(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303)

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一個(gè)半離散非齊次核Hardy-Hilbert型不等式的加強(qiáng)

黃啟亮, 楊必成

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303)

摘要:引入獨(dú)立參數(shù), 應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法及Hermite-Hadamard不等式, 建立一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的加強(qiáng)的半離散非齊次核Hardy-Hilbert型不等式,還考慮了其等價(jià)式.

關(guān)鍵詞:Hardy-Hilbert型不等式;參數(shù);權(quán)函數(shù);等價(jià)式;加強(qiáng)

0引言

(1)

(2)

當(dāng)μi=νi=1(i=1,2,…)時(shí),式(2)變?yōu)槭?1).

(3)

(4)

2009—2011年,楊必成在文[5-6]中論述了引入?yún)⒘康?、離散的Hilbert型不等式理論. 2015年,在類似條件下,文[7]給出如下一個(gè)式(2)及式(3)的具有最佳常數(shù)因子的推廣式:

(5)

關(guān)于半離散及全平面Hilbert不等式的一些最新結(jié)果,可參閱文[8-11].

本文引入獨(dú)立參數(shù),應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法及Hermite-Hadamard不等式,建立一個(gè)類似于式(5)的具有最佳常數(shù)因子的加強(qiáng)的半離散非齊次核Hardy-Hilbert型式,還考慮了其等價(jià)式.

1 一些引理

(6)

(7)

則有不等式:

ωα(σ,x)

(8)

?α(σ,n)≤kα(σ)(n∈N;0<σ<α).

(9)

對(duì)上式作變換u=(U(x)V(y))α,有

我們還有

(10)

(11)

2等價(jià)不等式及其最佳常數(shù)因子

(12)

(13)

(14)

證明配方,并由帶權(quán)的H?lder不等式[12],有

(15)

由式(9),即有

(16)

再由式(8),即有式(13). 配方,由H?lder不等式[12],有

(17)

故式(13)成立且與式(12)等價(jià).

同理可證式(14)成立且與式(12)等價(jià).故式(12),式(13)與式(14)齊等價(jià).證畢.

若有正常數(shù)K≤kα(σ),使取代式(12)的常數(shù)因子kα(σ)后仍成立,則特別有

(18)且由定理2的證明知式(18)的常數(shù)因子也是最佳值.

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收稿日期：2015-12-09

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370186)

作者簡(jiǎn)介：黃啟亮,男,廣西桂林人,廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系教授.

中圖分類號(hào)：O 178

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0008-05

A Strengthened Version of a Half-Discrete Hardy-Hilbert-Type Inequality with a Non-Homogeneous Kernel

HUANG Qi-liang, YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education,Guangzhou, Guangdong， 510303, P. R. China)

Abstract:By applying the way of weight functions and Hermite-Hadamard’s inequality, a strengthened version of a half-discrete Hardy-Hilbert-type inequality with a non-homogeneous kernel and a best possible constant factor is provided. Furthermore, the strengthened equivalent forms are considered.

Key words:Hardy-Hilbert-type inequality; parameter; weight function; equivalent form; strengthened version