是有限集，定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素個數(shù).

命題①：對任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件；命題②：對任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).則().

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

解析：由題意，d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,對于命題①，A=B?card(A∪B)=card(A∩B)?d(A,B)=0,所以A≠B?d(A,B)>0,命題①成立．對于命題②，由韋恩圖易知命題②成立，下面給出嚴格證明：d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)?card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)?card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B)?card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B).因為card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0,故命題②成立．故選A.

評注：本題主要考查集合的新定義問題，考生需要運用數(shù)形結合思想進行檢驗推證，特別是對于命題②的推理需要分類討論．

三、定義新運算

“定義新運算”試題是指在現(xiàn)有的運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算，運用它解決一些問題．該題型常以數(shù)學新的運算符號形式出現(xiàn)，如定義新的運算符號“?、⊕、⊙、*”等．

評注：本題是新定義閱讀題，主要考查利用基本不等式求最值等有關知識，考查考生的閱讀理解能力和運算求解能力．

例7(2015年福建卷理15)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n) 稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于_________．

解析:由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運算后為0,不同數(shù)字運算后為1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個數(shù)字出錯，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個數(shù)字沒錯，即出錯的是第4個或第5個數(shù)字，由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯的是第5個數(shù)字.綜上，第5位發(fā)生碼元錯誤．

評注：本題考查新定義、推理等基礎知識，意在考查考生處理新定義問題的能力、推理論證能力以及運算求解能力．求解此類問題的關鍵是讀懂新定義，在領會新定義的基礎上，明晰新定義的內涵和外延，將其轉化并運用到新情境中，進而判斷參數(shù)k的值．

四、定義新集合

“定義新集合”試題是指定義一個新集合，其元素滿足某些條件，解此類問題旨在考查對集合中元素特征的研究以及數(shù)學解題思想的運用能力．

例8(2015年湖北卷理9、文10)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個數(shù)為().

A．77B．49C．45D．30

解析：由題意知，A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,0),(0,1),(0,-1)},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},所以由新定義集合A⊕B可知，x1=±1,y1=0或x1=0,y1=±1.當x1=±1,y1=0時，x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2=-2,-1,0,1,2,所以此時A⊕B中元素的個數(shù)有7×5=35個；當x1=0,y1=±1時，x1+x2=-2,-1,0,1,2,y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,這種情形下和第一種情況下除y1+y2的值取-3或3外均相同，即此時有5×2=10,由分類計數(shù)原理知，A⊕B中元素的個數(shù)為35+10=45個，故應選C.

評注：本題主要考查集合的新定義問題，意在考查考生的閱讀理解能力與數(shù)據(jù)處理能力．

感悟：結合上述高考試題，可歸納出定義閱讀題的求解通常分三大步驟進行：(1)對新定義進行信息提取，確定化歸方向；(2)對新定義所提取的信息進行加工，探究解決方法；(3)對新定義中提取的信息進行轉換，有效地輸出．其中對新定義信息的提取和化歸轉化是求解的關鍵，也是求解的難點．