丁鴻昌，鞏玉春，張述彪，亓航

(山東科技大學(xué)機械電子工程學(xué)院，山東青島 266590)

0 前言

高速永磁同步電機因功率密度高、體積小、效率高等優(yōu)點在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。采用表貼式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的高速永磁電機，通常在永磁體(PM)表面加裝高抗拉強度的非導(dǎo)磁護(hù)套來抵消永磁體產(chǎn)生的離心力，起保護(hù)作用[2]；而定位護(hù)套對強度要求不高，采用鋁合金材料。部件之間的多種配合方式和接觸行為等諸多因素使永磁同步電機轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析復(fù)雜化，導(dǎo)致模態(tài)求解難度增加。

高速電機轉(zhuǎn)子模態(tài)分析是當(dāng)前的研究熱點，文獻(xiàn)[3]中采用包含摩擦效應(yīng)的接觸元件對熱裝的套筒與空心軸裝配體進(jìn)行了動力學(xué)分析，使模態(tài)分析結(jié)果更接近實驗測量值。文獻(xiàn)[4-5]中考慮了永磁電機轉(zhuǎn)子裝配體各部件間的法向接觸剛度和摩擦力的影響，通過有限元仿真軟件得到的轉(zhuǎn)子固有頻率與測量值吻合良好。目前可查到的文獻(xiàn)中對于高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子模態(tài)的研究主要集中在接觸特性對轉(zhuǎn)子模態(tài)的影響，而通過等效組件對轉(zhuǎn)子裝配體進(jìn)行模態(tài)分析的研究很少。

為簡化建模和模態(tài)分析過程，對某高速永磁電機轉(zhuǎn)子的低階模態(tài)進(jìn)行研究，利用等效質(zhì)量和剛度的方法建立轉(zhuǎn)子的等效模型。通過ANSYS對該模型進(jìn)行有限元模態(tài)分析，并通過LMS錘擊實驗對仿真結(jié)果進(jìn)行驗證，以期為高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子模態(tài)研究提供參考。

1 系統(tǒng)離散化與運動方程的建立

轉(zhuǎn)子在實際工作過程中會承受聯(lián)軸器傳輸?shù)呐まD(zhuǎn)力矩、軸承支承力矩及負(fù)載對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的徑向沖擊力等多種邊界條件，但是這些復(fù)雜的邊界條件無法通過有限元軟件精確模擬。文中研究目的是驗證簡化建模方法的可靠性，所以不需要考慮支撐和約束條件，僅對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行自由邊界條件下的模態(tài)分析[6]。

以某高速永磁電機轉(zhuǎn)子為例，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)幾何模型如圖1所示，轉(zhuǎn)子各零部件的材料參數(shù)如表1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子裝配體幾何模型

表1 轉(zhuǎn)子各零部件材料屬性

1.1 有限元法離散化

在轉(zhuǎn)子動力學(xué)中，有限元法主要是將轉(zhuǎn)子沿軸向離散為n個彈性軸段單元、n+1個節(jié)點，然后對有限個單元的連續(xù)系統(tǒng)求解，其中每節(jié)點4個自由度。系統(tǒng)離散的單元個數(shù)越多計算精度越高，但單元個數(shù)過多會耗費大量計算時間，應(yīng)適當(dāng)劃分單元數(shù)量。系統(tǒng)中第i-1至第i+1個節(jié)點之間的離散化單元如圖2所示。

圖2 離散化單元模型

1.2 系統(tǒng)運動方程的建立

通常有阻尼柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動方程可表示為

(1)

(2)

設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，u(t)=Xsin(ωt)，則式(2)可表示為

(K-Mω2)X=0

(3)

矩陣求解即轉(zhuǎn)化為特征值的求解問題，即

|K-Mω2|=0

(4)

其中:ω為系統(tǒng)固有角頻率，令f=ω/2π，f即為系統(tǒng)固有頻率;特征向量X為系統(tǒng)主振型。

文獻(xiàn)[8]中，通過能量法和插值函數(shù)法得出第i個單元的剛度矩陣為

(5)

其中:Ei、Ii、l分別為單元的彈性模量、截面慣性矩和長度。

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子裝配體等效計算

根據(jù)機械振動理論中，系統(tǒng)固有頻率只與系統(tǒng)自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)的原則，若保證軸段的質(zhì)量和剛度不變，僅改變軸段的幾何參數(shù)則不會影響系統(tǒng)的固有頻率。因此，可通過計算軸段等效質(zhì)量和剛度，將轉(zhuǎn)子裝配體等效為實心轉(zhuǎn)子，進(jìn)而進(jìn)行有限元模態(tài)分析。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中各部件的關(guān)鍵幾何參數(shù)如表2所示。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中各部件的幾何參數(shù) 單位:mm

2.1 模型簡化原理及幾何參數(shù)計算

模型簡化原理是通過計算軸段的總質(zhì)量(等效質(zhì)量)，得到軸段的等效直徑[9]。其中，每個軸段的質(zhì)量和長度為常數(shù)，由于裝配軸段的剛度不能被精確計算，等效軸段的材料參數(shù)被視為變量。以長度為lz、安裝有定位護(hù)套的裝配軸段為例，其等效原理如圖3所示。

圖3 配合軸段的等效原理

由圖3可以看出：軸段總質(zhì)量是軸段上部件的質(zhì)量與軸質(zhì)量的和，ds是轉(zhuǎn)子實心軸的直徑，dh為定位護(hù)套的外徑，de是軸段的等效直徑。軸段總質(zhì)量，即等效實心軸段的質(zhì)量me可表示為

me=m+m′

(6)

式中：m、m′分別為軸和定位護(hù)套的質(zhì)量。m和m′可表示為

(7)

其中:ρh為定位護(hù)套的材料密度。等效實心軸段的密度ρe與軸的密度ρs相等，式(6)可寫為

(de/2)2πρslz=m′+(ds/2)2πρslz

(8)

通過上式，等效軸段的直徑de可表示為

(9)

對于由永磁體護(hù)套、永磁體、軸組成的軸段，取永磁體和永磁體護(hù)套的質(zhì)量相加作為m′，進(jìn)行等效計算可得到等效軸段的直徑。

代入表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值計算，裝有定位護(hù)套的軸段等效直徑de1為41.4 mm、裝有永磁體的軸段等效直徑de2為49.6 mm，等效實心轉(zhuǎn)子的幾何模型如圖4所示。

圖4 等效實心轉(zhuǎn)子幾何模型

2.2 材料參數(shù)的確定

由公式(5)可知，單位長度的軸段抗彎剛度K與軸的截面慣性矩I和材料彈性模量E有關(guān)，但各部件之間存在多種影響因素，裝配軸段的剛度EI不能被精確計算[10]。由于等效前后軸段的剛度相等，在某集中載荷下，懸臂梁的撓度與剛度的關(guān)系可表示為

(10)

其中：ymax為懸臂梁自由端在集中載荷Q下的最大靜撓度；Ee和Ie分別為等效軸段的彈性模量和截面慣性矩；l為軸段長度。根據(jù)式(10)，可通過有限元分析集中載荷下懸臂軸段的最大撓度，進(jìn)而推出等效軸段的剛度EeIe。由于每個等效軸段的等效直徑已知，等效軸段的截面慣性矩Ie可表示為

(11)

從而得到等效軸段的彈性模量Ee為

(12)

定位護(hù)套配合軸段和永磁體配合軸段的長度較小，撓度變化不明顯。由于軸段的剛度不受長度的影響，可將配合軸段延長為300 mm，便于觀察軸的撓度變化。另外，在裝配軸段時，軸的重力對撓度的影響非常小，可忽略不計。在ANSYS中將軸和部件的一個端面設(shè)為固定約束，使之成為懸臂狀態(tài)。為驗證軸段剛度不受載荷的影響，依次在軸的自由端沿Y方向施加1 000、2 000、3 000 N的徑向載荷，其撓度變化結(jié)果如表3所示。

表3 不同載荷下懸臂軸段的變形結(jié)果

由表3可知:載荷與撓度成正比，因此載荷的變化不會影響軸段的剛度。徑向載荷為1 000 N時2個軸段的變形如圖5所示，可知：有定位護(hù)套的軸段，自由端在Y方向的最大撓度為0.33 mm；有永磁體的軸段，自由端最大撓度為0.178 mm。

圖5 懸臂軸段的撓度

將公式(11)代入公式(12)并進(jìn)行代數(shù)計算，得到有定位護(hù)套的軸段等效后軸段的彈性模量為192.4 GPa、有永磁體的軸段等效后軸段的彈性模量為170.2 GPa。

3 等效實心轉(zhuǎn)子ANSYS模態(tài)分析

ANSYS是轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究常用的工具，且對單一結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析的結(jié)果準(zhǔn)確可靠，因此被用于驗證該等效模型的可靠性。由于各等效軸段材料屬性不同，在SolidWorks中分別建立各等效軸段及其他軸段的三維模型，各軸段以同軸心和面-面重合的方式進(jìn)行配合，以便進(jìn)行后續(xù)材料屬性的設(shè)置。

將等效實心轉(zhuǎn)子的3D模型導(dǎo)入ANSYS，根據(jù)表1和第2.2節(jié)中計算的等效軸段彈性模量設(shè)置每個軸段的材料屬性，各軸段的密度均為7 850 kg/m3，軸段之間的軸向接觸面均采用Bonded接觸，以模擬實心軸的整體結(jié)構(gòu)。等效實心轉(zhuǎn)子被劃分為37 549個網(wǎng)格單元、132 469個節(jié)點，有限元模型如圖6所示。

圖6 等效實心轉(zhuǎn)子有限元模型

在轉(zhuǎn)子動力學(xué)中，低階固有頻率對轉(zhuǎn)子的振動起主要作用，因此只分析轉(zhuǎn)子的前10階模態(tài)[10]。在分析結(jié)果中,由于前6階模態(tài)未出現(xiàn)明顯變形，且固有頻率接近于0，可忽略不計。等效實心轉(zhuǎn)子的1階和2階固有頻率分別為1 165.8、3 421 Hz，對應(yīng)的前2階彎曲振型如圖7所示。

圖7 等效實心轉(zhuǎn)子模態(tài)振型

從圖7可以看出:等效實心轉(zhuǎn)子的1階彎曲振型沿Z軸只發(fā)生了1次彎曲，2階彎曲振型沿Z軸發(fā)生了2次彎曲，且彎曲主要發(fā)生在兩端的軸頸處。

4 實驗驗證

4.1 平臺搭建

錘擊法模態(tài)實驗是準(zhǔn)確獲取機械結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的主要手段[11]。LMS錘擊法模態(tài)實驗平臺如圖8所示，實驗裝置包括支撐架、彈性繩、轉(zhuǎn)子、激勵錘、加速度傳感器、LMS振動實驗分析系統(tǒng)和計算機等。為模擬轉(zhuǎn)子的自由-自由邊界條件，用彈性繩將轉(zhuǎn)子水平懸掛在支撐架上。將加速度傳感器分別固定在轉(zhuǎn)子表面3個互相垂直的方向，并與振動分析系統(tǒng)的信號輸入端口連接。

圖8 LMS錘擊實驗平臺

(13)

其中:X(ω)和F(ω)分別為拉氏變換后的位移和激勵力。在初始條件為0的情況下，無阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)(FRF)為

(14)

在外接操作軟件SIEMENS中建立轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡易模型并進(jìn)行測點布置。通道設(shè)置和傳感器標(biāo)定時將帶寬設(shè)為4 096 Hz、采樣頻率為1 000 Hz。對于體積較小的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，低階固有頻率通過錘擊實驗比較容易獲得，在轉(zhuǎn)子兩端和中點處共設(shè)置3個測點進(jìn)行測量即可。

4.2 數(shù)據(jù)采集及結(jié)果分析

采集每個測點的響應(yīng)信號時，在轉(zhuǎn)子不同位置進(jìn)行錘擊，并對每次激勵的時域響應(yīng)信號進(jìn)行傅里葉變換和擬合，得到轉(zhuǎn)子的幅頻響應(yīng)曲線。該轉(zhuǎn)子為多段式階梯軸結(jié)構(gòu)，將它按結(jié)構(gòu)分為11個軸段，并在每個軸段中點上設(shè)置激勵點并順序編號。轉(zhuǎn)子激勵點的幅頻響應(yīng)曲線如圖9所示。

圖9 錘擊法模態(tài)實驗結(jié)果

從圖9可以看出：曲線存在2處明顯的峰值，對應(yīng)的峰值頻率分別為1 183、3 526 Hz。將等效實心轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析結(jié)果與錘擊實驗結(jié)果比較，結(jié)果如表4所示?？芍旱刃Ｐ偷?階和2階固有頻率與轉(zhuǎn)子裝配體原型錘擊實驗結(jié)果的最大誤差為3%，驗證了該等效模型的可靠性和彈性模量取值的合理性。

表4 等效實心轉(zhuǎn)子的模態(tài)分析與錘擊實驗結(jié)果對比

5 結(jié)論

為簡化永磁同步電機轉(zhuǎn)子模態(tài)分析過程，提出一種轉(zhuǎn)子裝配體的等效建模方法。通過等效質(zhì)量法將轉(zhuǎn)子裝配體等效為實心轉(zhuǎn)子，并以某高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子為研究對象對該方法進(jìn)行了驗證，得出如下結(jié)論：

(1)利用等效質(zhì)量的方法計算出了每個等效軸段幾何參數(shù)，并建立了等效實心轉(zhuǎn)子的3D模型，此模型可代替轉(zhuǎn)子裝配體進(jìn)行模態(tài)分析;

(2)在ANSYS中模擬軸段在集中載荷下的變形情況，發(fā)現(xiàn)剛度與載荷變化無關(guān)。根據(jù)剛度與載荷和撓度的關(guān)系推算出軸段的剛度，從而得到每個等效軸段的彈性模量；

(3)為每個等效軸段設(shè)置彈性模量并進(jìn)行模態(tài)分析，得到等效實心轉(zhuǎn)子的有限元模態(tài)分析結(jié)果與實驗結(jié)果之間的誤差小于5%，且轉(zhuǎn)子的主要變形部位發(fā)生在兩端的軸頸處，驗證了彈性模量取值的合理性及該方法的可行性；得到了該轉(zhuǎn)子模型的低階振動特性，為高速永磁同步電機轉(zhuǎn)子模態(tài)研究提供了參考。