吳開巖　張獻州　馬　龍　羅　烈　張　拯　喻　巧

1　西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，成都市犀安路999號，610031　2　高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都市犀安路999號，610031　3　中鐵二院工程集團有限責任公司，成都市通錦路3號，610031　4　鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津市中山路10號，300142

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基于多元整體最小二乘優(yōu)化的多點灰色動態(tài)變形分析模型

吳開巖1,2張獻州1,2馬龍1,2羅烈1,2張拯3喻巧4

1西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，成都市犀安路999號，6100312高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都市犀安路999號，6100313中鐵二院工程集團有限責任公司，成都市通錦路3號，6100314鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津市中山路10號，300142

摘要：提出一種多元整體最小二乘優(yōu)化的多點灰色動態(tài)模型,并結合實例驗證優(yōu)化的MGM(1,n)模型的優(yōu)越性。將優(yōu)化的MGM(1,n)模型與一般的MGM(1,n)模型進行對比,分析兩種模型的建模值和預測值。結果表明，優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模數(shù)據(jù)多于4期的情況下建模精度更高，預測精度更準確,更符合實際情況。

關鍵詞：多元整體最小二乘法； 多點動態(tài)灰色模型； 變形分析； 灰色預測

變形的分析與預報是變形監(jiān)測的主要內容，其方法主要有BP神經網(wǎng)絡、回歸分析、灰色模型、時間序列等[1]。這些方法大多是單點分析方法。但在同一監(jiān)測網(wǎng)中,不同監(jiān)測點之間存在著某種聯(lián)系,這些監(jiān)測點之間相互影響。顯然，在對這些監(jiān)測點進行數(shù)據(jù)分析時將某一監(jiān)測點剝離出來單獨分析是不可靠的,而是應將多個監(jiān)測點統(tǒng)一建模進行分析。因此,在變形監(jiān)測分析與預報中,使用多點灰色動態(tài)模型更為合理。多點灰色動態(tài)模型(MGM(1,n))是GM(1,1)模型在多點情況下進行拓展后得到的[2]。目前，多點灰色動態(tài)模型的優(yōu)化主要是針對背景值[3-4]以及殘差項[5-6]，這些優(yōu)化模型都取得了很好的效果。但在多點灰色動態(tài)模型建模過程中,使用了最小二乘法(LS)對發(fā)展系數(shù)A和灰色作用量B進行求解。只有在誤差均值為0且只存在于觀測向量中時,最小二乘法求得的解才是無偏最優(yōu)解。多點灰色動態(tài)模型在建模過程中,觀測值和背景值都是直接由觀測數(shù)據(jù)或通過簡單計算得到的。因此，觀測矩陣和背景值矩陣中都含有一定的誤差或擾動,這時使用LS法所求得的估計參數(shù)是有偏的。多元整體最小二乘法是在整體最小二乘法基礎上進行拓展后得到的[7-9],將整體最小二乘法中的參數(shù)向量和觀測向量拓展為參數(shù)矩陣和觀測矩陣，并在計算過程中同時顧及觀測矩陣和參數(shù)矩陣中的誤差。因此，本文提出了基于多元整體最小二乘優(yōu)化的多點灰色動態(tài)變形分析模型。實驗證明，該模型可以抑制模擬數(shù)據(jù)誤差并提高預測數(shù)據(jù)的精度。

1　MGM(1,n)模型

設某變形體有n個相互關聯(lián)的變形監(jiān)測點,對變形體進行觀測獲得m期變形觀測數(shù)據(jù),其相應的變形觀測序列為:

其一次累加序列為：

由單點灰色預測模型的一階微分方程式擴展成MGM(1,n)模型的一階微分方程：

(1)

寫成矩陣形式為：

(2)

上述微分方程的解(即時間響應函數(shù))為：

(3)

式(3)即為MGM(1,n)模型的一般形式,式中參數(shù)A與B通過最小二乘求得。

2　優(yōu)化的MGM(1,n)模型研究

2.1多元整體最小二乘模型

多元整體最小二乘法(MTLS)在整體最小二乘法(TLS)基礎上進行拓展。對于超定線性方程組Y=Ax,在整體最小二乘中Y和x分別是n×1的觀測向量和m×1的參數(shù)向量,而多元整體最小二乘中Y和x則是n×d的觀測矩陣和m×d的參數(shù)矩陣。

將Y=Ax改寫成：

(4)

式中,Y、EY∈Rn×d分別為觀測矩陣和觀測矩陣殘差陣,A、EA∈Rm×n分別為系數(shù)矩陣和系數(shù)矩陣殘差陣,Ξ∈Rm×d為未知參數(shù)陣。MTLS與TLS有相同的約束準則,即F范最小：

vec(EY)T·vec(EY)+vec(EA)T·vec(EA)

(5)

式中，vec(?)為矩陣列向量化算子,tr表示矩陣的跡。

在等權條件下,MTLS的解法可分為SVD法和拉格朗日乘數(shù)法,本文使用拉格朗日乘數(shù)法對MTLS進行求解[7-8]。式(4)的拉格朗日目標函數(shù)可以表示為：

(6)

式中,λ為拉格朗日乘常數(shù)。由拉格朗日乘數(shù)法的必要條件，最終可得到：

(7)

(8)

可通過迭代求得MTLS的最終解。迭代過程如下。

1)通過最小二乘法求得Ξ的初值,即

(9)

(10)

2.2優(yōu)化的MGM(1,n)建模方法

1)根據(jù)式(1)～(3)建立多點動態(tài)灰色模型時間響應式；

3)求解時間響應式；

5)精度評定。

3　模型實驗與分析

為了比較傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型與優(yōu)化后的MGM(1,n)模型之間的數(shù)據(jù)模擬和預測效果,使用文獻[3]中京哈公路(G102線)長春至德惠某路段中同一斷面上3個點位移計所測的12期監(jiān)測數(shù)據(jù)，其中前8期數(shù)據(jù)序列用于建模，后4期數(shù)據(jù)序列用于檢測預測值的準確性。

通過表1、表2可以看出：

1)在建模精度方面,傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型和優(yōu)化的MGM(1,n)模型都能夠較好地模擬出建模數(shù)據(jù),但優(yōu)化的MGM(1,n)模型精度明顯高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。

2)在預測精度方面, 傳統(tǒng)MGM(1,n)模型的平均相對誤差較大,不能較好地預測數(shù)據(jù)的變化情況；而優(yōu)化的MGM(1,n)模型平均相對誤差較小,能夠較好地預測出未來數(shù)據(jù)的變化情況。參考模型精度等級[1],傳統(tǒng)的MGM(1,n)為2級,優(yōu)化的MGM(1,n)為1級，也證明了本文對多點灰色動態(tài)模型的改進是正確可行的。

3)點位移計所產生的觀測值受到溫度、電纜長度等因素的影響，在觀測值中會含有少量的誤差。因此，在MGM(1,n)的建模過程中，觀測矩陣和背景值矩陣都含有少量的誤差。本文實驗證明，在系數(shù)矩陣和觀測矩陣同時存在一定的擾動時,用LS法求出的解并不是最優(yōu)解。

表1　原始值與兩種模型建模結果

表2　模型精度評定

4　結　語

本文使用京哈公路(G102線)長春至德惠某路段中同一斷面上3個點位移計所測的監(jiān)測數(shù)據(jù),分別對傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型和優(yōu)化的MGM(1,n)模型進行建模分析,研究優(yōu)化的MGM(1,n)模型在實際精密工程測量中的實用性和可靠性。

1)本文模型是在傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型基礎上進行一定的優(yōu)化,顧及系數(shù)陣和觀測陣中同時含有一定的擾動,使用多元整體最小二乘法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的MGM(1,n)模型中的最小二乘法，對發(fā)展系數(shù)A和灰色作用量B進行求解。實驗證明了此模型的可靠性。

2)當觀測數(shù)據(jù)存在一定的擾動時,優(yōu)化的MGM(1,n)模型的建模精度和預測精度高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。此模型具有一定的實用性,可以為精密工程測量的預測提供一定的參考。

研究發(fā)現(xiàn),優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模數(shù)據(jù)只有3或4期的情況下,容易出現(xiàn)建模失敗的情況。這是由于在使用多元整體最小二乘進行求解的過程中，建模數(shù)據(jù)太少可能會出現(xiàn)矩陣A秩虧或者SVD分解過程中矩陣塊V22奇異[7-9],使得迭代求解不收斂，導致建模失敗。因此，優(yōu)化的MGM(1,n)模型在整體適用性上不如傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型。此外,本文只是以實驗驗證了優(yōu)化的MGM(1,n)模型在建模精度和預測精度上要高于傳統(tǒng)的MGM(1,n)模型,如何從理論上推導還需進一步探討。

參考文獻

[1]黃聲享,尹輝,蔣征,等.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[M].武漢:武漢大學出版社,2003 (Huang Shengxiang,Yin Hui, Jiang Zheng,et al. Deformation Monitoring Data Processing [M].Wuhan：Wuhan University Press,2003)

[2]潘國榮,王穗輝.多點變形動態(tài)灰色模型辨識及預測[J]. 測繪學報,2002,31(S1):66-69(Pan Guorong, Wang Suihui. Dynamic Grey Modelling Identification and Predication of Multi-point Deformation [J].Acta Geodaeticaet et Cartographica Sinica, 2002, 31(S1):66-69 )

[3]劉寒冰,向一鳴,阮有興. 背景值優(yōu)化的多變量灰色模型在路基沉降預測中的應用[J]. 巖土力學,2013,34(1):173-181(Liu Hanbing, Xiang Yiming, RuanYouxing. A Multivariable Grey Model Based on Background Value Optimization and Its Application to Subgrade Settlement Prediction[J].Rock and Soil Mechanics,2013, 34(1):173-181)

[4]李玻,蔣艷,楊秀文,等.優(yōu)化背景值的灰色MGM(1,n)模型[J]. 西南大學學報:自然科學版,2013,35(1):89-94(Li Bo, Jiang Yan, Yang Xiuwen, et al. MGM(1,n) Model of Optimized Background[J].Journal of Southwest University:Natural Science Edition, 2013, 35(1):89-94)

[5]陳西江,魯鐵定.殘差自適應回歸MGM(1,n)[J]. 測繪科學,2012,37(2):36-37(Chen Xijiang, Lu Tieding. MGM(1,n) Based on Adaptive Regression of Residual[J]. Science of Surveying and Mapping,2012,27(2):36-37)

[6]李曉蕾,劉睿,田永瑞,等. 基于灰色預測的空間多點殘差修正模型研究[J]. 大地測量與地球動力學,2010,30(5):125-128(Li Xiaolei, Liu Rui, Tian Yongrui,et al.Study on Spatial Multi-Point Residual Model[J].Journal of Geodesy and Geodynamics, 2010, 30(5):125-128)

[7]Schaffrin B, Felus Y A. On the Multivariate Total Least-Squares Approach to Empirical Coordinate Transformations: Three Algorithms[J]. J Geod，2008，82(6):373-383

[8]Felus Y A, Burtch R C. On Symmetrical Three-Dimensional Datum Conversion[J]. GPS Solutions, 2009, 13(1): 65-74[9]Schaffrin B, Felus Y A. Multivariate Total Least-Squares Adjustment for Empirical Affine Transformations[C]. The 6th Hotine-Marussi Symposium for Theoretical and Computational Geodesy, Berlin, 2007

[10] 劉經南,曾文憲,徐培亮. 整體最小二乘估計的研究進展[J]. 武漢大學學報:信息科學版,2013,38(5):505-512(Liu Jingnan, Zeng Wenxian, Xu Peiliang. Overview of Total Least Methods[J].Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013,38(5):505-512)

[11] 馮健,花向紅,王劉準. 整體最小二乘的GM(1,n)模型在高鐵中的應用研究[J]. 測繪地理信息,2014,39(1):64-66(Feng Jian, Hua Xianghong, Wang Liuzhun. Application of GM(1,n) Model in High-Speed Rail[J]. Journal of Geomatics, 2013, 39(1):505-512)

[12] 明祖濤,劉軍,夏力,等. 改進的灰色模型在高鐵沉降預測中的應用[J]. 測繪科學,2015,40(4):137-140(Ming Zutao, Liu Jun, Xia Li,et al. Study of the Implementation of Improved Grey Model in High-Speed Railway Settlement Prediction[J]. Science of Surveying and Mapping, 2015,40(4):137-140)

Foundationsupport:NationalNaturalScienceFoundationofChina,No.41374002;ScienceandTechnologyProjectofSichuanProvince,No.2015JQ0046;ProgramforChangjiangScholarsandInnovativeResearchTeaminUniversity,No.IRT13092.

Aboutthefirstauthor:WUKaiyan,postgraduate,majorsinprecisionengineeringsurvey,E-mail:wky781249@qq.com.

收稿日期：2015-09-19

第一作者簡介：吳開巖，碩士生，主要從事精密工程測量及變形監(jiān)測研究，E-mail：wky781249@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.08.006

文章編號：1671-5942(2016)08-0682-04

中圖分類號：P258

文獻標識碼：A

A Multivariable Grey Deformation Analysis Model Based on Multivariate Total Least-Squares Optimization

WUKaiyan1, 2ZHANGXianzhou1, 2MALong1, 2LUOLie1, 2ZHANGZheng3YUQiao4

1FacultyofGeosciencesandEnvironmentalEngineering,SouthwestJiaotongUniversity, 999Xi’anRoad,Chengdu610031,China2State-ProvinceJointEngineeringLaboratoryofSpatialInformationTechnologyforHigh-SpeedRailwaySafety,999Xi’anRoad,Chengdu610031,China3ChinaRailwayEryuanEngineeringGroupCoLtd, 3TongjinRoad,Chengdu610031,China4TheThirdRailwaySurveyandDesignInstituteGroupCorporation,10ZhongshanRoad,Tianjin300142,China

Abstract:In the process of deformation analysis, it is more reasonable and reliable that multiple monitoring points are applied to modeling and analyzing of grey system in the same deformation monitoring network compared with single monitoring point. But the traditional multivariable grey model (MGM(1,n)) has some short comings. This paper proposes a multivariable grey model based on multivariate total least-squares optimization. And the superiority of this model is proved by some examples. Simultaneously, comparing this model with the traditional MGM(1,n) and analyzing the modeling value and predictive value of these two models. The results show that the modeling and prediction accuracy of this model are higher than MGM(1,n) and this model is more suitable for the actual circumstances when the number of data modeling is over four. This model can be referred to the analysis and forecast of deformation monitoring data in further research.

Key words:multivariate total least-squares; multivariable grey model; deformation analysis; grey prediction

項目來源：國家自然科學基金(41374002)；四川省科技項目(2015JQ0046)；長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃(IRT13092)。