劉　鵬， 劉紅軍， 林　坤， 秦　榮

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院,廣東 深圳　518055；2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,南寧　530004)

基于樣條有限點(diǎn)法的變截面Euler梁橫向自由振動(dòng)分析

劉鵬1， 劉紅軍1， 林坤1， 秦榮2

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院,廣東 深圳518055；2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,南寧530004)

基于Bernoulli-Euler梁理論，采用樣條有限點(diǎn)法建立考慮截面高寬度沿軸線性變化的變截面Euler梁振動(dòng)分析的計(jì)算模型，通過(guò)沿梁軸線設(shè)置一定數(shù)量的樣條節(jié)點(diǎn)對(duì)變截面梁樣條離散化，采用三次B樣條函數(shù)對(duì)梁的位移場(chǎng)進(jìn)行插值，基于Hamilton原理導(dǎo)出變截面Euler梁的振動(dòng)方程，推導(dǎo)考慮截面尺寸變化效應(yīng)的總剛度和總質(zhì)量矩陣的表達(dá)式，并編制計(jì)算程序，算例分析表明，模型的變截面梁的橫向自振頻率解答與文獻(xiàn)解答吻合良好，計(jì)算精度和計(jì)算效率高，且模型邊界處理簡(jiǎn)單，取樣條離散節(jié)點(diǎn)數(shù)為15時(shí)，模型可以取得較高精度且解答趨于穩(wěn)定。模型可適用于不同邊界、不同截面變化率和不同截面類型的變截面Euler梁的自由振動(dòng)分析。

歐拉梁理論；變截面梁；橫向自由振動(dòng)；樣條有限點(diǎn)法

梁結(jié)構(gòu)是工程中重要的結(jié)構(gòu)，在土木、橋梁及航空航天等領(lǐng)域，梁式結(jié)構(gòu)得到廣泛運(yùn)用，梁的振動(dòng)問(wèn)題也是工程結(jié)構(gòu)中重要問(wèn)題，對(duì)長(zhǎng)細(xì)比較小的細(xì)長(zhǎng)梁，基于Bernoulli-Euler梁理論(EBT)建立動(dòng)力分析模型可以滿足工程精度要求[1]。變截面梁截面的不確定性，使得其建模與分析方法與等截面梁不同，等截面Euler梁自由振動(dòng)分析已經(jīng)具有解析解，而變截面Euler梁自由振動(dòng)分析尚無(wú)統(tǒng)一解析解[2]。為此，研究人員們針對(duì)變截面Euler梁振動(dòng)分析提出了各類數(shù)值和建模方法研究，如有限差分法[3-4](FDM)，微分變換法[5](DTM)、微分變換單元法[1](DTEM)、修正耦合應(yīng)力理論[6](MSCT)及其他數(shù)值分析方法[2, 7-8]等。

秦榮[9-11]提出用于結(jié)構(gòu)分析的樣條有限點(diǎn)法(Spline Finite Point Method,SFPM),研究表明SFPM具有不需劃分結(jié)構(gòu)單元，邊界處理方便，計(jì)算精度和效率較高等優(yōu)點(diǎn)，可對(duì)各類梁、板、橋梁等結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析[12-14]。對(duì)變截面Euler梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題, 并未見有文獻(xiàn)報(bào)道采用SFPM進(jìn)行建模分析?；赟FPM的優(yōu)點(diǎn)，本文針對(duì)截面高寬和寬度沿軸線方向線性變化的變截面Euler梁，采用SFPM建立其振動(dòng)分析模型，首次推導(dǎo)其考慮梁截面尺寸變化效應(yīng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的整體表達(dá)式，通過(guò)算例分析研究截面尺寸變化效應(yīng)對(duì)變截面Euler梁的橫向自由振動(dòng)頻率的影響，并與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證本文方法的正確性。

1變截面Euler梁SFPM計(jì)算模型

1.1Euler梁理論

如圖1所示變截面梁，假定彈性模量E和材料密度ρ均沿著梁軸線為常數(shù)，梁跨為L(zhǎng)，梁橫截面面積A(x)和慣性矩I(x)沿著梁軸線按冪函數(shù)連續(xù)變化。根據(jù)EBT理論，在受外部橫向荷載p=p(x,t)作用下，設(shè)變截面Euler梁的橫向位移設(shè)為w=w(x,t)，可得變截面Euler梁的位移、應(yīng)變、應(yīng)力的表達(dá)式為：

(1)

圖1　變截面梁示意圖Fig.1 The sketch of tapered beams

(2)

(3)

式中：cb,ch,cd分別為與b(x),h(x),d(x)相關(guān)的截面變化系數(shù)；cb=ch=cd=0表示為等截面梁；A0,I0為變截面梁左端的截面面積和慣性矩。

由式(1),(2)展開，可得：

(4)

基于Hamilton原理，可得不考慮阻尼作用下變截面Euler梁的運(yùn)動(dòng)總勢(shì)能泛函為[11]：

(5)

1.2變截面Euler梁SFPM計(jì)算格式

基于SFPM的建模離散方法[10]，對(duì)圖1所示的變截面Euler梁 沿軸線x方向進(jìn)行樣條離散，并對(duì)梁進(jìn)行均勻劃分，設(shè)N為樣條離散節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，hx為樣條離散步長(zhǎng)，離散示意圖如圖2所示。

圖2　變截面沿軸線梁樣條離散化Fig.2 Spline discretization of tapered beam

圖2中，有：

0=x0

xi=x0+ihx,hx=L/N

(6)

采用三次B樣條函數(shù)對(duì)變截面Euler梁的橫向位移場(chǎng)w(x,t)進(jìn)行插值，有：

w=w(x,t)=[φ(x)]{a(t)}=[φ]{a}

(7)

式中：

(8)

式中[φ]為一組由三次B樣條函數(shù)構(gòu)成的樣條基函數(shù)；{a}為樣條節(jié)點(diǎn)廣義參數(shù)。本文采用廣義參數(shù)法構(gòu)造出適合各種邊界條件的樣條基函數(shù)[10-11]，將[φ]展開可寫為：

[φ]=[φ-1φ0φ1…φNφN+1]=

[φ3,-1φ3,0…φ3,Nφ3,N+1][Qs]=

[φ3,i]1×(N+3)[Qs]

(9)

式中：[Qs]為(N+3)×(N+3)階的轉(zhuǎn)換矩陣；φ3,i為與樣條節(jié)點(diǎn)和離散步長(zhǎng)相關(guān)的3次B樣條函數(shù)，可展開為：

(i=-1,0,…,N,N+1)

(10)

[Qs]=diag([g],[I],[h])

(11)

式中：[I]為(N-3)×(N-3)階的單位矩陣

本文采用的樣條基函數(shù)[φ]滿足邊界條件[10]

(13)

對(duì)式(7)求導(dǎo)，得：

(14)

將式(7)、(14)代人式(5)得變截面Euler梁的運(yùn)動(dòng)樣條離散化后的總勢(shì)能泛函為

(15)

式中

(16)

(17)

(18)

對(duì)式(14)，利用變分原理，可得

δΠ=?Π/?{a}=0

(19)

得到變截面Euler梁樣條離散化的彎曲振動(dòng)方程

(20)

若外荷載為零，可得變截面Euler梁樣條離散化的自由振動(dòng)方程為：

(21)

假定變截面Euler梁軸線上各節(jié)點(diǎn)均按相同的頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并令{a}={φ}sin(ωt+θ)，并代人式(21)，可得頻率方程為：

([K]-ω2[M]){φ}={0}

(22)

式中令λ=ω2，則式(22)可化為

([K]-λ[M]){φ}={0}

(23)

式(23)即為變截面Euler梁自由振動(dòng)問(wèn)題的特征方程，為使式(23)有非零解，則必有

(24)

1.3剛度矩陣、質(zhì)量矩陣計(jì)算

將式(4)代人式(16)、(17)，可得變截面Euler梁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的展開式為：

(25)

(26)

式中：

i,k=-1,0,1,…,N,N+1

(27)

其中Ax,m,Fx,n為(N+3)×(N+3)階矩陣，是本文模型的重要矩陣，也是推導(dǎo)本文模型變截面Euler梁振動(dòng)方程的關(guān)鍵步驟，可采用分部積分法進(jìn)行計(jì)算，詳見本文后節(jié)推導(dǎo)。

[K]=EI0[Ax0],[M]=ρA0[Fx0]

(28)

1.4分部積分計(jì)算

假定t=x/hx-i,c=k-i,0

(29)

并假設(shè)

(30)

代人式(27)中，可得各矩陣的積分計(jì)算式為：

(31)

i,k=-1,0,1,…,N,N+1

(32)

當(dāng)m=n=0時(shí)，將式(30)～(32)展開并進(jìn)行分部積分運(yùn)算，可得：

f(t)=φ″3(t-c)λ(t)=φ3(t-c)

(33)

(34)

(35)

同理，當(dāng)m=n=2時(shí)，將式(30)～(32)展開并進(jìn)行積分運(yùn)算， 可得

f(t)=f1(t)φ″3(t-c)f1(t)=(t+i)2

λ(t)=λ1(t)φ3(t-c)λ1(t)=(t+i)2

k=0,1,2

(36)

(37)

f(t)(-j)=∫f(t)(-j+1)dt=

(38)

(39)

λ(t)(-j)=∫λ(t)(-j+1)dt=

j=1,2,3,4

(40)

當(dāng)m,n取其它值時(shí)，可按同樣方法計(jì)算，限于篇幅本文不在展開計(jì)算，將所有計(jì)算得到的各矩陣代人式(25)～(27)就可得到變截面Euler梁SFPM計(jì)算模型的剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]。

2邊界條件

在計(jì)算自振頻率前，需先根據(jù)邊界條件對(duì)剛度和質(zhì)量矩陣進(jìn)行邊界處理。綜合式(13)及樣條基函數(shù)的特性[10-11]，變截面Euler梁的SFPM計(jì)算模型的邊界條件按以下方式處理：

2) 滿足廣義參數(shù)a-1=0，就可保證梁左端簡(jiǎn)單支條件(wx=0=0)；

4) 滿足廣義參數(shù)aN+1=0，就可保證梁右端簡(jiǎn)支條件(wx=L=0)

以兩端固定梁為例，處理廣義參數(shù)a-1,a0,aN,aN+1所對(duì)應(yīng)[K],[M]矩陣的前兩行兩列，就可滿足變截面Euler梁兩端固支邊界條件；處理方法采用縮減矩陣法，即直接將[K],[M]中對(duì)應(yīng)邊界的行列直接刪去，對(duì)兩端固支梁，經(jīng)過(guò)邊界處理后的[K],[M]矩陣的縮減成(N-1)×(N-1)階的矩陣。

3算例分析

分析各類變截面梁橫向自由振動(dòng)，計(jì)算其橫向自由振動(dòng)頻率值。定義四種邊界條件：兩端固支(C-C)、兩端簡(jiǎn)支(P-P)、一端固支一端簡(jiǎn)支(C-P)、一端固支一端自由(C-F)。

算例1等截面Euler梁 及SFPM模型計(jì)算精度討論

據(jù)表1計(jì)算結(jié)果可知，等截面Euler梁各階自振頻率的SFPM解與解析解、文獻(xiàn)解吻合良好，驗(yàn)證了本文模型對(duì)等截面Euler梁橫向自由振動(dòng)分析是可靠的；當(dāng)取樣條離散節(jié)點(diǎn)N≥15時(shí)，本文可獲得較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

表1　等截面Euler梁無(wú)量綱頻率系數(shù)邊界)

算例2高度變化寬度不變矩形變截面Euler梁自振頻率計(jì)算

矩形變截面Euler梁 ，高度沿軸線線性變化，寬度不變，采用文獻(xiàn)[7]算例2的參數(shù)L=1 m,b0×h0=0.01×0.03 m,bN×hN=0.01×0.01 m,E=2.1×1011N/m2,ρ=7 800 kg/m3，計(jì)算得到截面變化率：cb=0,ch=2/3

文獻(xiàn)[7]中采用一種分段建模的數(shù)值方法，對(duì)該矩形變截面Euler梁的橫向振動(dòng)頻率進(jìn)行分析。

本文采用SFPM模型對(duì)文獻(xiàn)算例進(jìn)行驗(yàn)證，表2 給出了不同樣條離散節(jié)點(diǎn)數(shù)N情況下，按本文方法建模分析得到的P-P邊界矩形變截面Euler梁自振頻率的解答，并給出誤差比較。表3給出了C-C，C-F邊界情況下矩形變截面Euler梁的頻率解答和誤差比較。

表2　矩形變截面Euler梁無(wú)量綱頻率系數(shù)邊界)

注：誤差值是本文解N=15與文獻(xiàn)NS=8解的差值

算例3直徑變化圓形變截面Euler梁自振頻率計(jì)算

圓形變截面Euler梁，材料參數(shù)同算例2，截面類型變?yōu)閳A形截面，截面尺寸：L=1 m,d0=0.02 m,dN=0.01 m經(jīng)計(jì)算得截面變化率：cd=0.5 m。表4給出按SFPM計(jì)算得到的P-P邊界圓形變截面梁自振頻率，并給出取不同樣條節(jié)點(diǎn)數(shù)N情況下的計(jì)算值和與文獻(xiàn)解[7]的誤差比較；表5給出C-C和C-F邊界條件下圓形變截面Euler梁的頻率解答及誤差比較。

表3　矩形變截面Euler梁無(wú)量綱頻率系數(shù)

注：err1=(P1-R1)/R1×100%;err2=(P1-R2)/R2×100%;NS是梁分段數(shù)

表4　圓形變截面梁無(wú)量綱頻率系數(shù)邊界)

注：誤差值是本文解(N=15)與文獻(xiàn)NS=8解的差值

由表2～表5計(jì)算結(jié)果可知，本文模型計(jì)算得到變截面Euler梁橫向振動(dòng)頻率SFPM解答與文獻(xiàn)[7,15]

非常逼近，驗(yàn)證本文模型可以分析不同截面類型的變截面Euler梁的振動(dòng)問(wèn)題。

綜合表2和表4計(jì)算結(jié)果可知，在樣條節(jié)點(diǎn)數(shù)N取到15時(shí)，變截面Euler梁的自振頻率解答已經(jīng)收斂，繼續(xù)增加節(jié)點(diǎn)數(shù)N對(duì)計(jì)算精度提升不明顯。而通過(guò)表3、表5的數(shù)據(jù)可知，在較少的樣條離散節(jié)點(diǎn)數(shù)(N=15)情況下, 本文模型解答具有很高的計(jì)算精度且能適用于不同邊界條件。

文獻(xiàn)[15]在取較多梁分段數(shù)(NS=128)計(jì)算模型的頻率解答才與本文解答逼近(N=15),而本文模型無(wú)需要?jiǎng)澐纸Y(jié)構(gòu)單元，只需設(shè)置適當(dāng)?shù)臉訔l節(jié)點(diǎn)數(shù)，就可以獲得很高的計(jì)算精度和計(jì)算效率，而且頻率的計(jì)算精度與梁的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，這也是本文模型的創(chuàng)新性所在。

注：err1=(P1-R1)/R1×100%;err2=(P1-R2)/R2×100%;NS是梁分段數(shù)

算例4高寬度同時(shí)變化時(shí)矩形變截面Euler梁自振頻率計(jì)算

計(jì)算參數(shù)取自文獻(xiàn)[4]，矩形變截面混凝土簡(jiǎn)支梁(P-P)，計(jì)算參數(shù)為：L=4 m,b0×h0=0.2×0.2 m,bN×hN=0.4×0.3 m,E=2.0×1010N/m2,ρ=2 500 kg/m3；計(jì)算得到截面變化率：cb=-1,ch=-0.5；文獻(xiàn)[4]采用有限差分法建立變截面Euler梁的動(dòng)力分析模型，該方法的計(jì)算精度主要取決于計(jì)算步長(zhǎng)數(shù)n。本文采用SFPM進(jìn)行建模分析，分析樣條離散節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響，計(jì)算結(jié)果列于表6中。

表6　矩形變截面Euler梁無(wú)量綱頻率系數(shù)邊界)

注：誤差值是本文解(N=15)與文獻(xiàn)解(n=900)的差值

同時(shí)，采用本文SFPM建立模型(取N=15)，分析cb,ch變化對(duì)不同邊界條件下變截面Euler梁的自振頻率影響；表7給出cb,ch變化時(shí)P-P和C-F邊界變截面Euler梁的前2階頻率系數(shù)；圖3給出C-F邊界變截面梁前2階頻率系數(shù)隨cb,ch的變化曲線。

由表6計(jì)算結(jié)果可知，對(duì)截面高度寬度同時(shí)變化的矩形變截面梁，SFPM計(jì)算模型同樣可以獲得較高的計(jì)算精度，再次驗(yàn)證本文方法的正確性。

由表7計(jì)算結(jié)果及圖3可知，不同邊界條件條件下，變截面Euler梁的各階頻率隨截面變化率cb或ch的變化呈現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)：

(1) 對(duì)P-P邊界變截面梁，保持cb不變，各階頻率均隨ch的增大而明顯減少，且比較ch=0.8與ch=0的頻率值，可得1階頻率的平均減幅為52%，2階頻率的平均減幅為45%左右；而保持ch不變情況下，隨cb的增大，除基頻稍微減小外，P-P梁各階頻率均基本保持不變；

(2) 對(duì)C-F邊界變截面梁，保持cb不變，隨著ch的增大，1階頻率呈增大趨勢(shì)，2階頻率呈減小趨勢(shì)，比較ch=0.8與ch=0頻率值，經(jīng)計(jì)算可得1階頻率平均增幅為18%，2階頻率平均減幅為28.5%；而保持ch不變，各階頻率隨著cb增大而增大，其中1階頻率增加較快，2階頻率增加較為平緩，比較cb=0.8與cb=0的頻率值，可得 1階頻率的平均增幅為50%，而2階頻率的平均增幅為17%。

本文作者也分析了cb,ch的變化對(duì)C-C和C-P邊界變截面Euler梁的橫向自振自由振動(dòng)的影響，結(jié)果表明： 與P-P邊界類似，C-C和C-P邊界變截面Euler梁的自振頻率隨ch增大(cb不變)而明顯減小，平均減幅為在35%-45%之間；當(dāng)cb增大(ch不變)時(shí)，除C-P梁的第1、第2階頻率隨cb增大而有微小增大外，C-C和C-P梁的自振頻率均隨cb增大(ch不變)而基本保持不變。可見，不同邊界條件下，變截面梁的橫向自振頻率隨截面變化率cb,ch變化呈現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)。

表7　不同截面變化率cb,ch下 矩形變截面Euler梁無(wú)量綱頻率系數(shù) i

圖3　C-F邊界變截面Euler梁的頻率系數(shù)隨cb,ch的變化Fig.3 Variation of the non-dimensional frequencies for clamped-free (C-F) tapered Euler beam with respect to the variation of taper ratio (cb,ch)

4結(jié)論

本文基于SFPM建立變截面Euler梁的振動(dòng)分析的計(jì)算格式：

(1) 首次基于SFPM推導(dǎo)出截面高度、寬度線性變化的變截面Euler梁的振動(dòng)分析模型，給出其整體剛度和質(zhì)量矩陣的表達(dá)式；本文模型具有邊界簡(jiǎn)單，程序編制方便，計(jì)算精度和效率高的優(yōu)點(diǎn)，可適用于不同邊界、不同截面變化率情況下的變截面梁的自由振動(dòng)問(wèn)題。對(duì)其他更高階次截面變化類型的變截面梁的振動(dòng)分析，本文方法同樣適用。

(3) 本文模型計(jì)算精度與樣條節(jié)點(diǎn)數(shù)N取值相關(guān)，與梁跨度L無(wú)關(guān)。當(dāng)取N=15時(shí)，變截面梁的橫向自振頻率解答已經(jīng)收斂且保持穩(wěn)定，繼續(xù)增大N值，對(duì)計(jì)算精度提升影響不大。

(4) 不同邊界條件下，變截面Euler梁的橫向自振頻率隨截面高度和寬度變化率的變化呈現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)。

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Free transverse vibration analysis of tapered bernoulli-euler beams based on spline finite point method

LIU Peng1, LIU Hong-jun1, LIN Kun1, QIN Rong2

(1. Shenzhen Graduate School, Harbin Institute of Technology, Shenzhen 518055, China;2. College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Based on Bernoulli-Euler beam theory, a new model was presented here to study free transverse vibration problems of tapered Euler beams by using the spline finite point method (SFPM) considering both width and height of beams’ cross section linearly varying along the axial direction. With the proposed method, a beam was discretized by a set of uniformly scattered spline nodes along the axis direction instead of meshes, and the cubic-B spline interpolation functions were utilized to approximate the displacement filed of the beam. The free vibration equation of the beam was derived base on Hamilton Principle, and the global stiffness and mass matrices for the tapered beam were deduced in detail. The results of examples showed that the solutions to natural frequencies of tapered beams based on the proposed method are good in agreement with those reported in literatures; the proposed method has a higher accuracy, a lower computational cost and an easier way for boundary treatment; the solutions with a higher accuracy can be achieved by selecting the spline node number of no less than 15; the presented model is suitable for the free transverse vibration of tapered beams with various cross-section types, tapered ratios and boundary conditions.

Bernoulli-Euler beam theory; tapered beam; free transverse vibration; spline finite point method

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.011

國(guó)家自然科學(xué)基金(51178153)

2015-09-17修改稿收到日期：2015-12-02

劉鵬 男，博士生，1983年生

劉紅軍 男，教授，博士生導(dǎo)師，1968年生

E-mail：liuhongjun@hit.edu.cn

TU311.3

A