張麗

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整式乘法和因式分解常見(jiàn)題型

張麗

整式乘法與因式分解是代數(shù)式的恒等變形，是中考基礎(chǔ)知識(shí)的測(cè)試中必不可少的一部分內(nèi)容.現(xiàn)以近年來(lái)部分中考題為例，就幾種常見(jiàn)類(lèi)型分別加以說(shuō)明.

一、考查整式的運(yùn)算能力

對(duì)于整式的乘法，中考中多以考查乘法公式的運(yùn)用為主，常常與化簡(jiǎn)求值聯(lián)系在一起.

例1先化簡(jiǎn)，再求值：

（x+2）2-（x+1）（x-1），其中x=1.

當(dāng)x=1時(shí)，原式=4×1+5=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題是整式的乘法與加減法的混合運(yùn)算，計(jì)算時(shí)注意完全平方公式與平方差公式不要用錯(cuò).

二、考查利用因式分解的結(jié)果求值

例2已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式為（3x+a）·（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b=_______.

則a=-7，b=-8，

∴a+3b=-7-24=-31.

故答案為-31.

【點(diǎn)評(píng)】本題需要首先提取公因式3x-7，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到a、b的值，進(jìn)而可算出a+3b的值.本題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式.

例3多項(xiàng)式x2+mx+5因式分解得（x+ 5）（x+n），則m=_______，n=_______.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同學(xué)們逆向思維的能力.應(yīng)用多項(xiàng)式的乘法，通過(guò)比較各項(xiàng)的系數(shù)得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，從而求出m、n的值.

三、換元法在因式分解中的應(yīng)用

例4把（x2+7x-5）（x2+7x+3）-33分解因式.

解：注意到兩個(gè)因式中都含有x2+7x.

方法一：可以設(shè)x2+7x=a，則：

方法二：也可以設(shè)x2+7x-1=a，則

【點(diǎn)評(píng)】在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，以便于觀察出如何進(jìn)行因式分解.

四、利用因式分解解決問(wèn)題

例5老李師傅在制作零件時(shí)，要在半徑為Rcm的圓形鋼板上鉆四個(gè)相同的半徑為rcm的圓孔，老李師傅測(cè)量出R=7.8cm，r=1.1cm時(shí)，請(qǐng)你幫他計(jì)算一下圓形鋼板的剩余面積.（結(jié)果保留π）

【分析】剩余部分的面積，即為大圓的面積減4個(gè)小圓的面積.因?yàn)閿?shù)字為小數(shù)，計(jì)算起來(lái)不方便.先因式分解，后計(jì)算，就簡(jiǎn)單多了.

解：根據(jù)題意，S=πR2-4πr2，

當(dāng)R=7.8，r=1.1時(shí)，

答：剩余部分的面積為56πcm2.

例6小明制作了一個(gè)房子模型，如圖1所示，要把其中的這一面墻涂上顏色（小正方形窗戶(hù)除外），那么涂色的面積是多少？

圖1

【分析】涂色的面積應(yīng)該是三角形的面積加正方形的面積再減去小正方形的面積.可利用平方差公式對(duì)部分式子進(jìn)行因式分解，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.

答：涂色的面積是143.

【點(diǎn)評(píng)】如果由實(shí)際問(wèn)題得到的代數(shù)式，滿(mǎn)足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而且分解后，兩個(gè)數(shù)的和或兩個(gè)數(shù)的差運(yùn)算較簡(jiǎn)單，通常應(yīng)用平方差公式.

五、逆向思維在因式分解問(wèn)題中的應(yīng)用

例7 試說(shuō)明257-512能被120整除.

【分析】因?yàn)?5=52，所以可把257整理成5的冪的形式，再逆用同底數(shù)冪的乘法法則變成512·52-512，最后逆用分配律提取公因式，并整理為含有因數(shù)120的形式即可.

因此257-512能被120整除.

例8計(jì)算：（a+b+2c）2-（a+b-2c）2.

【分析】觀察式子的整體結(jié)構(gòu)，若逆用平方差公式，就可以使一些項(xiàng)消去，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們?nèi)绻軐W(xué)會(huì)逆向思維解題，不僅可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題能力，而且能培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性，使掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效遷移.

六、從圖形角度看乘法公式

例9從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形紙板后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形（如圖2），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖3）.那么通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（）.

圖2　圖3

A.（a-b）2=a2-b2

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D.（a+b）（a-b）=a2-b2

解：正方形中的陰影部分的面積可表示為a2-b2；而平行四邊形的高為a-b.則平行四邊形中的陰影部分的面積可表示為（a+b）·（a-b）.于是（a+b）（a-b）=a2-b2，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)題的解題關(guān)鍵是抓住兩個(gè)圖形（這里是陰影部分）的面積相等，列出每一個(gè)圖形有關(guān)面積計(jì)算的代數(shù)式即可.

例10將大小相同的4塊長(zhǎng)、寬分別為a、b（a＞b）的長(zhǎng)方形紙片拼成如圖4所示形狀，從中你能發(fā)現(xiàn)（a+b）2與（a-b）2的關(guān)系嗎？

解：大正方形邊長(zhǎng)為a+b，小正方形邊長(zhǎng)為a-b.

∴整體計(jì)算：大正方形面積為（a+b）2，局部計(jì)算：大正方形面積為（a-b）2+4ab.

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab.

可變形為：（a+b）2-4ab=（a-b）2（a+b）2-（a-b）2=4ab.

圖4

【點(diǎn)評(píng)】利用同一個(gè)圖形面積的兩種不同表示方法，抓其面積的不變特征，就可以得到相應(yīng)的乘法公式.本題考查了同學(xué)們思維的多樣性.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）