王益鶴， 楊　娜

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044)

雙足跑步模型穩(wěn)定性及結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析

王益鶴， 楊娜

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京100044)

建立新型雙足模型，提出同時(shí)考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制來(lái)保持平穩(wěn)跑步運(yùn)動(dòng)。研究了人體跑步的力學(xué)特性、控制特征及穩(wěn)定性，并對(duì)跑步下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。結(jié)果表明：新型雙足跑步模型能夠模擬完整的跑步過(guò)程；施加的綜合控制機(jī)制可自動(dòng)調(diào)整運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并補(bǔ)償能量損失，提高雙足模型跑步時(shí)的穩(wěn)定范圍并保證運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定；跑步狀態(tài)下的人與結(jié)構(gòu)相互作用較弱。

生物力學(xué)；雙足模型；控制機(jī)制；穩(wěn)定性

隨著現(xiàn)代建筑結(jié)構(gòu)不斷向大跨、輕柔方向發(fā)展，人行載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注[1-2]。結(jié)構(gòu)在人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的過(guò)量振動(dòng)，直接導(dǎo)致舒適度和安全性的下降。近年來(lái)，英國(guó)倫敦千禧橋[3-4]和日本T橋[5-6]等一些大跨人行橋上觀測(cè)到的過(guò)量振動(dòng)現(xiàn)象，更是受到國(guó)際上異乎尋常的注目及系統(tǒng)的研究。

如何理解行人運(yùn)動(dòng)及行人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與結(jié)構(gòu)作用的方式，已經(jīng)成為重要的研究課題。眾多研究者建立了各種數(shù)學(xué)模型描述人體運(yùn)動(dòng)[7-9]。然而大多數(shù)處理方式僅將人作為外部激勵(lì)，未能將其作為獨(dú)立的動(dòng)力體系。之后Kim等[10-11]將人表示為彈簧、質(zhì)量、阻尼的動(dòng)力體系。Bruno等[12]考慮了人群移動(dòng)時(shí)的慣性力。然而，這些模型僅反映了人體的豎向運(yùn)動(dòng)，忽略了人體運(yùn)動(dòng)的生物特性。對(duì)人體生物力學(xué)的研究表明，人體的周期運(yùn)動(dòng)可用由兩個(gè)線(xiàn)性彈簧和阻尼表示雙腿的雙足模型描述。雙足模型較多的用于模擬人行走時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

后來(lái)一些研究者針對(duì)雙足模型的跑步運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究。Blickhan等[13-14]等均對(duì)其進(jìn)行了模擬分析。跑步狀態(tài)下的雙足模型與行走時(shí)相比，其步態(tài)擾動(dòng)強(qiáng)烈且穩(wěn)定性較差。后來(lái)Seyfarth等[15]在其簡(jiǎn)易的彈簧-質(zhì)量模型中提出，考慮腿部回?cái)[的機(jī)制可提高跑步的穩(wěn)定性。而對(duì)雙足模型來(lái)說(shuō)，即使步行時(shí)也仍需要一個(gè)主動(dòng)的能量輸入來(lái)補(bǔ)償能量耗散[16-17]。

雙足模型應(yīng)該既能模擬穩(wěn)定的步行，又能模擬穩(wěn)定的跑步。本文基于ISO 5982的2-DOF模型[18]與雙足模型，建立了新型雙足跑步模型，并采用了同時(shí)考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制以保持步態(tài)穩(wěn)定。利用Lagrange方程建立跑步狀態(tài)下人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程并進(jìn)行Matlab編程，對(duì)跑步過(guò)程中的力學(xué)特性及穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并分析了系統(tǒng)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。

1人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

1.1雙足跑步模型

新型雙足跑步模型采用ISO 5982的SMD模型表示身體，整個(gè)人體表示為身體由兩個(gè)無(wú)質(zhì)量的等長(zhǎng)彈簧和阻尼支撐的體系。人體質(zhì)量等效為質(zhì)量m1和m2，身體剛度為k1，阻尼為c1，長(zhǎng)度為lb；人腿部彈簧剛度為k1eg，阻尼為cleg，長(zhǎng)度為l0。人在空中時(shí)，腿以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)(見(jiàn)圖1)。跑步狀態(tài)可以看為由一系列的支撐和飛行階段構(gòu)成。支撐階段時(shí)，兩個(gè)彈簧和阻尼獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生彈性力和阻尼力，其與重力和慣性力一起構(gòu)成平衡力系。飛行階段時(shí)，相應(yīng)地彈性力和阻尼力為零，人體軌跡僅受重力作用影響。與步行相比，跑步狀態(tài)在模擬時(shí)需要做出一些改變，主要有兩個(gè)特征：① 跑步狀態(tài)中的一系列的飛行-支撐-飛行階段將代替步行中的單足-雙足-單足支撐階段；② 跑步運(yùn)動(dòng)的每個(gè)支撐階段，僅能有一條腿與地面保持接觸。

圖1　新型雙足跑步模型原理圖Fig.1 Schematic of the new running bipedal model

1.2人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

采用Lagrange方程建立行人跑步經(jīng)過(guò)人行橋時(shí)的動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，人行橋模擬為均勻截面的Euler-Bernoulli簡(jiǎn)支梁(見(jiàn)圖2)。

圖2　人行橋動(dòng)力分析模型Fig.2 Mathematical model for the dynamic analysis of the footbridge

在支撐階段，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別表示為：

(1a)

(1b)

式中：z1和z2分別為人體m1和m2的垂直位移;u為人體m1和m2的水平位移;Ll為支撐腿彈簧長(zhǎng)度;y為梁的垂直位移;y″(x,t)為梁的曲率;m為單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量;E為彈性模量;g為重力加速度。

根據(jù)質(zhì)量m2和接觸點(diǎn)的位置及結(jié)構(gòu)的位移，支撐腿長(zhǎng)度可表示為：

(2)

由振型疊加法，梁的垂直位移可表示為

(3)

式中：{φi(x),i=1,2,…,n}為梁的振型;{Yi(t),i=1,2,…,n}為與之對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

將式(2)和式(3)代入式(1)，可得：

(4a)

(4b)

整個(gè)系統(tǒng)虛功的變分δW可以表示為：

QnδYn+F1δz1+F2δz2+F3δu

(5)

式中：cl和cs分別為支撐腿和結(jié)構(gòu)的阻尼;vl為支撐腿的軸向速度；δ(ΔLl) 為支撐腿的位移變分； {δYi,i=1,2,…,n} 為梁的虛位移；δy″為梁曲率的變分；Q1,Q2,…,Qn,F1,F2,F3為對(duì)應(yīng)坐標(biāo){Y1,Y2,…,Yn,z1,z2,u}的廣義力。

對(duì)式(2)中支撐腿彈簧的長(zhǎng)度求導(dǎo)，可得支撐腿軸向速度為:

(6)

式中：θl為支撐腿與地面的夾角。

支撐腿的位移變分也可根據(jù)式(2)中支撐腿彈簧的長(zhǎng)度得出：

(7)

梁的曲率變分可由式(3)得出：

(8)

將式(6)、式(7)和式(8)分別代入式(5)中，

(9)

對(duì)比式(5)和式(9)，得廣義力：

Qi=clvlφi(N)sinθl-

(10a)

(10b)

(10c)

F3=clvlcosθl

(10d)

整個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日方程可以表示為：

(i=1,2,…,n)

(11a)

(i=1,2)

(11b)

(11c)

把式(4)和式(10)代入到式(11)，可以得到跑步運(yùn)動(dòng)時(shí)人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

(12a)

(12b)

k1z1+k1z2+k1lb+kl,vz2+m2g=0

(12c)

(12d)

式中：Mn為梁第n階的模態(tài)質(zhì)量;ξn為梁的第n階模態(tài)阻尼比;wn為梁第n階的頻率;kl,v和kl,h分別為垂直和水平方向上的有效腿剛度。

將式(12)用矩陣的形式寫(xiě)出：

(13)

(14a)

C=

(14b)

K=

(14c)

(14d)

式中：

ci,i=2ξiwiMi+clsin2θlφi,i(N)(i=1,2,…,n)

ci,j=clsin2θlφi,j(N)(i≠j≤n)

ci,n+2=-clsin2θlφn(N)(i=1,2,…,n)

ci,n+3=clsinθlcosθlφn(N)(i=1,2,…,n)

cn+2,i=-clsin2θlφi(N)(i=1,2,…,n)

cn+3,i=clsinθlcosθlφi(N)(i=1,2,…,n)

(15)

φi,j(N)=φi(N)φj(N)

上述分析過(guò)程，雖是針對(duì)支撐階段進(jìn)行的，但可充分描述完整的跑步過(guò)程。支撐階段時(shí)，需考慮運(yùn)動(dòng)方程中涉及到支撐腿的量；飛行階段時(shí)，人體軌跡僅受重力作用影響，將所有與支撐腿相關(guān)的量設(shè)置為零即可。實(shí)際上，可將飛行階段視為支撐階段的特殊情況。

注意到整個(gè)系統(tǒng)的阻尼矩陣和剛度矩陣是時(shí)變的，因此，線(xiàn)性體系的動(dòng)力分析方法不適用于本文分析，需用迭代的方法解決。本文選取Newton-Raphson非線(xiàn)性方法[19]進(jìn)行迭代求解。

1.3保持步態(tài)穩(wěn)定的反饋機(jī)制

考慮阻尼的雙足模型能夠描述跑步狀態(tài)下包括支撐和飛行階段的完整過(guò)程。然而，由于阻尼耗能及模型本身的復(fù)雜穩(wěn)定性，需要施加合適的反饋機(jī)制，否則步態(tài)將無(wú)法保持穩(wěn)定。在雙足模型模擬人體步行運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常通過(guò)外力做功補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)中能量損失使步態(tài)穩(wěn)定。然而由于跑步和步行的差異，跑步狀態(tài)下的雙足模型，即使系統(tǒng)能量恒定，也不易得到穩(wěn)定的步態(tài)。通過(guò)跑步運(yùn)動(dòng)過(guò)程的研究表明，人體的跑步運(yùn)動(dòng)并不是完整的對(duì)稱(chēng)行為；飛行階段時(shí)，前腿有一定的回?cái)[運(yùn)動(dòng)。而對(duì)簡(jiǎn)易彈簧-質(zhì)量模型的研究表明[20]，考慮腿部回?cái)[能提高跑步的穩(wěn)定性。

針對(duì)考慮阻尼的雙足模型，為得到平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，本文采用同時(shí)考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制，作為跑步作用的反饋機(jī)制，保持步態(tài)穩(wěn)定。

假定雙足模型在飛行階段末期，前腿與地面的沖擊角角度不固定。雙足模型前腿在飛行階段后半段時(shí)以一定速度旋轉(zhuǎn)擺動(dòng)，以自動(dòng)調(diào)整飛行階段末期前腿與地面的沖擊角度，使雙足模型的運(yùn)動(dòng)軌跡穩(wěn)定(見(jiàn)圖1)。飛行階段時(shí)，將前腿角度θ(t)(前腿與水平面夾角)表示為，

θ(t)=θR(t

(16)

θ(t)=θR+wR(t-tapex)(t≥tapex)

(17)

式中：tapex為跑步運(yùn)動(dòng)飛行階段時(shí)雙足模型處于最高點(diǎn)的時(shí)刻;θR為該時(shí)刻的前腿角度;wR為腿部旋轉(zhuǎn)擺動(dòng)的角速度。

同時(shí)假定外力在水平方向上所做的功等于能量的損失，水平控制力可以表示為：

(18)

式中：Fctrl(t)為水平控制力;E0為初始輸入的能量;E(t)為時(shí)刻t的人體能量;Δu(t)為時(shí)刻t人體的水平位移增量。

對(duì)于任意時(shí)間時(shí)刻t，總能量由動(dòng)能和彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能構(gòu)成，可以表示為：

(19)

式(14)中，載荷向量變?yōu)椋?/p>

F(t)=[0,0,0,…,k1lb-m1g,

(20)

2跑步作用下人體動(dòng)力特性分析

對(duì)上述推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行Matlab編程分析整個(gè)跑步過(guò)程。選取以下人體特性：其中身體部位參考人體質(zhì)量ISO 5982模型[18]，人體質(zhì)量mh=75 kg(其中m1=62 kg，m2=13 kg)，身體剛度k1=62 kN/m，身體阻尼c1=14.6 kN·s/m，身體長(zhǎng)度取lb=0.4 m；腿部參數(shù)根據(jù)已有雙足模型[14-17]，腿剛度kleg=20 kN/m，阻尼比ξ=8%，腿長(zhǎng)取為l0=1 m。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中假定tapex時(shí)刻的腿角度θR=60°，m2的初始高度z2=1 m。腿部擺動(dòng)角速度wR=50 deg/s，人水平初始速度v=4 m/s。

圖3為新型雙足模型的人體表觀質(zhì)量幅頻特性曲線(xiàn)與ISO 5982模型的對(duì)比結(jié)果。鑒于ISO 5982模型由人體振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性得出，故將兩者進(jìn)行對(duì)比。由圖3可知，兩曲線(xiàn)接近。即新型雙足模型可以滿(mǎn)足人體動(dòng)力特性描述。

圖3　人體表觀質(zhì)量幅頻特性Fig.3 Normalised apparent masses response functions

根據(jù)選取參數(shù)，可模擬得到行人跑步時(shí)的豎向載荷，圖4為跑步作用下豎向連續(xù)地面反力時(shí)程。當(dāng)腳與地面接觸時(shí)，產(chǎn)生豎向地面反力；當(dāng)腳不與地面接觸時(shí)，豎向地面反力為零。即跑步狀態(tài)由一系列的支撐和飛行階段構(gòu)成。模擬得到的豎向地面反力特征與眾多的研究者試驗(yàn)結(jié)果一致，可知新型雙足模型可較好的模擬人體的跑步特性。

圖4中的跑步載荷時(shí)程是平穩(wěn)的，然而，如果沒(méi)有本文提出的綜合控制機(jī)制作為反饋機(jī)制，經(jīng)過(guò)若干步之后步態(tài)將失去穩(wěn)定。圖5和圖6為運(yùn)動(dòng)中的水平控制力時(shí)程和落地沖擊角隨步數(shù)變化過(guò)程，由圖5和圖6可得，水平控制力平穩(wěn)貫穿于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量恒定。而落地沖擊角則根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不斷自行調(diào)整，以適應(yīng)每一步控制中的能量上下浮動(dòng)變化。在綜合控制機(jī)制作用下，可順利模擬跑步運(yùn)動(dòng)。

圖4　跑步作用下豎向地面反力Fig.4 Vertical ground reaction force in running

圖5　跑步中的水平控制力Fig.5 Horizontal control in running

圖6　跑步中的沖擊角Fig.6 Touchdown angle in running

3跑步作用下的穩(wěn)定性分析

為說(shuō)明圖5和圖6所示綜合控制機(jī)制的作用，文中列出了人體質(zhì)量m2分別在綜合控制機(jī)制、水平力控制和無(wú)控制機(jī)制等情況下的豎向位移時(shí)程(見(jiàn)圖7)。由圖7可知，在考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制下，人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不斷調(diào)整后，運(yùn)動(dòng)軌跡保持平穩(wěn)。若僅考慮水平力做功保持能量恒定，即使能量守恒，運(yùn)動(dòng)軌跡也不會(huì)平穩(wěn)，反而產(chǎn)生大幅振蕩。然而，如果沒(méi)有反饋機(jī)制，人體位移幅度將越來(lái)越小，經(jīng)過(guò)若干步之后步態(tài)將失去穩(wěn)定。很明顯，綜合控制機(jī)制能夠保持步態(tài)的穩(wěn)定。

圖7　跑步作用下m2的位移時(shí)程Fig.7 Displacement of m2 in running

綜合控制機(jī)制中的水平力做功保持能量恒定很容易理解，本文將重點(diǎn)討論腿部回?cái)[對(duì)穩(wěn)定性的作用。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)形式，雙足模型第i步所達(dá)到的最大高度yi，與第i+1步所達(dá)到的最大高度yi+1之間要保持一定的穩(wěn)定狀態(tài)，即

(21)

雙足模型保持穩(wěn)定需滿(mǎn)足兩個(gè)條件:①腿剛度、落地沖擊角和初始速度要相互適應(yīng)滿(mǎn)足；②雙足模型中身體部位的高度最終能達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)固定點(diǎn)高度值。綜合控制機(jī)制中腿部回?cái)[的控制，使雙足模型在跑步降落的過(guò)程中腿部以一定的速度wR旋轉(zhuǎn)，自動(dòng)調(diào)整落地沖擊角，從而改進(jìn)模型各參數(shù)的協(xié)調(diào)性。

由以上分析可知，同時(shí)考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制能夠提高雙足模型跑步時(shí)的穩(wěn)定范圍，更好的保持步態(tài)穩(wěn)定。

圖8 wR=0deg/s時(shí)峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.8ReturnmapwhenwR=0deg/s圖9 wR=25deg/s時(shí)峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.9ReturnmapwhenwR=25deg/s圖10 wR=50deg/s時(shí)峰值高度yi+1(yi)回歸圖Fig.10ReturnmapwhenwR=50deg/s

4跑步作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析

進(jìn)一步研究新型雙足跑步模型下的人體-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)，并將基于雙足跑步模型的計(jì)算結(jié)果與基于時(shí)域外激勵(lì)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。假定一個(gè)長(zhǎng)12.0m，寬1.0m，厚度為0.22m的簡(jiǎn)支橋。橋密度為2 400kg/m，彈性模量E為3×1010N/m，橋的模態(tài)阻尼比為ξ=0.3%。人體的特性與前述相同?？蛰d橋的前兩階頻率為：f1=2.45 Hz，f2=9.80 Hz。

結(jié)構(gòu)跨中的位移時(shí)程和加速度時(shí)程見(jiàn)圖11和圖12。由圖11和圖12可知，采用新型雙足跑步模型得到的結(jié)果略大于外激勵(lì)模型。為研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)跑步載荷的影響，得出行人跑步經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)時(shí)的豎向地面反力(見(jiàn)圖13)。行人在橋上跑步與在剛性地面上跑步所得的地面反力時(shí)程整體相似。而通過(guò)行人跑步經(jīng)過(guò)橋時(shí)的地面反力局部放大圖可知，跑步產(chǎn)生的地面反力隨著行人向跨中移動(dòng)而產(chǎn)生小幅增大。這清楚的表明結(jié)構(gòu)振動(dòng)雖影響跑步載荷，但程度較小。即跑步狀態(tài)下的人與結(jié)構(gòu)相互作用較弱。

圖11　橋跨中的位移時(shí)程Fig.11 Displacement at midspan of bridge

圖12　橋跨中的加速度時(shí)程Fig.12 Acceleration at midspan of bridge

圖13　跑步作用下豎向地面反力Fig.13 Vertical ground reaction force in running

5結(jié)論

本文通過(guò)建立新型雙足跑步模型，并研究人橋系統(tǒng)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，得出主要結(jié)論如下：

(1) 新型雙足跑步模型能夠模擬包括支撐和飛行階段在內(nèi)的完整跑步過(guò)程。

(2) 對(duì)雙足模型穩(wěn)定性分析表明，施加的同時(shí)考慮腿部回?cái)[和外力做功的綜合控制機(jī)制，能夠自動(dòng)調(diào)整運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并維持能量平衡，提高雙足模型跑步時(shí)的穩(wěn)定范圍，更好的保持步態(tài)穩(wěn)定。

(3) 跑步狀態(tài)下的人與結(jié)構(gòu)相互作用較弱。

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Study on running stability and structure dynamic response based on the bipedal running model

WANG Yi-he，YANG Na

(College of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Based on the new bipedal running model, a new feedback mechanism that included swing-leg retraction and control force is proposed to maintain stable running. The mechanical characteristics, control mechanism and stability in running are studied. Also, the dynamic response of a bridge under the new bipedal running model is analyzed. The results show that the new bipedal running model can reproduce a periodic running cycle. The new feedback mechanism allows the running model to automatically adapt the motion state and compensate for energy dissipated. The stability of the running model is significantly improved, and the human-structure dynamic interaction is weak when a human runs.

biomechanics; bipedal model; feedback mechanism; stability

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.005

國(guó)家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年基金項(xiàng)目(51422801)；國(guó)家自然科學(xué)基金“重點(diǎn)”項(xiàng)目(50938008)；新世紀(jì)優(yōu)秀人才獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃(NCET-11-0571)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助(2012JBM007;2012YJS078)

2015-09-14修改稿收到日期：2016-01-06

王益鶴 男，博士生，1984年11月生

楊娜 女，博士，教授，博士生導(dǎo)師,1974年8月生

TU311.3

A