何其偉, 俞　翔, 毛為民

(1 海軍工程大學(xué) 科研部,武漢　430033； 2 浙江凱靈船廠,浙江 舟山　316000)

高維強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)諧波及分岔分析

何其偉1, 俞翔1, 毛為民2

(1 海軍工程大學(xué) 科研部,武漢430033； 2 浙江凱靈船廠,浙江 舟山316000)

從次諧波級(jí)聯(lián)角度，利用諧波平衡法與跟蹤延拓算法得到了高維強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)各級(jí)次諧波的幅頻特性曲線，分析了次諧波的穩(wěn)定性，研究了兩條分岔道路，得到了典型的倍周期分岔值，以此估計(jì)了混沌參數(shù)區(qū)域，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好。

非線性；次諧波；分岔；混沌

非線性系統(tǒng)中存在三種有界定常運(yùn)動(dòng)：周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)，這三種形式的運(yùn)動(dòng)均有可能出現(xiàn)在強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)中，而周期運(yùn)動(dòng)是最普遍、在參數(shù)空間中占據(jù)最大區(qū)域的一種運(yùn)動(dòng)形式，深入研究強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)對(duì)于了解其動(dòng)力學(xué)特性并進(jìn)行非線性控制研究具有重要的意義[1-3]。周期運(yùn)動(dòng)中，次諧波扮演著非?；钴S的角色，新次諧波的出現(xiàn)往往意味著系統(tǒng)周期的改變，即分岔的發(fā)生，這也是次諧波分析相對(duì)而言更為重要的原因[4-5]。李天巖等[6]的著名文章“周期3意味著混沌”更深刻揭示了次諧波在從有序到混沌的演化過(guò)程中所起的重要作用。

分析強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)的諧波特性及其分岔行為，不僅可利用其豐富的動(dòng)力學(xué)特性，為設(shè)計(jì)具有高靜態(tài)剛度、低動(dòng)態(tài)剛度特性的新型強(qiáng)非線性隔振器提供理論依據(jù)[7]，還可利用次諧波級(jí)聯(lián)預(yù)測(cè)出的混沌參數(shù)區(qū)域來(lái)對(duì)非線性隔振系統(tǒng)實(shí)施混沌反控制，從而改變系統(tǒng)振動(dòng)的線譜結(jié)構(gòu)，提高水下航行器的隱聲性能[8]。

本文首先介紹了次諧波級(jí)聯(lián)的有關(guān)思想，建立高維非線性隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，隨后應(yīng)用諧波平衡法對(duì)各次諧波的幅頻特性與穩(wěn)定性進(jìn)行分析，對(duì)T→…→2nT→Chaos以及倍周期分岔序列進(jìn)行了研究，通過(guò)分析次諧波級(jí)聯(lián)、次諧共振、倍周期分岔、鞍結(jié)分岔等建立起高維強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)各次諧波的整體圖像。本文采用的方法為跟蹤延拓算法，可以利用了符號(hào)計(jì)算軟件強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能得到較高截?cái)嚯A數(shù)的諧波平衡解表達(dá)式，而免去了繁瑣的推導(dǎo)過(guò)程。

1次諧波級(jí)聯(lián)

非線性系統(tǒng)中次諧波的存在形式與系統(tǒng)非線性形式有關(guān)，Lukomsky與Gandzha在文獻(xiàn)[9]中對(duì)如下的振動(dòng)方程：

(1)

存在的次諧波形式進(jìn)行了詳細(xì)討論，并給出了圖1。圖1中同心圓的中心點(diǎn)S1表示零級(jí)的次諧波，周期為T(mén)，其中T為激勵(lì)力周期，即零級(jí)次諧波包括基諧波響應(yīng)與超諧波響應(yīng)。零級(jí)次諧波通過(guò)周期2、3、5等質(zhì)數(shù)倍增產(chǎn)生第一個(gè)圓周上的第1級(jí)次諧波，以Sm示，它們是最基本的次諧波成分，其周期為mT，其中m為質(zhì)數(shù)(m=2,3,5,7,…)。第1級(jí)次諧波也可再一次產(chǎn)生周期質(zhì)數(shù)倍增，從而產(chǎn)生第2個(gè)同心圓周上的第2級(jí)次諧波Sm×n，其中n也為質(zhì)數(shù)(n=2,3,5,7,…)。與此類似，可以得到l級(jí)次諧波成分，其周期為NlT，Nl為l個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。這樣，非線性系統(tǒng)中所有可能的次諧波成分，均可以通過(guò)圖1得出其可能產(chǎn)生的路徑，這樣的路徑并不唯一，例如周期為6T的次諧波S6既可以通過(guò)S1→S2→S6的過(guò)程得到，也可以通過(guò)S1→S3→S6得到。對(duì)于特定的非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，并非圖中所示的所有次諧波成分均會(huì)出現(xiàn)，也并非通向某個(gè)次諧波的每條路徑都會(huì)在該非線性系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，這些都與系統(tǒng)非線性項(xiàng)的具體表達(dá)形式有關(guān)。

本文將采用上述有關(guān)次諧波級(jí)聯(lián)的思想，按照第0、1、2級(jí)的順序來(lái)求解強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)中可能存在的次諧波成分，并對(duì)倍周期分岔進(jìn)入混沌的典型道路S1→S2→S4→…→S2j→Chaos進(jìn)行分析。

圖1　次諧波級(jí)聯(lián)示意圖[9]Fig.1 Cascades of subharmonic states [7]

2諧波分析

2.1動(dòng)力學(xué)方程

考慮豎直方向振動(dòng)的雙層隔振系統(tǒng)，且系統(tǒng)只受簡(jiǎn)諧激勵(lì)。因文獻(xiàn)[10]對(duì)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了推導(dǎo)，本文不再詳細(xì)推導(dǎo)。消除重力項(xiàng)并無(wú)量綱化后，其運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為：

(2)

式中:f為激勵(lì)力幅值，ω為激勵(lì)頻率。

2.2諧波平衡法

在下文中，用j表示次諧波級(jí)數(shù)，本文僅考慮S1→S2→S4→…→S2j→Chaos這條倍周期分岔道路，因此對(duì)于式(2)，它的諧波可以寫(xiě)成如下截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)形式：

bi,2-jnsin(2-jnωt))i=1,2;j=0,1,2,…

(3)

bi,2-jncos(2-jnωt))

bi,2-jnsin(2-jnωt))

i=1,2;j=0,1,2,…

(4)

(5)

其中：

(6)

式中x1(t)由式(3)表示。將式(3)、(4)代入式(2)第二式，令各階諧波系數(shù)等于零。由于式(2)的第二式為線性系統(tǒng)，因而x2(t)的各諧波系數(shù)均可以由x1(t)相同階諧波系數(shù)線性表示，這也是為何消除重力項(xiàng)而將剛度耦合變換為慣性耦合的原因，這樣可以得到：

c2,0=0,a2,1=Q1a1,1+P1b1,1-Q1f/ω2,

b2,1=-P1a1,1+Q1b1,1+P1f/ω2,

a2,2-jn=Q2-jna1,2-jn+P2-jnb1,2-jn,

b2,2-jn=-P2-jna1,2-jn+Q2-jnb1,2-jn,

(7)

其中：

(8)

將式(3)～(8)代入式(2)第一式，令各階諧波系數(shù)等于零，可以得到一非線性代數(shù)方程組，通過(guò)求解該方程組可以得到式(3)中x1(t)各諧波的傅里葉系數(shù)。當(dāng)然，要解析求解該非線性方程組相當(dāng)困難，可以采用定常解的跟蹤延拓算法求得，有關(guān)跟蹤延拓算法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11-12]。求得各諧波傅里葉系數(shù)后，可以求得各諧波的幅值：

圖2　諧波平衡法與數(shù)值計(jì)算得到的系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase diagrams obtained by using harmonic balance method and numerical simulations

2.3穩(wěn)定性分析

次諧波失穩(wěn)將會(huì)產(chǎn)生下一級(jí)的次諧波，因而通過(guò)分析次諧波的穩(wěn)定性，可以得到下一級(jí)次諧波產(chǎn)生的邊界，以及新產(chǎn)生的次諧波形式。通過(guò)分析變分方程(Hill方程)的解來(lái)可判斷定常解的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)的方式，該方法是基于Floquet理論進(jìn)行的，對(duì)于弱非線性系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為求解Mathieu方程的穩(wěn)定邊界問(wèn)題，但是對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，該方法失效，只有直接對(duì)Hill方程解的形式及穩(wěn)定邊界進(jìn)行分析。

通過(guò)上述方法得到式(3)中各傅里葉系數(shù)后，便求得定常解xi0。要分析定常解穩(wěn)定性，需要對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)，即在式(3)上疊加一個(gè)小的擾動(dòng)量：

xi=xi0+ui,(i=1,2)

(9)

將式(9)代入式(2)，并考慮xi0滿足方程(2)這一事實(shí)，將得到的關(guān)于ui的方程線性化，可以得到：

(10)

式(10)第二式為線性微分方程，確定的是u2與u1幅值與相位之間的比例關(guān)系，而決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的為第一式。將式(3)代入(10)，這樣便得到了Hill方程：

(11)

ρ=-arctan(b1,1/a1,1)

這樣對(duì)周期解(3)的穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為了Hill方程解的穩(wěn)定性分析。Hill方程屬于周期系數(shù)的參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，對(duì)于該系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域邊界與η0有關(guān)，根據(jù)不同的η0值，在不穩(wěn)定區(qū)域可能存在兩種不同形式的解。

(12)

(13)

式(12)、(13)中i=1,2。在邊界上有ζ=0。式(12)的周期為2T，其中T為式(2)激勵(lì)力周期，因此可以認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)以式(12)方式失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔，通過(guò)求解系統(tǒng)以式(12)方式失穩(wěn)的邊界就可以得到倍周期分岔的分岔值。以(13)方式失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔，通常這種情況與折疊點(diǎn)的存在相伴。對(duì)于更高層級(jí)次諧波和更高截?cái)嚯A數(shù)，可以利用maple等符號(hào)計(jì)算軟件進(jìn)行計(jì)算。

3分岔分析

前面的分析可以得到，按照式(13)方式失穩(wěn)時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分岔，而以(12)方式失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)在ω/2次諧共振區(qū)域會(huì)進(jìn)一步發(fā)生倍周期分岔，從而產(chǎn)生2T、4T、8T…，直至最后產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。

3.1B1分岔過(guò)程

圖3　倍周期分岔序列中各級(jí)次諧波的幅頻特性曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves of the subharmonics in the cascades of period-doubling bifurcations

3.2B2分岔過(guò)程

數(shù)值計(jì)算得到系統(tǒng)分岔圖如圖4所示。對(duì)比圖3可以看出，由諧波平衡法得到的各分岔值與數(shù)值計(jì)算吻合得很好，混沌區(qū)域右邊界值也與數(shù)值計(jì)算得到的混沌區(qū)域右邊界值4.467吻合較好，但是左邊界值卻與數(shù)值計(jì)算相差較大，其原因有可能是由于混沌吸引子的邊界激變(chaotic boundary crisis)[14]引起的。隨著ω的減小，混沌吸引子在相空間中不斷膨脹，最終與穩(wěn)定的周期1吸引子的吸引域邊界碰撞，因而混沌吸引子連同其吸引域突然消失，這樣使得混沌運(yùn)動(dòng)的左邊界提前出現(xiàn)，混沌參數(shù)區(qū)域減小。

圖4　分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram

4結(jié)論

本文將諧波平衡法與跟蹤延拓算法相結(jié)合，深入研究了強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)的諧波響應(yīng)及其穩(wěn)定性，并對(duì)典型的倍周期分岔道路進(jìn)行了細(xì)致分析，得到了如下結(jié)論：

(1) 強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)中存在著多級(jí)次諧波，上一級(jí)次諧波失穩(wěn)將導(dǎo)致下級(jí)次諧波的產(chǎn)生。諧波失穩(wěn)方式有兩種，分別對(duì)應(yīng)著倍周期分岔與鞍結(jié)分岔；

(2) 可以通過(guò)分析系統(tǒng)變分方程的穩(wěn)定性，從而得到倍周期分岔點(diǎn)與鞍結(jié)分岔點(diǎn)，并且可以將穩(wěn)定倍周期分岔點(diǎn)的聚點(diǎn)作為混沌區(qū)域的邊界，諧波平衡法得到的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好；而非穩(wěn)定倍周期分岔點(diǎn)的聚點(diǎn)并不能作為混沌區(qū)域的另一個(gè)邊界，這與Kapitaniak的結(jié)論并不完全一致。

上述分析對(duì)于理解非線性隔振系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的各種特性以及經(jīng)過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌的過(guò)程有重要意義。

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Subharmonic and bifurcation analysis for a high-dimensional strongly nonlinear vibration isolation system

HE Qi-wei1, YU Xiang1, MAO Wei-min2

(1. Office of Research and Development, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;2. Zhejiang Kailin Ship Factory, Zhoushan 316000, China)

Cascades of subharmonic waves and their stability for a high-dimensional strongly nonlinear vibration isolation system were studied by combining the harmonic balance method and the predictor-corrector method. The amplitude-frequency curve of every subharmonic wave was plotted. Two routes of bifurcation were analyzed and the boundaries of the period-doubling bifurcations were obtained through the stability analysis, and then the parametric regions of chaos were estimated. The results agreed well with those obtained with numerical simulations.

nonlinear; subharmonic; bifurcation; chaos

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.010

國(guó)家自然科學(xué)基金(51009143)

2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-30

何其偉 男，博士, 副教授，1972年生

俞翔 男，博士，高工, 1978年生

E-mail：yuxiang898@sina.com

O322；O328；U664

A