劉振龍（福建省泉州培元中學(xué)）

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三角形解的個(gè)數(shù)的進(jìn)一步討論

劉振龍
（福建省泉州培元中學(xué)）

在學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理之后，學(xué)生經(jīng)常對如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)而煩擾。結(jié)合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三邊（且符合任意兩邊之和大于第三邊）、兩邊一夾角、兩角一邊，則該三角形有唯一解。但是如果已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時(shí)，解的情況又如何呢？普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)必修5》在第8頁到第9頁的“探究與發(fā)現(xiàn)《解三角形的進(jìn)一步討論》”中有詳細(xì)的說明（此處略），但分類種數(shù)較多，學(xué)生容易混淆結(jié)論，故在實(shí)際操作中仍存在很多困惑。因此，針對學(xué)生的具體學(xué)情，筆者以課堂實(shí)例為依托，對已知“兩邊一對角”的三角形解的個(gè)數(shù)問題進(jìn)行多種方法的探究討論。

【例1】在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°則此三角形解的個(gè)數(shù)為______。

綜上，該三角形有兩解。

方法二：畫圓找交點(diǎn)

解：由于角A為已知角，故先畫出角A，在角A的其中一邊上確定頂點(diǎn)C，使得AC=24，即b=24，接著以點(diǎn)C為圓心，a=18為半徑畫圓，觀察所畫得的圓與角A的另一邊出現(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（交點(diǎn)即為三角形的頂點(diǎn)B），若沒有交點(diǎn)，則說明該三角形無解；若只有一個(gè)交點(diǎn)，則說明該三角形解的個(gè)數(shù)為1個(gè)；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則說明該三角形解的個(gè)數(shù)為2個(gè)。

如圖所示，以C為圓心，為半徑所畫得的圓與角A的另一邊交于B1，B2兩點(diǎn)，故該三角形有兩解。在判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用半徑a與過點(diǎn)C作射線AB1的垂線段CH的長度大小進(jìn)行對比：若a＜CH，則無交點(diǎn)；若a=CH，則有一個(gè)交點(diǎn)；若CH＜a＜b，則有兩個(gè)交點(diǎn)；若a≥b，則有一個(gè)交點(diǎn)。

方法一：正弦定理

方法二：畫圓找交點(diǎn)

方法三：二次方程的正根個(gè)數(shù)

已知兩邊一角問題，也可對角A應(yīng)用余弦定理，并將其整理成關(guān)于邊長c的一元二次方程c2-2bcosA·c+b2-a2=0，若該方程無實(shí)根或只有負(fù)數(shù)根，則該三角形無解；若方程有一個(gè)正數(shù)根，則該三角形有一解；若方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，則該三角形有兩解。

對于例2，若應(yīng)用“方法三”，可以得到關(guān)于邊長c的一元二次方程c2-bc+b2-3=0。由題意，要使得該方程有一個(gè)正數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)（對稱軸為），可得Δ=（-b）2=4（b2-3）=0或者b2-3≤0，解得b=2或。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，不斷滲透、總結(jié)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想并有效地理解掌握，對于尋找解題途徑和提高解題能力具有重大意義。上述方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等多種數(shù)學(xué)思想。當(dāng)面臨問題時(shí)，先思考該問題所屬類別，盡可能多地聯(lián)想解決此類問題所能包含的各種數(shù)學(xué)思想，選擇其中一種或多種思想予以解決。所以，平時(shí)注重對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識歸納和掌握，對于提升認(rèn)識并解決問題的能力大有益處。

·編輯尹軍