韓東穎, 時(shí)培明, 趙東偉

(1.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院,秦皇島　066004；2. 燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院,秦皇島　066004)

板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)參激非線性扭振魯棒控制研究

韓東穎1, 時(shí)培明2, 趙東偉2

(1.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院,秦皇島066004；2. 燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院,秦皇島066004)

建立了含參激非線性、不確定性、負(fù)載轉(zhuǎn)矩的軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型，研究了板帶軋機(jī)電機(jī)速度魯棒跟蹤非脆弱控制問題。將板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性按參數(shù)不確定性處理，通過H∞理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(LMI)方法得到了通過狀態(tài)反饋使得系統(tǒng)滿足二次穩(wěn)定、抑制外界干擾的充分條件;為了實(shí)現(xiàn)給定速度信號(hào)跟蹤非脆弱控制，設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器。軋機(jī)實(shí)例仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性，并發(fā)現(xiàn)控制器的非脆弱性表現(xiàn)為控制器參數(shù)的魯棒性，即可以通過控制器參數(shù)的直接選取達(dá)到板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振非脆弱控制效果。

軋機(jī)；扭振；參激；非線性；魯棒H∞

軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)是軋制設(shè)備中的關(guān)鍵部分，其作用是將電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力矩傳遞給軋輥，實(shí)現(xiàn)軋制生產(chǎn)，因此電機(jī)速度平穩(wěn)性直接影響傳動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性和產(chǎn)品質(zhì)量。軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)模型參數(shù)具有不確定性，同時(shí)存在軋制擾動(dòng)影響，軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí)常發(fā)生扭振現(xiàn)象[1-4]。軋機(jī)扭振控制引起了廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[5]針對(duì)軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)線性模型，基于H∞理論在傳統(tǒng)PI控制基礎(chǔ)上，從混合靈敏度角度設(shè)計(jì)了抑制電機(jī)速度振蕩補(bǔ)償器，抑制了外界干擾對(duì)電機(jī)速度、電機(jī)轉(zhuǎn)矩、軸力矩的影響，但模型中僅考慮了標(biāo)稱值情形；文獻(xiàn)[6]建立了基于模型匹配的軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)模型，通過LMI(Linear Maerix Lnequality)方法有效改善了軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤性能，但未考慮模型的參數(shù)不確定性；在直流電機(jī)無補(bǔ)償繞組或補(bǔ)償繞組不能完全抵消電樞反應(yīng)引起的非線性情形下，文獻(xiàn)[7]考慮了該非線性及參數(shù)不確定性，將非線性項(xiàng)視為結(jié)構(gòu)不確定性，在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上，通過求解Riccati不等式得到狀態(tài)反饋控制器，并設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器，較好地實(shí)現(xiàn)了電機(jī)速度跟蹤魯棒控制。軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有特殊性，尤其是板帶軋機(jī)，由于軋制過程中接軸有傾角，將產(chǎn)生參激作用[9]。對(duì)這類扭振控制問題，還沒有開展相關(guān)研究的報(bào)道。

本文建立了軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)參激非線性扭振模型，將非線性處理為參數(shù)不確定性，基于H∞理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論及LMI方法，研究了軋機(jī)機(jī)電系統(tǒng)中直流電機(jī)速度跟蹤非脆弱控制問題，得到了系統(tǒng)非脆弱狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，并設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器。取得了較好的跟蹤控制效果。實(shí)例仿真過程中，發(fā)現(xiàn)未考慮控制器攝動(dòng)時(shí)，控制器自身帶有一定魯棒性，通過進(jìn)一步給出的簡(jiǎn)化定理和控制器參數(shù)靈活選取，可實(shí)現(xiàn)含參激非線性板帶軋機(jī)扭振系統(tǒng)速度跟蹤非脆弱控制，通過實(shí)例仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

1板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)含參激非線性扭振模型

板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)包含電氣傳動(dòng)部分和機(jī)械傳動(dòng)部分，當(dāng)研究軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電耦合作用時(shí)，可將傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為電氣系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)兩部分來研究。由于板帶軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特殊性，以及板帶軋機(jī)常常進(jìn)行調(diào)速、存在軋輥磨損、軋件厚度變化等，連接軸與電機(jī)和軋輥接觸的部分并非水平的，即存在接軸傾角，這個(gè)傾角會(huì)引起角速度的波動(dòng)，導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)非線性振動(dòng)。接軸傾角的變化會(huì)引起系統(tǒng)連接軸剛度周期性變化，使得系統(tǒng)的剛度表現(xiàn)為參數(shù)激勵(lì)。

考慮參激非線性板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見圖1。

圖1　含參激剛度非線性的軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型Fig.1 The electrical drive system of rolling mill torsional vibration model with nonlinear parametric stiffness

圖1中，D為直流電機(jī)；R為電樞繞組的電阻；U為電機(jī)電樞輸入電壓；L為電樞繞組的電感；J1為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為軋輥轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω1為電機(jī)轉(zhuǎn)速；ω2為軋輥轉(zhuǎn)速；T為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。KF為準(zhǔn)周期剛度連接軸剛度的非線性形式考慮為準(zhǔn)周期剛度[10]具體形式為：KF=K[1+ρcos(vt)+hcos(Ωt)]，其中K為等效剛度；v為與系統(tǒng)固有頻率相關(guān)的共振頻率；Ω為緩變頻率；ρ為對(duì)應(yīng)共振頻率項(xiàng)的幅值系數(shù)；h為對(duì)應(yīng)緩變頻率項(xiàng)的幅值系數(shù)。

根據(jù)廣義耗散系統(tǒng)的Lagrange原理建立模型，過程如下：對(duì)于電氣傳動(dòng)系統(tǒng)部分。選擇電荷q為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的電動(dòng)能Vd為：

(1)

系統(tǒng)的電勢(shì)能Vs為：

Vs=-Uq+kUω1q

(2)

設(shè)單位電荷δq流過電樞繞組的耗散能Vh為：

Vh=-Ri·δq

(3)

從而得到電阻產(chǎn)生的廣義力矩Fr為：

Fr=-Ri

(4)

將式(1)、式(2)和式(4)代入到如下形式的Lagrange方程中：

(5)

式中：gi和Qi分別為廣義坐標(biāo)和廣義外力矩，i=1,2。

綜上可得電機(jī)側(cè)數(shù)學(xué)模型為：

(6)

對(duì)于機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)部分，選擇電機(jī)端的轉(zhuǎn)角θ1和軋輥端的轉(zhuǎn)角θ2作為廣義坐標(biāo)，則該部分的動(dòng)能E為：

(7)

該部分系統(tǒng)的勢(shì)能V為：

(8)

(9)

式中：pj為廣義坐標(biāo)，j=1,2。

本模型不考慮阻尼作用，故有：

(10)

進(jìn)一步由式(9)和式(10)，得：

(11)

將式(7)、式(8)和式(11)代入式(5)，得：

(12)

又易知：

(13)

聯(lián)立式(12)和式(13)，同時(shí)考慮參激非線性可得：

為了考察軋機(jī)接軸扭矩T12的振動(dòng)情況，引入狀態(tài)變量T12，即令：

T12=K[1+ρcos(vt)+hcos(Ωt)](θ1-θ2)

(15)

選擇電流i、電機(jī)轉(zhuǎn)速ω1、接軸轉(zhuǎn)矩T12和電機(jī)轉(zhuǎn)速ω2為狀態(tài)變量，可得含參激剛度的板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型為：

(16)

2參激非線性扭振魯棒控制器設(shè)計(jì)

所建含準(zhǔn)周期剛度的軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型，基于H∞理論研究了傳動(dòng)系統(tǒng)扭振魯棒控制問題?？紤]所建立的含參激剛度的板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型式(16)。模型中考慮了準(zhǔn)周期剛度形式，記：

fk(v,Ω,t)=ρcos(vt)+hcos(Ωt)

(17)

為書寫方便，簡(jiǎn)記fk(v,Ω,t)為fk，則式(17)進(jìn)一步表示為：

(18)

(19)

將式(19)寫成矩陣形式為：

(20)

將式(20)寫成由字母簡(jiǎn)單表示為：

(21)

式中：

視Kfk為剛度K的參數(shù)攝動(dòng)，即ΔC。暫不考慮常數(shù)項(xiàng)B1T對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，該影響可由控制輸入進(jìn)行前饋補(bǔ)償?？紤]外界擾動(dòng)信號(hào)w對(duì)系統(tǒng)的影響，則系統(tǒng)模型式(21)可以寫為：

(22)

式中：假設(shè)ΔC=EΣ(t)F。其中，E、F為適宜維數(shù)矩陣；Σ(t)為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)未知函數(shù)矩陣，且ΣT(t)×Σ(t)≤I，?t。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行魯棒控制的目標(biāo)之一，是使系統(tǒng)在存在外界干擾時(shí)滿足如下干擾抑制指標(biāo)：

‖z‖2≤γ‖w‖2

(23)

式中：γ>0;?w∈L2;z(t)為評(píng)價(jià)輸出信號(hào);w(t)為干擾輸入信號(hào);其屬于L2空間。并設(shè)評(píng)價(jià)輸出信號(hào)的具體形式為：

z(t)=Cx+Du

(24)

式中：系數(shù)矩陣C、D滿足CTD=0。

聯(lián)立式(22)和式(24)，得增廣受控系統(tǒng)模型如下:

(25)

3參激非線性扭振魯棒控制器求解

對(duì)增廣受控系統(tǒng)模型式(25)，引入線性靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器K，即令：

u=Kx

(26)

則式(25)變?yōu)槿缦麻]環(huán)形式：

(27)

選定Lyapunov函數(shù)為二次型形式，即：

V(x,t)=xT(t)Px(t)

(28)

φ=xT(A+BK+ΔC)TPx+xTP(A+BK+ΔC)x+

γ2wTw<0

(29)

將ΔC的具體形式代入上式，有：

(30)

EΣ(t)F+FTΣT(t)ET≤λPEETP+λ-1FTF

(31)

將式(30)和式(31)代入式(29)，使式(29)成為一個(gè)充分性不等式：

ATP+PA+KTBTP+PBK+λPEETP+

λ-1FTF+CTC+KTDTDK<0

(32)

式(32)左乘、右乘矩陣P-1，得：

P-1AT+AP-1+P-1KTBT+BKP-1+

λEET+λ-1P-1FTFP-1+P-1CTCP-1+

P-1KTDTDKP-1<0

(33)

注意到P-1=PT，設(shè)P-1=X，KP-1=Y，則式(33)變?yōu)椋?/p>

XAT+AX+YTBT+BY+λEET+

λ-1XFTFX+XCTCX+YTDTDY<0

(34)

利用Schur補(bǔ)引理將上式等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下矩陣不等式：

(35)

將上述推導(dǎo)過程整理得到如下定理。

定理3.1給定常數(shù)γ>0，對(duì)于式(25)，存在狀態(tài)反饋控制器K，使得閉環(huán)系統(tǒng)無干擾時(shí)二次穩(wěn)定；零初始條件下，滿足干擾抑制指標(biāo)式(23)的一個(gè)充分條件為，存在常數(shù)λ>0，正定對(duì)稱矩陣X和矩陣Y，滿足如下矩陣不等式：

(36)

(37)

4實(shí)例分析

以某型冷連軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)[12]為實(shí)例參數(shù)：主電機(jī)額定功率1 500 kW，額定電壓938 V，額定電流1 720 A，額定轉(zhuǎn)速290 r/min，電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=1 552 kg·m2，軋輥的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2=1 542 kg·m2，kU=29 N·m/A，R=0.031 4 Ω，L=0.000 3 H，K=5.93×106，T=29 100 N·m，ν=1，Ω=0.01，h=0.04，ρ=0.01。

考慮計(jì)算可得式(22)的相關(guān)矩陣數(shù)值如下：

令λ=10 000，γ=1時(shí)，由LMI工具箱中feasp求解器，可求得狀態(tài)反饋控制器為：

K=

[-0.231 2 -432.705 5 -0.011 0 198.564 4]

(38)

圖2為給定速度為27.23 rad/s時(shí)電機(jī)速度的響應(yīng)曲線;圖3為其橫向放大圖，可見實(shí)際電機(jī)速度信號(hào)在控制輸入的作用下，能快速平穩(wěn)的跟蹤給定速度信號(hào)。

圖4為在給定電機(jī)速度為27.23 rad/s時(shí)，連接軸扭矩T12的響應(yīng)曲線，圖5為圖4的橫向放大圖，由圖4可知，扭矩是從零開始迅速加大，達(dá)到一定值后逐漸減小，直到平緩穩(wěn)定，仿真結(jié)果表明控制效果良好。

圖6和圖7分別為在給定電機(jī)速度為27.23+sin(6.28t) rad/s時(shí)，電機(jī)速度和連接軸扭矩的響應(yīng)曲線。由圖6可知，電機(jī)速度信號(hào)在給定信號(hào)的第一個(gè)波谷到來之前實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的跟蹤，響應(yīng)曲線快速隨給定信號(hào)波動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)跟蹤；圖7為在給定電機(jī)速度信號(hào)為27.23+sin(6.28t) rad/s時(shí)的扭矩響應(yīng)曲線。

圖2 ω=27.23rad/s時(shí)的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.2Themotorspeedresponsecurveatω=27.23rad/s圖3 ω=27.23rad/s時(shí)的電機(jī)速度響應(yīng)曲線放大圖Fig.3Themotorspeedresponseamplificationcurveatω=27.23rad/s圖4 ω=27.23rad/s時(shí)的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.4Theconnectingshafttorqueresponsecurveatω=27.23rad/s

圖5 ω=27.23rad/s時(shí)的連接軸扭矩響應(yīng)曲線放大圖Fig.5Theconnectingshafttorqueresponseamplificationcurveatω=27.23rad/s圖6 給定時(shí)變信號(hào)下的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.6Themotorspeedresponsecurveundertimevaryingsignal圖7 給定時(shí)變信號(hào)下的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.7Theconnectingshafttorqueresponsecurveundertimevaryingsignal

圖8和圖9為給定速度信號(hào)為27.23 rad/s，假設(shè)外界干擾信號(hào)為幅值是負(fù)載轉(zhuǎn)矩1/10的正弦信號(hào)，即2 910 sin(6.28t)情形，電機(jī)速度和連接軸扭矩響應(yīng)曲線，曲線波動(dòng)很小，效果良好。

圖10～圖13為給定階躍信號(hào)下，電機(jī)速度的跟蹤曲線圖及其放大圖和連接軸扭矩的響應(yīng)曲線圖及其放大圖，由圖可見，實(shí)現(xiàn)了電機(jī)速度對(duì)給定速度信號(hào)的快速跟蹤，除開始由一次速度波動(dòng)外，整個(gè)過程平穩(wěn)。連接軸扭矩的波動(dòng)得到了有效的抑制；圖14～圖17為給定時(shí)變信號(hào)和存在擾動(dòng)信號(hào)兩種情形下的電機(jī)速度跟蹤曲線和連接軸扭矩響應(yīng)曲線。仿真結(jié)果表明，在給定控制輸入下，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)信號(hào)的有效跟蹤和連接軸扭振的有效抑制。

圖8 擾動(dòng)信號(hào)下的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.8Themotorspeedresponsecurveunderdisturbancesignal圖9 擾動(dòng)信號(hào)下的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.9Theconnectingshafttorqueresponsecurveunderdisturbancesignal圖10 ω=2.723rad/s時(shí)的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.10Themotorspeedresponsecurveatω=2.723rad/s

圖11 ω=2.723rad/s時(shí)的電機(jī)速度響應(yīng)曲線放大圖Fig.11Themotorspeedresponseamplificationcurveatω=2.723rad/s圖12 ω=2.723rad/s時(shí)的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.12Theconnectingshafttorqueresponsecurveatω=2.723rad/s圖13 ω=2.723rad/s時(shí)的連接軸扭矩響應(yīng)曲線放大圖Fig.13Theconnectingshafttorqueresponseamplificationcurveatω=2.723rad/s

圖14 動(dòng)態(tài)給定信號(hào)下的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.14Themotorspeedresponsecurveunderdynamicsignal圖15 動(dòng)態(tài)給定信號(hào)下的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.15Theconnectingshafttorqueresponsecurveunderdynamicsignal圖16 擾動(dòng)信號(hào)下的電機(jī)速度響應(yīng)曲線Fig.16Themotorspeedresponsecurveunderdisturbancesignal

圖17　擾動(dòng)信號(hào)下的連接軸扭矩響應(yīng)曲線Fig.17 The connecting shaft torque response curve under disturbance signal

對(duì)于系統(tǒng)模型發(fā)生攝動(dòng)情形，控制效果與標(biāo)稱情形類似。

5結(jié)論

針對(duì)含參激剛度非線性的板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振模型，基于H∞理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的狀態(tài)反饋控制器，同時(shí)設(shè)計(jì)了前饋補(bǔ)償器，消除了穩(wěn)態(tài)誤差。最后通過實(shí)例仿真，可知所設(shè)計(jì)的控制器和補(bǔ)償器可以通過控制器參數(shù)的直接選取，實(shí)現(xiàn)板帶軋機(jī)機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)扭振非脆弱控制，驗(yàn)證了算法的有效性。

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Study on robust control for parametric excitation nonlinear torsional vibration of a strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system

HAN Dong-ying1, SHI Pei-ming2, ZHAO Dong-wei2

(1. College of Vehicles and Energy, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

While considering parametric excitation nonlinearity, uncertainty and load torque, the nonlinear torsional vibration dynamic model of a mechanical and electrical transmission system in a strip-rolling mill is built. The problem of the strip-rolling mill’s motor-speed robust tracking and non-fragile control of the DC motor is studied. As the nonlinearity of the strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system is translated into parameter uncertainty, the sufficient condition that lets the system attain quadratic stability and outside-disturbance attenuation is obtained using H∞theory, Lyapunov stability theory and the LMI method. In order to achieve the given speed-signal tracking and non-fragile control, a feedforward and compensatory controller is designed. The results of the real strip-rolling mill’s simulation example verify the effectiveness of the proposed method, and the non-fragility of the controller is reflected as the controller’s parameter robustness. This means that the effect of the torsional vibration non-fragile control of the strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system can be fulfilled by choosing the parameters of the controller directly.

rolling mill; torsional vibration; parametric excitation; nonlinear; robustH∞

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.001

國(guó)家自然科學(xué)基金(51005196)；河北省自然科學(xué)基金(E2012203194)

2015-05-12修改稿收到日期：2015-06-19

韓東穎 女，博士，副教授，1978年生

TM341

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