馮小科汪松柏胡亞鵬張猛杜言平魯港

1.中國(guó)石化河南石油工程有限公司；2.中國(guó)石油遼河油田勘探開發(fā)研究院

多控制點(diǎn)水平井靶體邊界計(jì)算

馮小科1汪松柏1胡亞鵬1張猛1杜言平1魯港2

1.中國(guó)石化河南石油工程有限公司；2.中國(guó)石油遼河油田勘探開發(fā)研究院

為在鉆井設(shè)計(jì)軟件中精確地繪制出多控制點(diǎn)水平井靶體，給出了多控制點(diǎn)水平井靶體的數(shù)學(xué)定義。以矢量代數(shù)為數(shù)學(xué)工具，利用靶體設(shè)計(jì)軸線上任意點(diǎn)的法面坐標(biāo)，給出了靶體外邊界曲線的數(shù)學(xué)定義，提出了曲邊長(zhǎng)方體靶的新概念，建立了靶體外邊界曲線的計(jì)算公式。鉆井設(shè)計(jì)軟件開發(fā)實(shí)踐及應(yīng)用效果表明，曲邊長(zhǎng)方體靶的定義是合理的，計(jì)算公式是精確的，且易于編程實(shí)現(xiàn)；可以在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中精確地繪制出水平井靶體圖形。

鉆井設(shè)計(jì)；水平井；井眼軌道；控制點(diǎn)；曲邊長(zhǎng)方體靶

最簡(jiǎn)單形狀的水平井靶是一個(gè)長(zhǎng)方體［1-3］，由于空間直線向任意平面的投影仍然是直線（或退化成一點(diǎn)）［4］，無(wú)論是水平投影圖還是垂直投影圖，可以很容易地畫出長(zhǎng)方體靶的投影圖。當(dāng)水平井需要通過(guò)多個(gè)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，由于相鄰2個(gè)目標(biāo)點(diǎn)之間的設(shè)計(jì)軌跡可能是彎曲井段（例如空間圓?。?，水平井靶外邊界線（相當(dāng)于長(zhǎng)方體靶的與靶體軸線相平行的四條邊）在水平（垂直）投影圖上的投影不再是簡(jiǎn)單的直線段，而是復(fù)雜的三維連續(xù)曲線。對(duì)國(guó)內(nèi)近20年來(lái)的文獻(xiàn)進(jìn)行檢索，發(fā)現(xiàn)關(guān)于多控制點(diǎn)水平井靶體

1　長(zhǎng)方體靶

Cuboid target

使用最多的水平井靶由2個(gè)控制點(diǎn)A和B所確定（參見(jiàn)圖1），A點(diǎn)處靶窗矩形寬為2wA、高為2hA，其中±wA和±hA分別為A點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差。B點(diǎn)處靶窗矩形寬為2wB、高為2hB，其中±wB和±hb分別為B點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差。線段AB為設(shè)計(jì)井眼軌跡的一部分，稱為靶體軸線。通常情況下，B點(diǎn)處的允許設(shè)計(jì)偏差可能會(huì)大于A點(diǎn)處的允許設(shè)計(jì)偏差，這時(shí)，靶體不再是長(zhǎng)方體，而是截頭方錐體［7］。

圖1　水平井靶示意圖Fig. 1 Target of horizontal well

劉修善等［1-2］考慮了地層傾角情況下的靶體擺放姿態(tài)。當(dāng)?shù)貙觾A角比較小時(shí)，總可以通過(guò)調(diào)整設(shè)計(jì)允許偏差的數(shù)值使得靶體位于目的層之內(nèi)，而當(dāng)?shù)貙觾A角比較大時(shí)，也不太適合于設(shè)計(jì)成水平井，因此，工程上總是假定靶窗矩形的上、下邊是與水平面相平行的。

對(duì)于靶體軸線上的任意點(diǎn)P，長(zhǎng)方體靶的橫截面仍然是一個(gè)矩形P1、P2、P3、P4，橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差由下式計(jì)算

式中，具有長(zhǎng)度量綱的參數(shù)其物理單位為m，角度的物理單位為rad。

當(dāng)水平井靶體是由多個(gè)控制點(diǎn)所確定時(shí)，由于這些點(diǎn)不可能都在同一條直線上（否則只需要第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)即可確定靶體），必定有某些相鄰控制點(diǎn)之間的靶體軸線是曲線段（例如空間圓?。?，這時(shí)，靶體不可能是簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體或截頭方錐體。

假想有一段截面為矩形空心鋼管，柔性很好、不易折斷，用手握住鋼管兩端用力使它彎曲，彎曲后的鋼管的任意截面仍然為矩形。對(duì)這個(gè)假想實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立多控制點(diǎn)水平井靶體的數(shù)學(xué)模型。

2　曲邊長(zhǎng)方體靶

Cuboid target with curved boundary

為具有幾何直觀性和計(jì)算公式簡(jiǎn)潔明了，采用矢量數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)。

2.1井眼軌跡模型

Hole trajectory model

假設(shè)相鄰2個(gè)控制點(diǎn)A和B之間的設(shè)計(jì)軌跡為一條三維空間曲線，井眼軌跡上任一點(diǎn)P的矢徑可根據(jù)井深來(lái)計(jì)算

式中，r和rA分別為P點(diǎn)和A點(diǎn)的矢徑（位置矢量）；ΔL=L-LA為P點(diǎn)的井深增量（其中L和LA分別為P點(diǎn)和A點(diǎn)處井深）；函數(shù)f（ΔL）為ΔL的連續(xù)可微矢量值函數(shù)。

由于井深L即是三維空間曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)，微分幾何方法中的有關(guān)導(dǎo)數(shù)計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單。

文中使用“列矢量”來(lái)表示矢量；上標(biāo)“T”表示矩陣和矢量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，上撇符號(hào)“' ”表示對(duì)井深的一階導(dǎo)數(shù)，“" ”表示對(duì)井深的二階導(dǎo)數(shù)，‖‖表示矢量求模函數(shù)。

井眼方向矢量定義為井眼軌跡切線方向上的單位長(zhǎng)度矢量

式中，t為井眼方向矢量，α為井斜角，φ為方位角。

主法線方向矢量和井眼曲率分別由下式計(jì)算

式中，n為主法線方向矢量，K為井眼曲率。

在井眼軌跡模型中，井斜角和方位角也能表示成井深或井深增量的函數(shù)

式中，函數(shù)g（ΔL）和h（ΔL）均為連續(xù)可微函數(shù)。矢徑r有時(shí)也寫成下面的形式

式中，函數(shù)F（α，φ，ΔL）為井斜角、方位角、井深增量的三元連續(xù)可微矢量值函數(shù)。

顯然，將式（8）～（9）代入式（4）可知，矢徑r仍然是井身L或井深增量ΔL的函數(shù)，井斜角變化率和方位角變化率分別由下式定義

式中，Kα為井斜變化率，（°）/m；Kφ為方位變化率，（°）/m。

常用的井眼軌跡模型包括空間圓弧模型、圓柱螺線模型、自然曲線模型等［2］，對(duì)于每一個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型，都可以給出函數(shù)f、g、h、F的具體計(jì)算公式。

2.2井眼軌跡的法平面

Normal plane of hole trajectory

在設(shè)計(jì)井眼軌跡上任一點(diǎn)P，井眼高邊矢量h和定向矢量v定義如下

可以證明［8］

式中，k=［0，0，1］T為垂直向下的單位長(zhǎng)度矢量。

可以證明［8］：h、v、t是兩兩相互垂直的單位長(zhǎng)度矢量，可以作為一個(gè)成右手系的空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度矢量，這個(gè)坐標(biāo)系稱為P點(diǎn)的局部坐標(biāo)系，參見(jiàn)圖2。

圖2　井眼軌跡的法平面Fig. 2 Normal plane of hole trajectory

假設(shè)Q點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位矢為ρ=（x，y，z）T，則

式中，q和p分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的位矢，R為坐標(biāo)變換矩陣，由下式計(jì)算［2，8］

由于矩陣R的單位正交矩陣，從式（16）得

2.3靶體軸線的伴隨曲邊長(zhǎng)方體

Adjoint cuboid with curve border on the target’s axis line

對(duì)于靶體軸線（井眼設(shè)計(jì)軌跡從第一個(gè)控制點(diǎn)到最后一個(gè)控制點(diǎn)的那部分）上任意點(diǎn)P，按照式（1）～（2）定義該點(diǎn)的橫向允許偏差w和縱向允許偏差h。在局部坐標(biāo)系P-xyz中（見(jiàn)圖3），矩形P1P2P3P4的中心為P點(diǎn)，寬和高分別為2 w和2 h。記矩形頂點(diǎn)Pi的局部坐標(biāo)矢徑依順時(shí)針順序?yàn)棣裪=（xi，yi，0）T，i=1，2，3，4，則有ρ1=（h，w，0）T、ρ2= -（h，w，0）T、ρ3= （-h，-w，0）T、ρ4= （h，-w，0）T。

圖3　局部坐標(biāo)系Fig. 3 Local coordinate system

根據(jù)坐標(biāo)變換公式（18），得到矩形頂點(diǎn)Pi在整體坐標(biāo)系中的矢徑

當(dāng)井深L連續(xù)變化時(shí)，靶窗矩形所遍歷的空間區(qū)域稱為靶體軸線的伴隨曲邊長(zhǎng)方體，簡(jiǎn)稱曲邊長(zhǎng)方體。4個(gè)矩形頂點(diǎn)Pi形成4條連續(xù)曲線，稱為曲邊長(zhǎng)方體的曲邊，或簡(jiǎn)稱邊。

任意一條曲邊曲線都不是簡(jiǎn)單的曲線，在一般情況下，既不是圓，也不是橢圓，甚至有可能不是平面曲線。

2.4曲邊長(zhǎng)方體靶

Cuboid target with curved boundary

當(dāng)水平井靶由多個(gè)控制點(diǎn)所確定時(shí)，相鄰2個(gè)控制點(diǎn)之間的靶體為截頭方錐體（當(dāng)兩點(diǎn)之間設(shè)計(jì)井段為線段時(shí)），或者為曲邊長(zhǎng)方體（當(dāng)兩點(diǎn)之間設(shè)計(jì)井段為曲線時(shí)），將這些截頭方錐體和/或曲邊長(zhǎng)方體按照控制點(diǎn)的順序依次拼接，所形成的空間圖形即為多控制點(diǎn)水平井段的設(shè)計(jì)靶體，稱為曲邊長(zhǎng)方體靶。

如果相鄰2個(gè)控制點(diǎn)之間由多個(gè)設(shè)計(jì)井段組成，可以將上段曲邊長(zhǎng)方體靶定義中的“控制點(diǎn)”改為“設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)”，所形成的靶體仍為曲邊長(zhǎng)方體靶。

當(dāng)靶體軸線的井眼曲率較小或者允許偏差較小時(shí)，曲邊長(zhǎng)方體靶是截頭方錐體靶的合理推廣。但是當(dāng)井眼曲率大于允許偏差時(shí)，曲邊長(zhǎng)方體靶的“內(nèi)側(cè)”曲邊會(huì)出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。舉例對(duì)曲邊“折疊”現(xiàn)象加以解釋。參見(jiàn)圖4，4個(gè)控制點(diǎn)A、B、C、D均位于水平面上（垂深相等），橫向允許偏差均為w，AB 和CD為線段，BC為圓弧，曲率半徑為R。在情況（a）中， R=|BE|=|CE|＞w，圓弧井段部分的曲邊曲線均為圓弧曲線，屬于正常情況；在情況（b）中，R=w，這時(shí)，圓弧井段部分的“內(nèi)側(cè)”曲邊曲線退化成一個(gè)單獨(dú)點(diǎn)；在情況（c）中，R＜w，圓弧井段部分的“內(nèi)側(cè)”曲邊曲線出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。幸運(yùn)的是，在工程實(shí)際中，極少出現(xiàn)這種極端現(xiàn)象。例如，取井眼曲率為K=30 （°）/30 m，則曲率半徑R約等于57.3 m，而允許偏差一般不會(huì)達(dá)到這樣大的數(shù)值。

圖4　“折疊”現(xiàn)象的圖解Fig. 4 Diagram for folding phenomenon

2.5井眼軌跡模型

Hole trajectory model

前面給出了曲邊長(zhǎng)方體靶的定義及有關(guān)計(jì)算公式。仔細(xì)分析上述定義可以發(fā)現(xiàn)，與特定井眼軌跡模型有關(guān)的參數(shù)只是矢徑r、井眼方向矢量t、曲線主法線矢量n。所以，對(duì)于一般的靶體軸線曲線模型，只要能給出位矢、井斜角和方位角及其變化率的計(jì)算公式，就可以計(jì)算曲邊長(zhǎng)方體靶。

根據(jù)微分幾何的知識(shí)［8］，可推導(dǎo)出下式

這是劉修善公式［2］的矢量化形式。

另外，下式恒成立［2］

常用的井眼軌跡模型有空間圓弧模型［8］、圓柱螺線模型［2］、自然曲線模型［2］等，計(jì)算公式參見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)。對(duì)于恒工具面角模型［2］及樣條曲線模型［2］等其他井眼軌跡模型，也均可以求出井斜角和方位角及其變化率公式、位矢公式。

3　繪圖算法

Mapping algorithm

首先，依據(jù)設(shè)計(jì)井深增加的方向，根據(jù)式（19）等求出4條曲邊上足夠多的離散點(diǎn)，使得相鄰2個(gè)離散點(diǎn)之間的直線距離足夠小，當(dāng)投影到計(jì)算機(jī)屏幕上時(shí)，這兩點(diǎn)之間橫/縱向不超過(guò)2個(gè)像素點(diǎn)。

如果是繪制三維圖形，只需要分別將這些離散點(diǎn)用線段連接即可（當(dāng)然還需要繪出第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)處的靶窗矩形）。

如果是繪制水平投影圖，則離散點(diǎn)的Z坐標(biāo)均相等，只需要繪制離散點(diǎn)（X，Y）即可。

如果是繪制垂直投影圖，假設(shè)投影方位角為φ0，對(duì)每個(gè)離散點(diǎn)（X，Y，Z），計(jì)算視平移

繪圖時(shí)繪制諸離散點(diǎn)（V，Z）。

如果是繪制剖面展開圖，則需要利用靶體軸線的水平投影長(zhǎng)度S和垂深Z的數(shù)據(jù)對(duì)（S，Z）。對(duì)于靶體軸線上任意點(diǎn)P，在該點(diǎn)的井眼高邊矢量的正向和負(fù)向上各取一點(diǎn)P+和P-，它們與P點(diǎn)的距離均等于該點(diǎn)的縱向允許偏差，參見(jiàn)圖5。

圖5　剖面展開圖參數(shù)計(jì)算示意圖Fig. 5 Calculation sketch of unfolded section parameters

根據(jù)圖5中的幾何關(guān)系可求得

因此，在剖面展開圖中，P±點(diǎn)在坐標(biāo)為（s±hcosα，2±hsinα）。當(dāng)P點(diǎn)沿圓弧從θ=0連續(xù)變動(dòng)到θ=ε時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P+所形成的連續(xù)曲線和動(dòng)點(diǎn)P-所形成的連續(xù)曲線可以作為曲邊長(zhǎng)方體在剖面展開圖上的投影的上、下邊界曲線。

4　算例

Case study

某多控制點(diǎn)水平井靶體設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1，設(shè)計(jì)井段AB為穩(wěn)斜穩(wěn)方位井段，BC和CD為空間圓弧井段，井眼曲率分別為8.90（°）/30 m和15.97（°）/30 m。使用文中算法繪制的水平投影圖和垂直投影圖（投影方位角63.43°）分別見(jiàn)圖6和圖7。

表1　控制點(diǎn)參數(shù)Table 1 Parameters of control points

圖6　水平投影圖Fig. 6 Horizontal projection

圖7　垂直投影圖Fig. 7 Vertical projection

5　結(jié)論

Conclusions

（1）利用法面坐標(biāo)給出了多控制點(diǎn)水平井靶的外邊界曲線的數(shù)學(xué)定義，推導(dǎo)出了設(shè)計(jì)軸線彎曲井段為空間圓弧曲線時(shí)的外邊界曲線的具體計(jì)算公式，為鉆井軟件開發(fā)中的圖形繪制提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

（2）軟件開發(fā)實(shí)踐表明，在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中，使用外邊界曲線公式可以繪制出多控制點(diǎn)水平井靶的精確圖形。

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（修改稿收到日期 2016-03-22）

〔編輯 薛改珍〕

Calculation on the boundary of horizontal well target with multiple control points

FENG Xiaoke1， WANG Songbo1， HU Yapeng1， ZHANG Meng1， DU Yanping1， LU Gang2
1. SINOPEC He’ nan Petroleum Engineering Co. Ltd.， Nanyang， Henan 473132， China；2. Exploration and Deνelopment Research Institute of PetroChina Liaohe Oilfield Company， Panjin， Liaoning 124010， China

The mathematical definition of horizontal well target with multiple control points was set， so as to describe it accurately in the drilling design software. The vector algebra was used as the mathematical tool， and the external boundary curve of target was mathematically defined by using the normal plane coordinates of an arbitrary point on the target design axis. Then， a new concept of cuboid target with curved boundary was proposed and the calculation formula was also established for the external boundary curve of target. And finally， the drilling design software was applied in field. It is shown that the definition of cuboid target with curved boundary is reasonable and its calculation formula is accurate and can be easily presented in programming. Moreover， it was made possible to draw horizontal well targets accurately in horizontal projection， vertical projection， profile expansion and 3D diagrams.

drilling design； horizontal well； hole trajectory； control point； cuboid target with curved boundary

魯港（1963-），1985年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，從事鉆井工程數(shù)學(xué)模型和算法研究及計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)工作，高級(jí)工程師。通訊地址：（124010）遼寧省盤錦市興隆臺(tái)區(qū)石油大街95號(hào)。E-mail：Lugang1999@sina.com參數(shù)計(jì)算和繪圖方面的研究論文幾乎還是空白［5-6］。結(jié)合近年來(lái)的理論研究工作和鉆井軟件開發(fā)實(shí)踐，筆者對(duì)多控制點(diǎn)水平井靶體參數(shù)計(jì)算和繪圖的方法進(jìn)行了一些理論總結(jié)。

TE21

A

1000 - 7393（ 2016 ） 03 - 0286- 05

10.13639/j.odpt.2016.03.0002

FENG Xiaoke， WANG Songbo， HU Yapeng， ZHANG Meng， DU Yanping， LU Gang. Calculation on the boundary of horizontal well target with multiple control points［J］. Oil Drilling & Production Technology， 2016， 38（3）: 286-290.

馮小科（1985-），2008年畢業(yè)于西安石油大學(xué)石油工程專業(yè)，長(zhǎng)期從事鉆井技術(shù)管理與研究工作，工程師。通訊地址：（473132）河南省南陽(yáng)市河南石油工程有限公司。E-mail：214822882@qq.com

引用格式：馮小科，汪松柏，胡亞鵬，張猛，杜言平，魯港.多控制點(diǎn)水平井靶體邊界計(jì)算［J］.石油鉆采工藝，2016，38（3）：286-290.