左衛(wèi)兵

(華北水利水電大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 鄭州 450046)

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辯證唯物論與廣譜哲學關于數(shù)理哲學的比較研究
——從數(shù)理哲學角度解讀《廣譜哲學淺說》

左衛(wèi)兵

(華北水利水電大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 鄭州 450046)

摘要：辯證唯物主義的數(shù)理哲學是用唯物辯證法的觀點分析和考察數(shù)學問題。它的研究對象是“數(shù)量型數(shù)學”，即研究數(shù)量或變量及其關系的數(shù)學。廣譜哲學把研究對象拓展到“結構型數(shù)學”，即研究結構量及其關系的數(shù)學。廣譜哲學的數(shù)理哲學堅持了唯物辯證法的基本思想，同時由于它獨特的研究對象而獲得了更為普遍的結果。

關鍵詞：辯證唯物論；廣譜哲學；數(shù)理哲學；比較

張玉祥教授在著作《廣譜哲學淺說》(以下簡稱《淺說》)中花了大量篇幅論述了作為廣譜哲學數(shù)學基礎的結構型數(shù)學，蘊含了數(shù)理哲學思想[1]。馬克思主義的創(chuàng)始人馬克思和恩格斯在創(chuàng)立和發(fā)展辯證唯物主義過程中，高度重視數(shù)學和數(shù)學中的哲學問題。恩格斯在《自然辯證法》和《反杜林論》中，闡發(fā)了從初等數(shù)學到高等數(shù)學的一系列哲學問題，包括數(shù)學理論的來源問題、數(shù)學理論的辯證法問題、數(shù)學理論的現(xiàn)實原型問題等。馬克思的專著《數(shù)學手稿》則系統(tǒng)地揭開了“微分之謎”(微分是“0”還是“非0”的問題)。那么，辯證唯物主義的數(shù)理哲學與廣譜哲學的數(shù)理哲學有什么聯(lián)系和區(qū)別，后者對前者又有什么繼承和發(fā)展？

一、辯證唯物主義對數(shù)量型數(shù)學的哲學研究

在馬克思主義經(jīng)典作家中，馬克思和恩格斯最為詳盡地研究了數(shù)學中的哲學問題。這一是為了檢驗辯證唯物主義在數(shù)學中的有效性、正確性(如恩格斯在《自然辯證法》中的相關論述)。二是為了回擊對辯證唯物主義的攻擊(如恩格斯在《反杜林論》中的相關論述)。為了便于和廣譜哲學對結構型數(shù)學哲學研究進行比較，這里只列述馬克思主義經(jīng)典作家的有關觀點。

第一，關于數(shù)學的研究對象。恩格斯指出：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系，所以是非常現(xiàn)實的材料[2]35。這里的“空間形式”是指自然界中物體的幾何形狀，這個定義兼顧了幾何學、算術和代數(shù)。顯然，由于幾何學是用數(shù)量關系刻畫幾何形狀的，因此，這個定義可以簡化為“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系的科學”。于是，恩格斯的定義有兩個含義：一是數(shù)學的研究對象是“數(shù)量關系”，二是這些數(shù)量關系來源于現(xiàn)實世界，而不是人們主觀臆造的，后者體現(xiàn)了唯物主義“客觀存在第一性”的觀點。

第二，關于數(shù)學的現(xiàn)實原型。恩格斯從唯物主義認識論出發(fā)，認為“數(shù)和形的概念不是從其他地方，而是從現(xiàn)實世界得來的”[2]35。他從人們最初計數(shù)開始，講到人的抽象能力的形成；從對自然界物體形狀的比較開始，講到形的概念的形成。特別指出“甚至數(shù)學上各種數(shù)量的明顯的相互導出，也并不證明它們的先驗的來源，而只是證明它們的合理的相互關系”[2]35。為了說明微分和積分的現(xiàn)實原型，恩格斯還專門設計了一個立方體放在硫磺蒸氣中的凝結過程，水分子的蒸發(fā)(微分)和凝結(積分)過程[3]160-161，等等。同樣地，列寧在回答不同領域的自然現(xiàn)象遵循同一個微分方程式疑問時指出，這反映了“自然界的統(tǒng)一性顯示在關于各種現(xiàn)象領域的微分方程式的‘驚人的類似’中”[4]289。表1列舉了恩格斯和列寧的主要觀點。

從表1可以看出：第一，數(shù)量型數(shù)學的基本概念均有自己的現(xiàn)實原型，它們是客觀存在的反映，而不是人腦主觀臆造的人的“自由創(chuàng)造物”，甚至連“無限大”“無限小”這種無限量也不例外；第二，數(shù)量型數(shù)學的現(xiàn)實原型主要限于自然界或自然科學領域，沒有也不可能涉及到社會科學或人文科學領域。這是因為，數(shù)量型數(shù)學要求研究對象有明確的數(shù)量及數(shù)量關系，而自然界的物體及其關系恰好具有這種特點。當涉及到人類社會時，比如涉及到人數(shù)增減運算時，人是作為自然物計算的。而人類社會中最根本的東西，例如人的性格(自卑、自大、頑固、偏執(zhí)等)、人的價值取向(向善、求美、進步、升官等)，由于沒有或表現(xiàn)不出明確的數(shù)量特征，因此，無法用數(shù)量型數(shù)學表述。

第三，關于數(shù)學的辯證法。馬克思主義經(jīng)典作家都高度重視數(shù)學成果所體現(xiàn)的辯證法思想，認為這是辯證唯物主義相應觀點的具體體現(xiàn)或證明。例如，恩格斯在《自然辯證法》中對于初等數(shù)學和高等數(shù)學諸多內(nèi)容辯證意義的分析，馬克思在《數(shù)學手稿》中對于從導數(shù)到微分辯證過程和結果的分析等[5]1-9。表2給出了馬克思主義經(jīng)典作家對于數(shù)量型數(shù)學辯證意義的若干觀點。

表2　部分數(shù)量型數(shù)學概念的辯證意義

從表2中可以看出：第一，無論是初等數(shù)學還是高等數(shù)學(微積分)，都涉及到辯證法的范疇，包括聯(lián)系的觀點、對立統(tǒng)一思想、異同關系、量變質(zhì)變、辯證否定(揚棄)等等。特別地，即使在初等數(shù)學(常量數(shù)學)范圍內(nèi)，人們也會碰到辯證范疇，這揭示了辯證法的普遍意義。第二，由于數(shù)量型數(shù)學只能用于具有數(shù)量關系的對象，而哲學的概念、命題、原理等一般不具有數(shù)量特征，因此，它們不能成為哲學范疇(包括辯證法范疇)的數(shù)學模型，只能作為哲學范疇的特殊例證。例如表2中的微分和積分，就是列寧強調(diào)對立統(tǒng)一規(guī)律時舉的一個例子[6]407。

概括起來說，馬克思主義經(jīng)典作家運用辯證唯物主義的觀點，觀察和分析數(shù)學問題，揭示了數(shù)量型數(shù)學的研究對象、客觀原型和辯證意義，奠定了辯證唯物主義數(shù)理哲學的基礎，也為數(shù)理哲學的發(fā)展指明了方向。但由于歷史的局限性，馬克思主義的經(jīng)典作家不可能預測到數(shù)學發(fā)展的另一個方向——結構型數(shù)學的方向。事實上，在馬克思、恩格斯時代，伽羅華開創(chuàng)的群論還處在萌芽階段，而它對現(xiàn)代科學的劃時代意義還沒有被發(fā)掘出來；康托所創(chuàng)立的集合論還處在襁褓中(而且?guī)捉欢髿?，它對于整個科學的意義還無人知曉；布巴基學派的結構主義還沒有誕生，等等。在這樣的社會歷史條件下，辯證唯物主義的數(shù)理哲學只能局限于數(shù)量型數(shù)學領域，這是可以理解的。

二、廣譜哲學對結構型數(shù)學的哲學研究

與辯證唯物主義的創(chuàng)始人研究數(shù)學中哲學問題的出發(fā)點不同，廣譜哲學既不是為了論證在離散數(shù)學(集合論、關系論、映射論、變換論、結構論、圖論等)中辯證唯物主義的正確性、有效性，也不是為了反擊在離散數(shù)學領域中對辯證唯物主義的攻擊，而是為了解決哲學命題的普遍性與精確性的矛盾，需要對離散數(shù)學的基本概念做出足夠普遍性的哲學分析。廣譜哲學做的主要工作表現(xiàn)在三個方面：

(一)提煉了結構型數(shù)學的概念和基本特征

數(shù)學從數(shù)量型數(shù)學到結構型數(shù)學經(jīng)歷了幾個典型事件：一是伽羅華從求解代數(shù)方程到提出置換群(一種代數(shù)結構)，后者成為一般群論研究的基礎；二是康托從研究數(shù)集和點集發(fā)展出樸素的集合論，后者是抽象集合論(建立在任意事物集合上的集合論)的基礎；三是布巴基學派用三種數(shù)學結構(代數(shù)結構、序結構、拓撲結構)及其子結構的交叉、組合統(tǒng)一處理數(shù)學各分支的成就，它在現(xiàn)代數(shù)學的主要領域?qū)崿F(xiàn)了數(shù)量型數(shù)學向結構型數(shù)學的轉(zhuǎn)化。結構型數(shù)學“可以看成是數(shù)量型數(shù)學的一種揚棄(既發(fā)揚又拋棄)，既拋棄了數(shù)量型數(shù)學對數(shù)量關系的依賴性，又保留和發(fā)展了數(shù)量型數(shù)學的抽象結構關系特征”[1]205。

張玉祥教授多年悉心研究有關結構型數(shù)學的成果，發(fā)表了《廣義量化及其模型方法》[7]145-159、《關于廣義數(shù)學觀的探討》[8]等論文。《淺說》一書專辟一篇共14章專門通俗系統(tǒng)地介紹了結構型數(shù)學。

《淺說》在第21章開宗明義地指出，結構型數(shù)學是“研究結構量及其關系的科學”，其中“結構量是指建立在抽象集合上的關系及其組合，而抽象集合是指以一般事物(不限于數(shù)量)為元素的集合”[1]194。按照這個定義，通常的集合、二元關系、多元關系、等價關系、半序關系、映射、變換、同構、同態(tài)等都是結構量。因此，以這些結構量為研究對象的若干基礎數(shù)學理論，如集合論、數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、群論、圖論、拓撲學、范疇論等，都屬于結構型數(shù)學。表3給出了這兩類數(shù)學的若干比較[9]。

表3　數(shù)量型數(shù)學與結構型數(shù)學

表3表明，一方面，數(shù)量型數(shù)學與結構型數(shù)學有同一性，它們的“輸入”(運算對象)和“輸出”(運算結果)都分別是同一個對象，它們都遵守相同的運算律。另一方面，它們的運算對象不同，因此運算方法不同，運算律也有含義上的不同。數(shù)量型數(shù)學的運算對象是數(shù)量、變量等，因此它的運算方法體現(xiàn)的是數(shù)量的增減。結構型數(shù)學的運算對象是結構量，而結構是“集合+關系”，本質(zhì)上是集合(關系也是集合)，因此，它的運算方法體現(xiàn)的是集合中抽象元素(不限于數(shù))的增減等。在運算律上，雖然兩類數(shù)學遵循的是形式上一樣的法則，但含義有別。例如數(shù)量型數(shù)學和結構型數(shù)學都遵循封閉律，但前者是指兩個數(shù)量運算后不超出所屬數(shù)系的范圍，而后者是指兩個結構量運算后不超出某一結構類，特別是指保持某結構的性質(zhì)不變(或叫守恒)。例如兩個等價關系的交仍是等價關系，等等。

(二)概括了結構型數(shù)學模塊的事理背景

與辯證唯物主義哲學關注數(shù)量型數(shù)學的現(xiàn)實原型一樣，廣譜哲學高度重視挖掘結構型數(shù)學的事理背景。當然，由于結構型數(shù)學是建立在抽象集合上的關系結構，因而它的事理背景更具有一般性、普遍性。例如兩個集合A與B的直積，A×B可以看成是平面上直角坐標系的推廣。平面直角坐標系上的元素是形如(x,y)的“數(shù)對”的集合，其中x是橫坐標，y是縱坐標。而直積A×B上的元素不一定是“數(shù)對”，而是“任意事物的有序?qū)Α?。例如A×B上的元素可以是“因果序?qū)Α?第一因子為“原因”，第二因子為“結果”)、“時態(tài)序?qū)Α?第一因子為“時間”，第二因子為“狀態(tài)”)等。同樣地，直角坐標系上的函數(shù)y=f(x)，也不再限于給定一個自變量x，有一個因變量y與之對應，而是給定一個任意事物(如一個大學畢業(yè)生)，有另一個任意事物(如一個工作崗位)與之對應等等?！稖\說》中給出了近百個結構型數(shù)學模塊的一般事理背景，反映了結構型數(shù)學廣泛的事理基礎，也展示了它們的廣闊的應用前景。表4列舉了集合論中的部分模塊及其事理背景[9]。

顯然，與表1相比，這里的數(shù)學模塊不限于數(shù)量(或變量)及其關系，因而其事理背景或現(xiàn)實原型也不限于自然界的物質(zhì)及其關系，而是可以廣及自然、社會乃至人的思維諸領域的任意事物及其關系。例如商集(按等價關系對事物和集合分類形成的等價類的集合)的概念，不僅可以是自然界物質(zhì)的分類，也可以是對人群的分類(如階級劃分、階層劃分、民族劃分等)，還可以是對概念的分類(如代數(shù)概念類、幾何概念類、力學概念類、化學概念類等，更小的如同義詞、反義詞等)。因此，結構型的數(shù)學模塊可用于一般事物(不限于有數(shù)量特征的事物)的機理分析。

表4　集合論中部分模塊的事理背景

(三)揭示了結構型數(shù)學模塊的哲學意義

廣譜哲學為了能夠用結構型數(shù)學刻畫哲學問題，除了十分重視結構型數(shù)學模塊的一般事物機理外，更重視它們的哲學意義，即如何通過結構量及其關系(結構量的運算、復合或組合等)刻畫哲學問題。例如映射f:A→B可以是入射、滿射或雙射，但只有滿射f:A→f(A)=B可以同時反映辯證唯物主義認識論的若干機理[1]274-279。因此，廣譜哲學把它作為人的認知方式的基本模型。而雙射是特殊的滿射，它是最理想的認知方式(由原因可獲得唯一結果，也可由結果得到唯一原因)，因此，雙射的復合f-1°f=IA和f°f-1=IB正是研究對象完全可知的數(shù)學條件。其中IA，IB分別為集合A，B上的恒等映射。表5給出了部分結構型數(shù)學模塊的哲學意義。

表5　部分結構型數(shù)學模塊的哲學意義

不難看出，與表2相比，這里的結構型數(shù)學模塊由于不限于數(shù)量(或變量)關系，因而它們的哲學意義也不限于自然界的物質(zhì)關系，特別是不限于僅僅為哲學概念、命題或原理提供例證，它們本身或經(jīng)過改造就可以成為哲學相應概念、命題或原理的數(shù)學模型。也就是說，哲學的概念、命題或原理的適用面有多寬，這些數(shù)學模塊的適用面就有多寬，不會出現(xiàn)“把碩大無比的花朵插到纖細的莖上”(黑格爾語)的尷尬局面。例如在數(shù)學上等價類是具有相同性質(zhì)的事物組成的類(集合)，但從辯證法的運動變化觀點出發(fā)，廣譜哲學把它改造為“自等價類”，即事物自身隨著時間的變化，它的變化狀態(tài)的集合沒有超出一定的界限所形成的等價類。這時，事物在自等價類內(nèi)的變化(稱為同類變)即為廣義的量變，而從一個自等價類到相鄰的另一個自等價類的變化(稱為異類變)即為廣義的質(zhì)變，而自等價類的“大小”即為廣義的“度”。表5中其他的概念可以作如是觀，不再贅述。

三、結語

辯證唯物主義的數(shù)理哲學在數(shù)量型數(shù)學的范圍內(nèi)，闡發(fā)了數(shù)學認識的唯物論(客觀原型)、數(shù)學認識的辯證法，從而在數(shù)量型數(shù)學領域內(nèi)論證和捍衛(wèi)了辯證唯物主義。但由于數(shù)量型數(shù)學本身的局限性(以研究對象須有明確的數(shù)量關系為前提)，因而這種數(shù)理哲學主要適合解釋自然界物質(zhì)的數(shù)量關系及其變化，只能作為論證辯證唯物主義哲學的例證，而不能說明自然界以外的(如社會的、思維的)、不具有明確數(shù)量特征的事物的性狀、運動和變化，不能為辯證唯物主義哲學(或者任何哲學)建立數(shù)學模型。廣譜哲學繼承了辯證唯物主義數(shù)理哲學的基本思想，堅持用唯物的(事理背景或現(xiàn)實原型)、辯證的觀點觀察和分析數(shù)學問題，但由于它選擇了結構型數(shù)學(而非數(shù)量型數(shù)學)為研究對象，這使它獲得了對哲學而言更為廣泛、深刻的結果：第一，它使數(shù)學的現(xiàn)實原型從自然界的物質(zhì)關系擴展到包括自然界、人類社會、人的認知過程的一般事物之間的關系；第二，它把數(shù)理哲學的傳統(tǒng)功能(為數(shù)學釋疑解惑、為哲學尋找例證)轉(zhuǎn)變成為哲學問題(概念、命題或原理)建立直接的數(shù)學模型。毫無疑問，后者深刻地改變了哲學的面貌。

參考文獻：

[1] 張玉祥.廣譜哲學淺說[M].北京：中國社會科學出版社，2014.

[2] 恩格斯.反杜林論[M].北京：人民出版社，1970.

[3] 恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1984.

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[8] 張玉祥.關于廣義數(shù)學觀的探討[J].華北水利水電學院學報，1994(1):23-31.

[9] 張玉祥.結構型數(shù)學及其在廣譜分析中的應用[J].河南科學，2009(5):525-529.

(責任編輯：蔡洪濤)

收稿日期：2016-04-03

作者簡介：左衛(wèi)兵(1976—)，男，河南內(nèi)黃人，華北水利水電大學數(shù)學與信息科學學院教授，研究方向為應用數(shù)學。

中圖分類號：B089

文獻標識碼：A

文章編號：1008—4444(2016)04—0001—05

A Comparative Study between Dialectical Materialism and Broad-spectrum Philosophy about Mathematical Philosophy—An Interpretation ofAnElementaryIntroductiontoBroad-spectrumPhilosophyfrom the Perspective of Mathematical Philosophy

ZUO Weibing

(School of Mathematics and Information Science, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045, China)

Abstract:Mathematical philosophy of dialectical materialism analyzes and investigates mathematical problems from the point of view of materialist dialectics. Its object is “quantitative mathematics”, that is, mathematics of researching quantity or variable and their relationships. Broad-spectrum philosophy extends its object to “structural mathematics”, that is, it studies “structural quantity and their relationships”. The mathematical philosophy of broad-spectrum philosophy sticks to the basic idea of materialist dialectics, meanwhile, we get a more common result because of its unique research object.

Key words:dialectical materialism; broad-spectrum philosophy; mathematical philosophy; comparative study

廣譜哲學專題研究(下)