梁　棟，馬金龍，劉志強(qiáng)，王云燕

(1.河北工業(yè)大學(xué)　土木工程學(xué)院，天津　300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津　300401)

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拱、彎梁與索空間組合橋梁的成橋調(diào)索方法

梁棟1,2，馬金龍1，劉志強(qiáng)1，王云燕1

(1.河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津300401)

利用修正的Ernst 公式考慮吊索幾何非線性，以影響矩陣法為理論基礎(chǔ)，以目標(biāo)索力差值和拱肋橫向位移為雙控制目標(biāo)，采用以彎曲應(yīng)變能最小為約束條件的最小能量法進(jìn)行拱、彎梁與索空間組合結(jié)構(gòu)的索力優(yōu)化計(jì)算，約束最優(yōu)方法求解出拱、彎梁與索空間組合結(jié)構(gòu)的施調(diào)索力、最優(yōu)調(diào)索順序以及調(diào)索過程索力控制終值。結(jié)合世界上跨度最大的拱、彎梁與索組合結(jié)構(gòu)的工程調(diào)索實(shí)例，利用有限元法實(shí)現(xiàn)了調(diào)索計(jì)算。結(jié)果表明，該方法所確定的調(diào)索張拉順序、施調(diào)索力能夠滿足調(diào)索施工控制要求，最終成橋狀態(tài)亦達(dá)到設(shè)計(jì)要求，為今后類似結(jié)構(gòu)的調(diào)索工程提供了重要參考。

橋梁工程；索力調(diào)整；影響矩陣?yán)碚?；空間受力體系；最優(yōu)調(diào)索順序

0　引言

隨著計(jì)算手段與施工技術(shù)的提高，利用拉索或吊桿形成的空間結(jié)構(gòu)在工程中日趨廣泛，如昌平綜合體育館、張家口通泰大橋等。橋梁結(jié)構(gòu)，特別是受力復(fù)雜的拱、彎梁與索空間組合結(jié)構(gòu)在長期的運(yùn)營過程中，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和線形都會(huì)不斷地發(fā)生變化。當(dāng)變化超出了設(shè)計(jì)預(yù)期，甚至造成了嚴(yán)重病害時(shí)，就需要進(jìn)行調(diào)索，以恢復(fù)其合理的成橋狀態(tài)[1]。在這個(gè)過程中，設(shè)計(jì)一套合理的調(diào)索方案，以滿足組合結(jié)構(gòu)橋梁在運(yùn)營階段的受力要求，并實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)的長期變形特性，是調(diào)索工作的重要前提[2]。

國內(nèi)外開展索力調(diào)整的主要計(jì)算方法包括最小二乘法、彎曲能量最小法、彎矩最小法和影響矩陣法。最小二乘法是反復(fù)迭代計(jì)算后使誤差的平方和達(dá)到最小[3]；彎曲能量最小法是使結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能這一目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最??；而彎矩最小法則是以彎矩平方和作為目標(biāo)函數(shù)，使之達(dá)到最??；影響矩陣法將截面內(nèi)力、應(yīng)力或位移等受調(diào)向量通過影響矩陣與索力這一施調(diào)向量聯(lián)系起來，可同時(shí)對(duì)多種目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[4]。

針對(duì)通泰大橋的調(diào)索工作，本文利用修正的Ernst 公式考慮該橋拉索幾何非線性，以影響矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，以目標(biāo)索力差值和拱圈橫向位移作為控制雙目標(biāo)，求解了施調(diào)索力、最優(yōu)調(diào)索順序以及調(diào)索過程中的索力控制終值。

1　通泰大橋調(diào)索工程概況

通泰大橋位于河北省張家口市，是世界上跨度最大的下承式鋼結(jié)構(gòu)吊索拱橋，主跨190 m，雙向6車道，總寬34 m，設(shè)計(jì)行車速度60 km/h，抗震烈度7度。主梁跨徑190 m，位于R=600 m的平曲線上，兩端均設(shè)限位設(shè)施，并分別設(shè)置固定支座和活動(dòng)支座；拱肋跨徑180 m，矢高62.1 m，矢高比1/2.897 7，在平面上為直拱。拱肋斜跨主梁兩側(cè)，通過28根長短不同，方向各異的空間吊索與主梁連接，構(gòu)成了受力復(fù)雜的大跨徑拱、彎梁與索空間組合結(jié)構(gòu)，通泰大橋如圖1所示。該橋自2008年12月建成通車以來，經(jīng)過長年的使用，特別是一些超限重車的通行，使通泰大橋出現(xiàn)了包括支座脫空在內(nèi)的病害。為防止病害進(jìn)一步發(fā)展，進(jìn)而危及主橋的結(jié)構(gòu)安全，本文開展了相應(yīng)的調(diào)索計(jì)算及調(diào)索施工控制作為病害處理措施的主要部分。

圖1　拱、彎梁與索空間組合的通泰大橋(單位：cm)Fig.1　Arch, curved beam and cable composed Tongtai bridge (unit:cm)

2　通泰大橋調(diào)索分析計(jì)算

2.1索單元的幾何非線性處理

由于拉索是通泰大橋的主要受力構(gòu)件，因此拉索在計(jì)算過程中的分析就成為重要內(nèi)容之一。為了提高拉索計(jì)算的精確性，人們研究了等效彈性模量法、多節(jié)點(diǎn)單元、多根直鏈桿法、多根直梁單元、曲線梁單元和忽略抗彎剛度的柔索單元等[5]來模擬柔性拉索構(gòu)件。

通泰大橋共有28根長短不同、方向各異的拉索，最長索為76.8 m，最短索為29.6 m，拉索的外徑有100，105 mm和110 mm 3種規(guī)格，按不同角度和位置分別布置在拱肋兩側(cè)，在分析中有必要考慮其幾何非線性，以保證調(diào)索工作的順利實(shí)施。目前，等效彈性模量法由于其操作簡便、精度可靠等特點(diǎn)，是索構(gòu)件幾何非線性處理過程中比較常用的方法。Ernst 在1965 年給出了著名的Ernst 公式[6]，即用兩節(jié)點(diǎn)桿單元彈性模量的改變來模擬索的張力與位移之間的非線性關(guān)系。

(1)

式中，Eeq為等效彈性模量；E0為索的材料彈性模量；L為索的水平投影長度；γ為索的單位體積質(zhì)量，即重度；σ為索的應(yīng)力。

如果考慮拉索傾角引起的切向自重荷載，修正的Ernst 公式[7]為：

(2)

式中，σ1為索變形后的應(yīng)力，

結(jié)合通泰大橋的工程實(shí)際，本文采用式(2)中修正的Ernst 公式來考慮其吊索的幾何非線性。

2.2考慮目標(biāo)索力差值和拱頂橫向位移的影響矩陣法

影響矩陣法[8-10]是一種常用的索力優(yōu)化方法，它將優(yōu)化的多種目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一用索力變量與廣義影響矩陣表示，實(shí)現(xiàn)了用一種方法對(duì)多種目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)由于編程方便，因此獲得了廣泛應(yīng)用。

由于通泰大橋受力的空間性，特別是彎梁與直拱肋斜交，在左右對(duì)稱性方面牽一發(fā)而動(dòng)全身，在調(diào)索過程中要確保拱肋的橫向穩(wěn)定性?；诖耍疚尼槍?duì)通泰大橋建立了綜合考慮目標(biāo)索力差值和拱頂橫向位移的雙目標(biāo)影響矩陣法。已知每根拉索的初始索力Fc和目標(biāo)索力Tm，在拉索張拉之前的原始狀態(tài)下，分別給每一拉索施加單位力1，分別計(jì)算出該單位力對(duì)索力和拱頂橫向位移的變化量，即索力差值和拱頂橫向位移的影響矩陣。

橋梁結(jié)構(gòu)體系在調(diào)索之前已然形成，此狀態(tài)可作為通泰大橋的既有初始狀態(tài)。該狀態(tài)下，索力的初始狀態(tài)向量Fc為：

(3)

令通泰大橋的索力影響矩陣為Mc，則Mc為28×28階的矩陣。其中元素Mcij表示在j號(hào)拉索增加單位力1的索力時(shí)，i號(hào)索索力的變化值。設(shè)索力目標(biāo)值為FT，索力調(diào)整值為FS，則

(4)

則，索力調(diào)整值FS為

(5)

令通泰大橋的拱頂橫向位移影響向量為Ma，Ma為28×28階的正對(duì)角陣，其中元素Majj表示在j號(hào)拉索增加單位力1的索力時(shí)，拱頂橫向位移的變化值。當(dāng)索力調(diào)整值為FS時(shí)，則拱頂橫向位移的變化值δa為：

(6)

2.3調(diào)索順序的優(yōu)化問題

假設(shè)通泰大橋處于線彈性狀態(tài)，即滿足線性疊加原理，求出施調(diào)索力向量后，采用任何一種張拉順序都能使該橋的索力達(dá)到目標(biāo)值。為保證調(diào)索過程中的結(jié)構(gòu)安全和施工方便性，必須找到一種最優(yōu)的張拉順序以保證調(diào)索施工期間的結(jié)構(gòu)安全[11]。在此，本文確定了調(diào)索后的實(shí)際索力與設(shè)計(jì)值之間的差值Fcs和拱頂橫向位移δa兩個(gè)目標(biāo)要同時(shí)達(dá)到最小，因此目標(biāo)函數(shù)向量為：

(7)

根據(jù)通泰大橋主梁抗彎、抗剪、拱肋抗壓、抗彎、拉索抗拉的計(jì)算要求，以及結(jié)構(gòu)的剛度要求等32個(gè)約束不等式，約束可表示為：

(8)

可以將上述雙目標(biāo)優(yōu)化問題歸結(jié)為以下向量極小化問題，即

(9)

對(duì)向量極小化問題的求解有多種方法，本文選用評(píng)價(jià)函數(shù)法中的線性加權(quán)和法進(jìn)行計(jì)算。限于篇幅，本文在此只給出該方法的主要計(jì)算步驟[12]如下：

(2)評(píng)價(jià)函數(shù)u(f)是綜合了兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)后得到的數(shù)值函數(shù)，因此，向量極小化問題轉(zhuǎn)化成了極小化公式的數(shù)值函數(shù)。

(3)為避免目標(biāo)函數(shù)的“淹沒現(xiàn)象”，對(duì)目標(biāo)函數(shù)向量實(shí)行無量綱化，使各目標(biāo)函數(shù)均處于同一數(shù)量級(jí)。

(4)采用均差排序法在有效解中挑選一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)(7)都盡可能小的解，從而使其有一個(gè)最好的協(xié)調(diào)。

2.4有限元分析模型

本文采用有限元分析軟件Midas-Civil進(jìn)行通泰大橋調(diào)索過程的仿真分析。以設(shè)計(jì)施工圖提供的截面、材料與尺寸為依據(jù)，利用空間梁單元模擬拱肋和主梁，共443個(gè)空間梁單元；吊索模擬為空間桁架單元，共28個(gè)，通過在材料特性中人為定義吊索對(duì)應(yīng)桁架單元的彈性模量，即利用式(2)來實(shí)現(xiàn)對(duì)其非線性的考慮；拱腳處采用固結(jié)，主梁兩端采用單向豎向支撐；在主梁和拱肋與吊索連接位置分別建立節(jié)點(diǎn)，采用Midas彈性連接中的剛性連接與梁單元連接。選取拱腳端部連線為x軸，連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立整體結(jié)構(gòu)的空間三維模型如圖2所示。

圖2　通泰大橋Midas-Civil有限元模型Fig.2　Midas-Civil FE model of Tongtai bridge

鋼箱梁和拱肋主體結(jié)構(gòu)及臨時(shí)匹配件均采用Q345，其彈性模量取為2.1×105N/mm2，泊松比取為0.3，線膨脹系數(shù)取為1.2×10-5。吊索鋼絲采用直徑為7mm的高強(qiáng)度低松弛鍍鋅鋼絲，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為1 670MPa，彈性模量取為1.95×105N/mm2，泊松比取為0.3，線膨脹系數(shù)取為1.2×10-5。

在調(diào)索仿真分析過程主要考慮了結(jié)構(gòu)自重、二期恒載、梁端壓重和溫度荷載。其中利用密度修正考慮橫隔梁等連接板件的自重；二期恒載和梁端壓重均按圖紙取值；溫度荷載按照實(shí)際情況考慮整體升降溫。

恒載自身扭矩：由于彎主梁用空間梁單元模擬時(shí)，不能考慮由于彎曲引起的恒載自身扭矩，因此分析時(shí)額外施加了恒載扭矩。其中，鋼箱梁恒載自身扭矩為22.583(kN·m)/m，鋪裝和欄桿自身扭矩之和為18.174(kN·m)/m。

3　索力調(diào)整

3.1拉索初始索力

準(zhǔn)確的索力測(cè)試是調(diào)索工作的基礎(chǔ)。本文中受施工條件限制，拉索端部的長達(dá)2m的套筒并不能完全拆除，拉索在振動(dòng)時(shí)不可避免地要與套筒接觸，該橋拉索的計(jì)算長度和邊界條件具有很大的不確定性。因此利用常用的頻率法測(cè)定既有索力必然帶來較大誤差。例如，通泰大橋最短索A14的理論計(jì)算索長為29.6m，千斤頂實(shí)測(cè)索力值為270.0kN，用頻率法測(cè)定的索力為319.6kN，相差18.4%。

基于成本和時(shí)間的考慮，本文利用液壓千斤頂實(shí)測(cè)了通泰大橋的實(shí)際索力。利用千斤頂實(shí)測(cè)成橋索力的主要步驟是：(1) 將臨時(shí)螺母裝置分別與吊索錨桿和千斤頂連接；(2) 將液壓千斤頂頂在錨箱上，開始張拉千斤頂；(3) 錨固螺母與錨箱剛剛脫離時(shí)的壓力表數(shù)值所代表的拉力即為實(shí)際索力。設(shè)計(jì)索力Ff與千斤頂測(cè)定索力Fj的對(duì)比見表1。

表1　調(diào)索前的實(shí)際索力Tab.1　Real cable forces before adjustment

由表1可以看出，初始狀態(tài)的索力與設(shè)計(jì)值的最大相對(duì)誤差達(dá)到了15.5%，有14根吊索的索力偏差超過了設(shè)計(jì)所要求的5%以內(nèi)，因此非常有必要開展調(diào)索工作。

3.2吊索非線性的影響

本文以表1中調(diào)索以前的實(shí)測(cè)索力為依據(jù)，圖3給出了實(shí)測(cè)索力、桁架單元索力與利用修正Ernst 公式(2)所得索力。

圖3　幾何非線性對(duì)索力的影響Fig.3　Effect of geometric nonlinearity on cable force

由圖3可知，利用修正Ernst公式(2)所得到的索力與實(shí)測(cè)索力的誤差最大值為3.0%，而直接利用桁架單元所得到的索力與實(shí)測(cè)索力之間誤差的最大值達(dá)到了9.4%。同時(shí)，隨著吊索長度的增加，誤差也逐漸增大。

3.3調(diào)索方案的確定

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，本次索力調(diào)整的原則是平均索力，即將超過5%的相對(duì)誤差平均到鄰近的拉索上，使全部拉索的相對(duì)誤差小于5%即可。綜合考慮拱肋的橫向穩(wěn)定性和現(xiàn)場調(diào)索施工的方便性，基于本文第2節(jié)的考慮，采用影響矩陣法確定施調(diào)索力，根據(jù)雙目標(biāo)優(yōu)化并利用均差排序法確定最優(yōu)的施調(diào)順序。最后，所確定的各根拉索施調(diào)索力和施調(diào)順序?yàn)锳2：-198.5 kN→A9：-216.1 kN→B5：-180 kN→B6：-170 kN→B11：-180 kN→ B12：-190 kN。仿真整個(gè)調(diào)索過程得到的最終索力如圖4所示。

圖4　張拉 B12后的索力值(單位:kN)Fig.4　Cable forces after tensioning Cable B12(unit:kN)

3.4調(diào)索結(jié)果

按照3.3節(jié)中的調(diào)索方案實(shí)施調(diào)索工作，設(shè)計(jì)索力、調(diào)索前索力和調(diào)索后索力的對(duì)比如圖5所示。由此可以看出，在自重荷載作用下，調(diào)索后的索力與設(shè)計(jì)值的最大相對(duì)誤差為4.31%，最小相對(duì)誤差達(dá)到了-2.02%。經(jīng)過索力調(diào)整，通泰大橋的實(shí)際索力值與設(shè)計(jì)值滿足相對(duì)誤差不超過 5%的范圍要求，完全達(dá)到了預(yù)期目的。

圖5　調(diào)索前、后的索力對(duì)比圖Fig.5　Comparison of cable forces before and after adjustment

調(diào)索完成后，荷載作用下的索力變化與設(shè)計(jì)值相差不大。圖6給出了以調(diào)索后自重狀態(tài)索力為初始條件，公路-I級(jí)荷載產(chǎn)生的索力及其與設(shè)計(jì)值的對(duì)比。由圖6可知，公路-I級(jí)荷載產(chǎn)生的索力僅相當(dāng)于自重狀態(tài)產(chǎn)生索力的0.5%～1.5%，占比很??；調(diào)索后公路-I級(jí)荷載產(chǎn)生的索力與設(shè)計(jì)值相差很小，最大差值是A5索的4.7%。因此，調(diào)索工作同樣優(yōu)化了公路-I級(jí)使用荷載下的索力，達(dá)到了預(yù)期目的。

在自重荷載作用下，分別利用圖5所示的設(shè)計(jì)索力、初始索力和調(diào)索后索力，可得該橋在調(diào)索前、后的主梁、拱肋的內(nèi)力及位移，及其與設(shè)計(jì)狀態(tài)的對(duì)比情況如表2所示。由表2可知，調(diào)索工作優(yōu)化了通泰大橋主梁和拱肋的受力性能。

表2　調(diào)索前后的拱、梁受力性能Tab.2　Mechanicle performance of arch and girder before and after adjustment

注：+為拉應(yīng)力，-為壓應(yīng)力。

5　結(jié)論

張家口通泰大橋的調(diào)索實(shí)踐為今后類似橋梁結(jié)構(gòu)的調(diào)索工程提供了重要的參考，結(jié)果表明：

(1)在計(jì)算吊索拉力時(shí)利用了考慮垂度影響的Ernst 修正公式，以影響矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，以目標(biāo)索力差值和拱圈橫向位移作為控制雙目標(biāo)，是保證通泰大橋索力調(diào)整成功的理論基礎(chǔ)。

(2)索力調(diào)整后，自重狀態(tài)下的全橋索力接近目標(biāo)值，索力分布趨于均勻。

(3)與直接采用桁架單元相比，利用修正的Ernst 公式(2)考慮吊索幾何非線性可獲得更為精確的計(jì)算結(jié)果。

(4)調(diào)索工作使橋面線形、拱圈橫向位移等指標(biāo)得到明顯的改善，改善了主梁與拱肋的受力性能。

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A Cable Adjustment Method for Arch, Curved Beam and Cable Composite Bridge in Completion State

LIANG Dong1,2, MA Jin-long1, LIU Zhi-qiang1, WANG Yun-yan1

(1. School of Civil Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China；2. Hebei Provincial Civil Engineering Technology Research Center，Tianjin 300401，China)

Considering geometric nonlinearity of cable, based on the theory of influence matrix method, and taking the differences between the target cable tension and lateral displacement of arch rib as dual control objectives, the optimized calculation of cable tension of spatial composite structure of arch, curved beam and cable is conducted by using the modified Ernst formula and the minimum energy method which regarded the bending strain energy minimization as constraints. The adjusted cable tension forces, the optimal order of cable tension adjustment, and the final control value of cable force in adjustment process are solved by the optimal constraint method. Combining with the cable tension adjustment examples of the largest spatial arch, curved beam and cable composite structure in the world, the cable tension adjustment calculation is conducted with finite element method. The result shows that the optimal order of cable tension adjustment and the adjusted cable tension forces meet the control requirements of cable adjustment, and the completion state eventually meets the design requirements. This method provided an important reference for similar structures of cable tension adjustment in the future.

bridge engineering; cable tension adjustment; theory of influence matrix; spatial force system; optimal order of cable tension adjustment

2015-08-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50808063)

梁棟(1976-)，男，河北南宮人，博士，教授.(13622114075@139.com)

U443.38

A

1002-0268(2016)08-0086-06

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.08.013