張麗
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整式乘法和因式分解常見(jiàn)題型
張麗
整式乘法與因式分解是代數(shù)式的恒等變形,是中考基礎(chǔ)知識(shí)的測(cè)試中必不可少的一部分內(nèi)容.現(xiàn)以近年來(lái)部分中考題為例,就幾種常見(jiàn)類(lèi)型分別加以說(shuō)明.
對(duì)于整式的乘法,中考中多以考查乘法公式的運(yùn)用為主,常常與化簡(jiǎn)求值聯(lián)系在一起.
例1先化簡(jiǎn),再求值:
(x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.
當(dāng)x=1時(shí),原式=4×1+5=9.
【點(diǎn)評(píng)】本題是整式的乘法與加減法的混合運(yùn)算,計(jì)算時(shí)注意完全平方公式與平方差公式不要用錯(cuò).
例2已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式為(3x+a)·(x+b),其中a、b均為整數(shù),則a+3b=_______.
則a=-7,b=-8,
∴a+3b=-7-24=-31.
故答案為-31.
【點(diǎn)評(píng)】本題需要首先提取公因式3x-7,再合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到a、b的值,進(jìn)而可算出a+3b的值.本題主要考查了提公因式法分解因式,關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式.
例3多項(xiàng)式x2+mx+5因式分解得(x+ 5)(x+n),則m=_______,n=_______.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同學(xué)們逆向思維的能力.應(yīng)用多項(xiàng)式的乘法,通過(guò)比較各項(xiàng)的系數(shù)得出關(guān)于m、n的二元一次方程組,從而求出m、n的值.
例4把(x2+7x-5)(x2+7x+3)-33分解因式.
解:注意到兩個(gè)因式中都含有x2+7x.
方法一:可以設(shè)x2+7x=a,則:
方法二:也可以設(shè)x2+7x-1=a,則
【點(diǎn)評(píng)】在因式分解中,把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體,用一個(gè)新的字母代替(即換元),不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu),而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯,以便于觀察出如何進(jìn)行因式分解.
例5老李師傅在制作零件時(shí),要在半徑為Rcm的圓形鋼板上鉆四個(gè)相同的半徑為rcm的圓孔,老李師傅測(cè)量出R=7.8cm,r=1.1cm時(shí),請(qǐng)你幫他計(jì)算一下圓形鋼板的剩余面積.(結(jié)果保留π)
【分析】剩余部分的面積,即為大圓的面積減4個(gè)小圓的面積.因?yàn)閿?shù)字為小數(shù),計(jì)算起來(lái)不方便.先因式分解,后計(jì)算,就簡(jiǎn)單多了.
解:根據(jù)題意,S=πR2-4πr2,
當(dāng)R=7.8,r=1.1時(shí),
答:剩余部分的面積為56πcm2.
例6小明制作了一個(gè)房子模型,如圖1所示,要把其中的這一面墻涂上顏色(小正方形窗戶(hù)除外),那么涂色的面積是多少?
圖1
【分析】涂色的面積應(yīng)該是三角形的面積加正方形的面積再減去小正方形的面積.可利用平方差公式對(duì)部分式子進(jìn)行因式分解,從而簡(jiǎn)化計(jì)算.
答:涂色的面積是143.
【點(diǎn)評(píng)】如果由實(shí)際問(wèn)題得到的代數(shù)式,滿(mǎn)足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),而且分解后,兩個(gè)數(shù)的和或兩個(gè)數(shù)的差運(yùn)算較簡(jiǎn)單,通常應(yīng)用平方差公式.
例7 試說(shuō)明257-512能被120整除.
【分析】因?yàn)?5=52,所以可把257整理成5的冪的形式,再逆用同底數(shù)冪的乘法法則變成512·52-512,最后逆用分配律提取公因式,并整理為含有因數(shù)120的形式即可.
因此257-512能被120整除.
例8計(jì)算:(a+b+2c)2-(a+b-2c)2.
【分析】觀察式子的整體結(jié)構(gòu),若逆用平方差公式,就可以使一些項(xiàng)消去,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們?nèi)绻軐W(xué)會(huì)逆向思維解題,不僅可以減少運(yùn)算量,優(yōu)化解題過(guò)程,提高解題能力,而且能培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性,使掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效遷移.
例9從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形紙板后,將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形(如圖2),然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖3).那么通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積,可以驗(yàn)證成立的公式為().
圖2 圖3
A.(a-b)2=a2-b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
解:正方形中的陰影部分的面積可表示為a2-b2;而平行四邊形的高為a-b.則平行四邊形中的陰影部分的面積可表示為(a+b)·(a-b).于是(a+b)(a-b)=a2-b2,故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)題的解題關(guān)鍵是抓住兩個(gè)圖形(這里是陰影部分)的面積相等,列出每一個(gè)圖形有關(guān)面積計(jì)算的代數(shù)式即可.
例10將大小相同的4塊長(zhǎng)、寬分別為a、b(a>b)的長(zhǎng)方形紙片拼成如圖4所示形狀,從中你能發(fā)現(xiàn)(a+b)2與(a-b)2的關(guān)系嗎?
解:大正方形邊長(zhǎng)為a+b,小正方形邊長(zhǎng)為a-b.
∴整體計(jì)算:大正方形面積為(a+b)2,局部計(jì)算:大正方形面積為(a-b)2+4ab.
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab.
可變形為:(a+b)2-4ab=(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=4ab.
圖4
【點(diǎn)評(píng)】利用同一個(gè)圖形面積的兩種不同表示方法,抓其面積的不變特征,就可以得到相應(yīng)的乘法公式.本題考查了同學(xué)們思維的多樣性.
(作者單位:江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué))