趙　帥， 陳　前， 黃志偉， 姚　冰

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京　210016；2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢　430064)

中空軸系多模態(tài)縱向減振研究

趙帥1， 陳前1， 黃志偉2， 姚冰1

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京210016；2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢430064)

采用阻尼動(dòng)力吸振器對(duì)中空軸系縱向多階模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制，結(jié)合子結(jié)構(gòu)綜合法和傳遞矩陣法，建立了多個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器-軸系耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析?？紤]到各階阻尼動(dòng)力吸振器間的相互影響，以極小化目標(biāo)頻段范圍內(nèi)軸系位移響應(yīng)的均方值為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)各階阻尼動(dòng)力吸振器的參數(shù)進(jìn)行了聯(lián)合優(yōu)化;針對(duì)軸系中空特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了阻尼動(dòng)力吸振器的具體結(jié)構(gòu)形式，利用有限元仿真對(duì)理論計(jì)算進(jìn)行了驗(yàn)證。研究表明：軸系多模態(tài)控制時(shí)，在多階阻尼動(dòng)力吸振器作用下，目標(biāo)頻段范圍內(nèi)的軸系縱向共振峰得到抑制，頻響曲線(xiàn)趨于平緩；對(duì)多階吸振器進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化后，吸振器的吸振效果得到進(jìn)一步提升；提出的多階吸振器設(shè)計(jì)方法能為連續(xù)系統(tǒng)多模態(tài)振動(dòng)控制提供參考。

中空軸系；縱向振動(dòng)；傳遞矩陣法；阻尼動(dòng)力吸振器

隨著船舶動(dòng)力系統(tǒng)的功率越來(lái)越大，推進(jìn)軸系的縱向振動(dòng)固有頻率也隨之越來(lái)越低，螺旋槳在船體尾部產(chǎn)生的不均勻伴流會(huì)使船舶推進(jìn)軸系產(chǎn)生縱向共振。推進(jìn)軸系的縱向振動(dòng)不僅影響到推進(jìn)軸系的工作壽命，而且會(huì)影響到船員的作息生活。對(duì)于軍事艦艇來(lái)說(shuō)，推進(jìn)軸系振動(dòng)還會(huì)通過(guò)軸承基座傳遞到船體，引起船體的振動(dòng)，進(jìn)而在船體周?chē)纬奢椛渎晥?chǎng)，嚴(yán)重影響艦艇的聲隱身性。

動(dòng)力吸振器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，減振效果好，可以作為船舶推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)控制的有效手段[1]。利用動(dòng)力吸振器減振的措施是在推進(jìn)軸系上添加一個(gè)子結(jié)構(gòu)，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)子結(jié)構(gòu)的參數(shù)可以顯著減小軸系特定頻段上的振動(dòng)響應(yīng)[2]。Goodwin[3]率先提出采用共振轉(zhuǎn)換器調(diào)諧吸振來(lái)減小推進(jìn)軸系的縱向振動(dòng)，不過(guò)其需要安裝在軸系和推力軸承之間，而且具體結(jié)構(gòu)形式還尚未真正形成。Dylejko等[4-7]在Goodwin基礎(chǔ)上，對(duì)共振轉(zhuǎn)換器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并研究了其對(duì)推進(jìn)軸系縱振引起的水下輻射噪聲的控制效果。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)一些學(xué)者也開(kāi)始了利用共振轉(zhuǎn)換器進(jìn)行軸系縱向減振的研究。劉耀宗等[8]用功率流法分析了推進(jìn)軸系縱振傳遞到船體的能量以及動(dòng)力吸振器對(duì)縱向的減振效果，分析表明縱向動(dòng)力吸振器能夠有效地衰減一定頻率范圍內(nèi)的共振峰值。李良偉等[9]采用優(yōu)化算法得到了吸振器參數(shù)的最優(yōu)值。

事實(shí)上，隨著船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)的大型化，利用吸振器對(duì)軸系的一階縱振模態(tài)進(jìn)行控制已逐漸不能滿(mǎn)足軸系減振要求。所以針對(duì)船舶推進(jìn)軸系多模態(tài)縱向振動(dòng)控制的研究顯得很有必要。目前，針對(duì)此方面的研究尚不多見(jiàn)。此外，上述的動(dòng)力吸振器由于需要安裝在推力軸承基座上，對(duì)結(jié)構(gòu)變動(dòng)較大。實(shí)際上，由于中空軸在保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的前提下能大量減輕重量，早已廣泛應(yīng)用于船舶領(lǐng)域。基于這一特點(diǎn)，本文提出將吸振器安置在軸系空腔內(nèi)，避免對(duì)軸系結(jié)構(gòu)進(jìn)行改動(dòng)，可以作為船舶推進(jìn)軸系振動(dòng)控制的一種在工程上可行的方式。

本文針對(duì)中空軸系縱向振動(dòng)多階模態(tài)，采用阻尼動(dòng)力吸振器對(duì)軸系進(jìn)行縱向減振，運(yùn)用子結(jié)構(gòu)綜合法以及傳遞矩陣法建立了附加多個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器的軸系動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合軸系的中空特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了阻尼吸振器的具體結(jié)構(gòu)形式?？紤]到各階吸振器間的相互耦合，以軸系目標(biāo)頻段范圍內(nèi)的位移響應(yīng)的均方值為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)吸振器的參數(shù)進(jìn)行了聯(lián)合優(yōu)化，從而獲得最優(yōu)的減振效果。

1附加多個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器軸系的動(dòng)力學(xué)模型

在研究阻尼動(dòng)力吸振器的減振效果時(shí)，需要對(duì)主振系-吸振器系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，通常將主振系簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)，但對(duì)于連續(xù)彈性體的推進(jìn)軸系而言，為了計(jì)算出更接近實(shí)際情況的減振效果，不能簡(jiǎn)單地將主振系簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。而且采用多個(gè)吸振器對(duì)軸系多個(gè)模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，要求對(duì)多個(gè)吸振器的總體減振效果進(jìn)行綜合評(píng)估，因此需要建立較復(fù)雜的軸系模型。

對(duì)于連續(xù)彈性體的軸系，一般都采用傳遞矩陣法計(jì)算軸系的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，但對(duì)于局部含有多個(gè)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的耦合系統(tǒng)則無(wú)法直接采用傳遞矩陣法進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算。本文結(jié)合子結(jié)構(gòu)綜合法和傳遞矩陣法，將軸系離散成若干個(gè)軸段單元，把吸振器作為子結(jié)構(gòu)，先將并聯(lián)子結(jié)構(gòu)的軸段單元化為二自由度系統(tǒng)單獨(dú)考慮，得到子系統(tǒng)與其所依附的單元在對(duì)接點(diǎn)處的關(guān)系，再利用傳遞矩陣法得到含有子結(jié)構(gòu)的軸段單元與余下各軸段單元之間的關(guān)系，進(jìn)而建立子系統(tǒng)與軸系各個(gè)單元之間的聯(lián)系。最后將子系統(tǒng)對(duì)軸系的作用等效為軸段單元在對(duì)接點(diǎn)處的外力，整個(gè)耦合系統(tǒng)進(jìn)而等效為受到若干外力作用下的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，再結(jié)合傳遞矩陣法計(jì)算耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

圖1為并聯(lián)多個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器軸系的復(fù)雜系統(tǒng)，軸系離散為p個(gè)軸段單元，吸振器的位置分別在第iP1,…,iPj,…,iPn個(gè)單元，數(shù)量為n。同時(shí)，軸系還在第t個(gè)軸段單元處受到簡(jiǎn)諧外力F0sinωt的作用。對(duì)于軸系主系統(tǒng)而言，吸振器質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的反作用力會(huì)傳遞到軸系，相當(dāng)于軸系在第iP1,…,iPj,…,iPn個(gè)單元處會(huì)產(chǎn)生附加的外激勵(lì)力P1sin(ωt),…,Pjsin(ωt),…,Pnsin(ωt)，這些激勵(lì)力方向與軸系在單元iP1,…,iPj,…,iPn處的運(yùn)動(dòng)方向相反，頻率相同。故先將n個(gè)附加阻尼動(dòng)力吸振器的軸段單元單獨(dú)考慮，根據(jù)基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫振動(dòng)理論，對(duì)接點(diǎn)處各吸振器產(chǎn)生的作用反力Pk可表示為：

Pk=Dk(ω)AiPk

(1)

圖1　附加多個(gè)阻尼吸振器軸系的簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of a shafting with multiple damped DVAs

對(duì)于單元iPj處的第j個(gè)吸振器而言，其對(duì)接點(diǎn)處的基礎(chǔ)位移與外激勵(lì)力和n個(gè)吸振器產(chǎn)生的對(duì)接力有關(guān)，即

(2)

式中：uiPj,F0為外力F0作用下單元iPj處所產(chǎn)生的位移；uiPj,Pk為對(duì)接力Pk作用下單元iPj處所產(chǎn)生的位移。求解uiPj,Pk需要得到n個(gè)對(duì)接力Pk(k=1,2,…,n)，而由式(1)知Pk為AiPk的函數(shù)，從而需要經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到對(duì)接力Pk的表達(dá)式。

對(duì)于軸系縱向振動(dòng)，定義各軸段單元的狀態(tài)矢量為z=[X,N,1]T，式中X,N分別表示位移和力。假設(shè)僅在第iPj個(gè)單元的對(duì)接點(diǎn)處施加單位力，該單元的傳遞矩陣則表示為

UPj,iPj=

此時(shí)，余下的p-1個(gè)單元的傳遞矩陣表示為

(k=1,2,…,iPj-1,iPj+1,…,p)

(4)

同樣，僅當(dāng)?shù)趖個(gè)單元上受到外力F0作用時(shí)，該單元的傳遞矩陣表示為

(5)

此時(shí)，余下p-1單元的傳遞矩陣可以表示為

(k=1,2,…,t-1,t+1,…,p)

(6)

為了簡(jiǎn)化后續(xù)的推導(dǎo)，令

(7)

(k=1,2,…,p)

(8)

從而根據(jù)式(3)和式(4)可以得到，僅在軸系第iPj個(gè)單元施加單位力時(shí)，軸系總傳遞矩陣為

(9)

同樣，根據(jù)式(5)和式(6)可知，僅在軸系第t個(gè)單元施加外力F0時(shí)，軸系總傳遞矩陣為

(10)

再令

(k=1,2,…,iPj)

(11)

根據(jù)傳遞矩陣關(guān)系可得，當(dāng)軸系僅在第iPj個(gè)單元受到對(duì)接力Pj作用時(shí)，使得第iPj個(gè)單元對(duì)接點(diǎn)處產(chǎn)生的位移為

(12)

同樣，當(dāng)軸系僅在第t個(gè)單元受到外力F0作用時(shí)，使得第iPj個(gè)單元對(duì)接點(diǎn)處產(chǎn)生的位移為

(13)

將式(12)和(13)代入式(2)可知第j個(gè)吸振器的對(duì)接點(diǎn)處的縱向位移幅值為

等式兩邊同乘以Dk，并將n個(gè)對(duì)接力展開(kāi)成矩陣形式，則得到

(15)

令

(16)

(17)

(18)

此時(shí)，式(15)可表示為

P=D[XPP-XF]

(20)

從而得到

P=[XP-D-1]-1XF

(21)

至此，可得到n個(gè)吸振器產(chǎn)生的對(duì)接力，進(jìn)而可知軸系在iP1,…,iPj,…,iPn單元處受到n個(gè)對(duì)接力作用下的總傳遞矩陣表示為

(22)

其中第iP1,…,iPj,…,iPn個(gè)單元的傳遞矩陣表示為

UP,iPk=

(k=1,2,…,n)

(23)

余下p-n個(gè)單元的傳遞矩陣表示為

(k=1,2,…,p且k≠iP1,iP2,…,iPn)

(24)

根據(jù)式(22)可得軸系在n個(gè)吸振器的作用下任意單元位置處的位移，再通過(guò)式(10)可得軸系在外力作用下任意單元位置處的位移，根據(jù)疊加原理，可以得到軸系在n個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器和外力共同作用下任意位置處的響應(yīng)。對(duì)于兩端自由的邊界條件，即X0≠0，N0=0，Xp≠0，Np=0，可求得軸系左端點(diǎn)的位移響應(yīng)為:

(25)

軸系右端點(diǎn)的位移響應(yīng)為

Xn=xF0,n-xP,n=

(26)

2吸振器設(shè)計(jì)

對(duì)于圖2所示的兩端自由的船舶推進(jìn)軸系，軸段材料為45號(hào)鋼，密度為7 850 kg/m3，各軸段具體尺寸見(jiàn)圖2。針對(duì)推進(jìn)軸系的前三階縱振模態(tài)，在軸系內(nèi)部空間分別布置三個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器對(duì)其進(jìn)行縱向減振。

圖2　推進(jìn)軸系尺寸參數(shù)Fig.2 Parameters of the shafting

2.1吸振器結(jié)構(gòu)形式

考慮到軸系的中空特點(diǎn)，吸振器設(shè)計(jì)見(jiàn)圖3,其由芯棒和黏彈性材料組成。吸振器的質(zhì)量由芯棒提供，芯棒材料為45號(hào)鋼。黏彈性材料提供吸振器所需的剛度和阻尼。圖3中R1和R2分別為芯棒和黏彈性材料的外半徑，l為黏彈性材料長(zhǎng)度。

圖3　吸振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the DVA

對(duì)于圓柱形黏彈性材料，其受到剪切力時(shí)的縱向剛度可近似表示為[10]

(27)

式中：G為黏彈性材料的剪切模量，R1、R2和l分別為圓柱形黏彈性材料的內(nèi)、外半徑和長(zhǎng)度。

2.2吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)軸系縱向振動(dòng)前三階振型(見(jiàn)圖4)可知，前三階阻尼動(dòng)力吸振器均可安放在軸系左端部。吸振器安裝順序從左到右依次為三階、二階和一階，從而盡可

能地避開(kāi)各階節(jié)點(diǎn)。

對(duì)各階阻尼動(dòng)力吸振器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，需要將軸系等效為各階縱振頻率下的單自由度系統(tǒng)，從而獲得軸系在吸振器各安裝位置處的等效質(zhì)量。根據(jù)等效原理可以得到軸系的前三階縱振等效質(zhì)量，并設(shè)定各階阻尼動(dòng)力吸振器的質(zhì)量比u，具體參數(shù)見(jiàn)表1。根據(jù)吸振器最佳調(diào)諧頻率比

(28)

可得各階吸振器的固有頻率f，再結(jié)合吸振器的最優(yōu)阻尼比

(29)

圖4　軸系前三階縱振振型Fig.4 First three modes of longitudinal vibration of the shafting

求得各階吸振器的阻尼，綜上可得各階吸振器的參數(shù)，見(jiàn)表2。

表1　吸振器質(zhì)量比

表2　吸振器參數(shù)

2.3吸振器參數(shù)優(yōu)化

對(duì)于附加多個(gè)吸振器的軸系，各階動(dòng)力吸振器之間會(huì)相互影響，對(duì)于單個(gè)吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不能完全適用于多吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為了達(dá)到最優(yōu)的減振效果，有必要對(duì)各階吸振器的參數(shù)進(jìn)行整體的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.3.1優(yōu)化方法

由于各階動(dòng)力吸振器的質(zhì)量已經(jīng)確定，將吸振器的剛度和阻尼作為設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化選用的目標(biāo)函數(shù)為極小化目標(biāo)頻段范圍內(nèi)系統(tǒng)位移響應(yīng)的均方值y：

(30)

式中：ω1為目標(biāo)頻段的起始角頻率，ω2為終止角頻率，X(ω)為位移響應(yīng)。

對(duì)于多階阻尼動(dòng)力吸振器的優(yōu)化屬于多變量、非線(xiàn)性約束最優(yōu)化問(wèn)題，針對(duì)這一問(wèn)題的求解方法有很多，本文采用Matlab工具箱中提供的fimncon求解函數(shù)。

2.3.2優(yōu)化結(jié)果

由于本文考察多階縱向振動(dòng)的寬頻減振效果，故選取極小化300～1 700 Hz范圍內(nèi)軸系右端點(diǎn)的均方響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)對(duì)各階吸振器的剛度和阻尼進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，優(yōu)化后的結(jié)果見(jiàn)表3。表4給出了吸振器聯(lián)合優(yōu)化前后軸系右端點(diǎn)的位移插入損失，結(jié)果表明吸振器聯(lián)合優(yōu)化后插入損失進(jìn)一步增大。

表3　優(yōu)化后吸振器參數(shù)

表4　優(yōu)化后插入損失

3減振效果分析

根據(jù)聯(lián)合優(yōu)化后的吸振器參數(shù)，可以計(jì)算得到附加三個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器后軸系的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，計(jì)算時(shí)，在軸系的最右端施加單位縱向激勵(lì)力。圖5為吸振器加入前后軸系右端點(diǎn)的位移頻響函數(shù)曲線(xiàn)，從圖5可知,阻尼動(dòng)力吸振器加入前的軸系在前三階縱向共振頻率(424.5 Hz，1 048 Hz，1 373 Hz)處出現(xiàn)很尖銳的共振峰。在加入三個(gè)吸振器后，軸系的前三階縱向共振峰均得到抑制，頻響函數(shù)曲線(xiàn)趨于平緩，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的前三階阻尼動(dòng)力吸振器對(duì)軸系縱向振動(dòng)具有明顯的減振效果。

圖5　吸振器加入前后軸系右端點(diǎn)的位移頻響曲線(xiàn)Fig.5 Calculated results of FRF of displacement of the shafting

為了驗(yàn)證理論計(jì)算結(jié)果，利用有限元軟件對(duì)附加阻尼動(dòng)力吸振器的軸系進(jìn)行仿真計(jì)算，有限元仿真計(jì)算時(shí)吸振器的建模采用實(shí)體單元建模，根據(jù)優(yōu)化參數(shù)所確定的吸振器的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表5。將有限元軟件仿真結(jié)果同傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)圖6，從圖6可知,理論和仿真結(jié)果吻合良好，只是共振峰大小有些差異，但對(duì)應(yīng)的頻率基本沒(méi)有偏差，從而也進(jìn)一步驗(yàn)證了理論建模的準(zhǔn)確性。值得說(shuō)明的是，對(duì)于軸系這樣的大型結(jié)構(gòu)而言，傳遞矩陣法計(jì)算相比于有限元軟件仿真可以節(jié)省大量的時(shí)間。

表5　吸振器結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖6　理論計(jì)算與仿真結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between calculated and stimulated results of FRF of displacement of the shafting

4結(jié)論

(1) 對(duì)于附加多個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器軸系的耦合系統(tǒng)，將各個(gè)阻尼動(dòng)力吸振器對(duì)軸系的作用等效成反作用力，進(jìn)而結(jié)合子結(jié)構(gòu)綜合法和傳遞矩陣法得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，此方法可以作為連續(xù)系統(tǒng)吸振器設(shè)計(jì)的一種參考方法。

(2) 采用多階吸振器對(duì)軸系進(jìn)行多模態(tài)振動(dòng)控制時(shí)，各階吸振器之間會(huì)通過(guò)軸系相互影響，不能孤立地進(jìn)行各階吸振器的設(shè)計(jì)，需要對(duì)各階吸振器進(jìn)行整體優(yōu)化，進(jìn)而獲得最優(yōu)的減振效果。

(3) 軸系加入多階阻尼動(dòng)力吸振器后，理論和仿真結(jié)果都表明軸系的縱向共振峰得到抑制，能夠在相當(dāng)寬的頻帶范圍內(nèi)衰減振動(dòng)，減振效果非常明顯。考慮到大型船舶推進(jìn)軸系的中空特點(diǎn)，本文采用的芯棒式阻尼動(dòng)力吸振器，能在不增加安裝空間的前提下，擁有好的減振效果，具有一定的工程應(yīng)用前景。

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Research on reduction of multi-mode longitudinal vibration of hollow shafting

ZHAO Shuai1， CHEN Qian1， HUANG Zhi-wei2， YAO Bing1

(1.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China; 2. China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China)

Damped dynamic vibration absorbers are adopted to attenuate the multi-mode longitudinal vibration of the hollow shafting. A dynamic model of the shafting with multiple dynamic vibration absorbers is established using the transfer matrix method combined with the substructure synthetic method. The dynamic behavior of the shafting under harmonic excitation is then analyzed. Considering the coupling behavior of the dynamic vibration absorbers, the parameters of the dynamic vibration absorbers are optimized, specifically relating to the mean square of the displacement response in a targeted frequency range as an object function. Based on the hollow characteristic of the shafting, a specific structure of the dynamic vibration absorber is designed, and finite element stimulation is used to verify the theoretical calculation. The research results showed that the resonance peak is strongly attenuated and that the frequency response function curve turned smooth when multiple dynamic vibration absorbers were attached to the shafting. Furthermore, the absorption effect is improved after an optimization of the dynamic vibration absorbers.

hollow shafting；longitudinal vibration；transfer matrix method; dynamic vibration absorber

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.015

江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYLX_0242)

2015-05-20修改稿收到日期：2015-07-08

趙帥 男，博士生，1990年生

陳前 男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

TB532

A