王彩芬　曹榮榮　田　磊　宋麗娜　紀(jì)春靜

(青島大學(xué)　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東　青島　266071)

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基于APOS理論的無窮級數(shù)概念認(rèn)知分析

王彩芬曹榮榮田磊宋麗娜紀(jì)春靜

(青島大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266071)

摘要文章利用APOS理論研究了學(xué)生關(guān)于“無窮級數(shù)是部分和數(shù)列”這一概念的認(rèn)知建構(gòu)程度。結(jié)果顯示，絕大部分的學(xué)生對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知處在一個(gè)中低層面上，這一研究結(jié)果沒有達(dá)到教育者所期望學(xué)生該達(dá)到的認(rèn)知建構(gòu)水平。最后對無窮級數(shù)概念認(rèn)知建構(gòu)的困難進(jìn)行了分析，并有針對性地對教學(xué)提出了一些建議。

關(guān)鍵詞無窮級數(shù)；APOS理論；操作；過程；對象；圖式

一 、引言

眾所周知，無窮級數(shù)由于涉及無窮概念，對學(xué)生來說這是一大困難。現(xiàn)有的大量研究表明，學(xué)生通常把“無窮級數(shù)”理解為“無窮和”，而不是“部分和數(shù)列的極限”。 Sierpinska曾這樣指出：把無窮級數(shù)直觀地理解為無窮和是正確理解無窮級數(shù)的一大障礙，對絕大多數(shù)的學(xué)生來說，無窮過程的特性是它不可能在有限的時(shí)間內(nèi)完成的，所以無窮級數(shù)的和最終是不清楚的[1]。這也可以從其他文章中作者對沒有經(jīng)過正規(guī)訓(xùn)練的學(xué)生的研究中看出[2]。在現(xiàn)在的研究中，即使經(jīng)過正式培訓(xùn)的研究生也很普遍地認(rèn)為級數(shù)是一個(gè)無窮而永不結(jié)束的過程[3]235-249。

在級數(shù)學(xué)習(xí)中遇到的障礙也可以從歷史中觀察出來，正如皮亞杰所說：在某些情況下，個(gè)人和歷史知識的發(fā)展是類似的。16、17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家認(rèn)為級數(shù)是一個(gè)無窮的和，并且認(rèn)為任何形式的結(jié)合律都是成立的，而現(xiàn)代級數(shù)的定義規(guī)定項(xiàng)的結(jié)合只能這樣((((a1+a2)+a3)+a4)+a5+…)，克服這樣一個(gè)困難也不是很容易的一件事。

學(xué)生關(guān)于“無窮級數(shù)是部分和數(shù)列”這一概念的認(rèn)知建構(gòu)對無窮級數(shù)性質(zhì)的理解和證明是很有必要的，對無窮級數(shù)求和與收斂性的分析也很有必要。如果學(xué)生不能理解接受級數(shù)的定義——部分和數(shù)列的極限，那么學(xué)生就無法克服“無窮級數(shù)就是無窮和”這一認(rèn)知障礙，自然在問題情境中就不會(huì)用級數(shù)定義去解決問題。

目前國內(nèi)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱對“無窮級數(shù)概念”教學(xué)的最基本要求是“理解無窮級數(shù)概念，掌握級數(shù)收斂判斷法則”，更高一點(diǎn)的要求為“會(huì)利用級數(shù)工具解決簡單的實(shí)際應(yīng)用問題”。在學(xué)完這一部分內(nèi)容后，學(xué)生對無窮級數(shù)概念理解是否能達(dá)到教學(xué)大綱的基本要求呢？或者學(xué)生對此概念的認(rèn)知建構(gòu)究竟會(huì)達(dá)到一個(gè)什么程度呢？本文抽取了普通高校大一理工類一個(gè)班級學(xué)生(30人)進(jìn)行了問卷調(diào)查研究，根據(jù)APOS理論，我們研究發(fā)現(xiàn)絕大部分的學(xué)生對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知處在一個(gè)中低層面上，而這樣一個(gè)研究結(jié)果并沒有達(dá)到大綱制定者所期望學(xué)生達(dá)到的認(rèn)知建構(gòu)水平。

二、理論框架

我們的這篇文章的研究目的有兩個(gè)，一是說明學(xué)生正確構(gòu)建無窮級數(shù)的概念是非常困難的，大部分學(xué)生把無窮級數(shù)理解為永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束的“無窮和”；二是試圖考查在目前的高等數(shù)學(xué)課程設(shè)置狀態(tài)下，普通高校大一理工類學(xué)生在學(xué)完無窮級數(shù)以后，對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知建構(gòu)到底達(dá)到什么程度，并且分析學(xué)生之所以達(dá)到這種狀態(tài)的原因及其對策。從而嘗試揭示學(xué)生構(gòu)建級數(shù)概念的方式，這有助于教師基于理論的教學(xué)設(shè)計(jì)，更好地指導(dǎo)學(xué)生理解無窮級數(shù)的概念。在這里，用APOS理論來解釋我們所觀察到的現(xiàn)象特別合適。

三、研究目的、方法和結(jié)果

研究希望在調(diào)查的基礎(chǔ)上了解學(xué)生對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知所處的概念發(fā)展階段，找到學(xué)生的認(rèn)知困難所在，最終目的就是設(shè)計(jì)合適的教學(xué)法指導(dǎo)學(xué)生正確地理解無窮級數(shù)概念，從而幫助學(xué)生構(gòu)建起無窮級數(shù)概念的認(rèn)知圖式即APOS理論中的圖式階段。

我們的調(diào)查對象是國內(nèi)普通大學(xué)理工科的大一學(xué)生，高等數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)兩個(gè)學(xué)期，使用的教材是同濟(jì)大學(xué)第六版的《高等數(shù)學(xué)》，無窮級數(shù)是最后一章。調(diào)查訪談是在他們剛剛結(jié)束了無窮級數(shù)這一章的學(xué)習(xí)后進(jìn)行的，但還沒有進(jìn)行期末考試，全班共30人，問卷共30份。試卷問題共3個(gè)大題[3]235-249。

問題：論斷a、b哪一個(gè)正確，為什么？

調(diào)查結(jié)果顯示，30個(gè)學(xué)生都選擇論斷a是錯(cuò)誤的，論斷b是正確的。如果這是一道選擇題的話，那30個(gè)學(xué)生都做對了，但這并不意味著他們知其所以然。只有2個(gè)學(xué)生使用了“部分和數(shù)列”這個(gè)工具來解釋，這兩個(gè)學(xué)生的調(diào)查試卷整體做得也比較好，引起了我們的注意，編碼為s1、s2。還有2個(gè)學(xué)生，后面的調(diào)查試卷幾乎是空白，編碼為s29、s30，后面我們將不再關(guān)注他倆，并且認(rèn)為他倆對級數(shù)概念的認(rèn)知處在APOS理論的初始階段即操作階段。其余26個(gè)學(xué)生的解釋都差不多：“老師就是這樣講的”“課本上就是這樣定義的”“級數(shù)和是唯一的、b對了，a就錯(cuò)了”等，這部分學(xué)生雖然做對了題，但他們具體處在APOS理論所說的對象、過程、操作的哪一個(gè)階段還確定不下來，需要進(jìn)一步考查，他們的編碼為s3～s28。

(a)請寫出S1，S2，S3，S4。

(b)判斷數(shù)列{Sn}是否收斂？為什么？

第一問是引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算部分和數(shù)列的前幾項(xiàng)，如果在后面的考查中，他們不能進(jìn)一步使用“部分和數(shù)列的極限”這個(gè)工具，而僅僅局限于計(jì)算的話，我們就會(huì)認(rèn)為處于APOS理論的操作階段。第二問判斷部分和數(shù)列的收斂性，學(xué)生必須意識到部分和數(shù)列的極限就是級數(shù)的和，然后從這一角度出發(fā)去尋找判斷方法(可以用絕對收斂、比較判別法)。第三問直接詢問學(xué)生，是否意識到級數(shù)的和就是部分和的極限。

教師：問題一中論斷a為什么錯(cuò)了，它的第一項(xiàng)為1，后面每兩項(xiàng)相加為0，后面有無窮多的兩項(xiàng)相結(jié)合為0，都抵消了，只剩下1，這樣不對嗎？為什么?

學(xué)生：哦，都抵消了，那論斷a是正確的，論斷b不正確。

教師：為什么？

教師：問題二的第三小題中，二者到底是什么關(guān)系呢？

學(xué)生：前n項(xiàng)和的極限應(yīng)該是級數(shù)的近似，無窮級數(shù)的和應(yīng)該等于前n項(xiàng)和的極限加上一個(gè)余項(xiàng)或者一個(gè)誤差，可能是這樣吧，我也不太清楚……但不應(yīng)該相等……

這些學(xué)生僅僅把“無窮級數(shù)的和是前n項(xiàng)和的極限”當(dāng)做一個(gè)記憶事實(shí)，所以當(dāng)遇到矛盾的時(shí)候，經(jīng)不起推敲，忽左忽右，不知所措，到最后連這樣一個(gè)記憶事實(shí)也拿捏不準(zhǔn)了。綜合考查整個(gè)問卷及其訪談情況，根據(jù)APOS理論，我們認(rèn)為這13個(gè)學(xué)生處于APOS理論的操作階段。另外15個(gè)學(xué)生需要進(jìn)一步考查。

兩個(gè)級數(shù)的收斂區(qū)間沒有交集，所以結(jié)果是不正確的。這個(gè)問題將引導(dǎo)學(xué)生對幾何級數(shù)和它們的收斂半徑的討論，這需要把無窮級數(shù)當(dāng)做一個(gè)對象(函數(shù))來考慮，這個(gè)問題的設(shè)計(jì)可以讓我們探索學(xué)生是否有對象的建構(gòu)行為。

15個(gè)人中都回答“結(jié)果不正確”，至于為什么？只有2個(gè)學(xué)生(編號為s1、s2的學(xué)生)給出“收斂域不同”(單純從試卷看這兩個(gè)學(xué)生可能處在對象階段，后面再討論)。其他的13個(gè)學(xué)生的答案：或者“顯然”；或者“左邊x取一個(gè)正數(shù)代入，其和應(yīng)該為正，而右邊為0，所以矛盾”；或者空白沒有解釋。而這13個(gè)學(xué)生的解釋本質(zhì)上是一樣的，但從他們的調(diào)查問卷中我們看不出學(xué)生的認(rèn)知是處在APOS理論中的過程階段還是對象階段，為了進(jìn)一步搞清楚這個(gè)問題，我們對其中的一個(gè)學(xué)生進(jìn)行了訪談：

學(xué)生：這是正確的(不確定，思考中)，好像不正確，-1不在這個(gè)級數(shù)的收斂域內(nèi)。

注意，他沒有清晰地提到“部分和數(shù)列”這個(gè)工具，而是借助于收斂區(qū)間?？傮w來看，該生意識到了級數(shù)的和是部分和數(shù)列的極限，但沒有利用這個(gè)工具來判斷級數(shù)的收斂性。根據(jù)APOS理論，該生的認(rèn)知處在過程階段，他能反思部分和數(shù)列的形成過程，但在利用這個(gè)工具的時(shí)候還是有困難的。即使這樣，他在判斷命題的正確性的時(shí)候還是建立在“部分和數(shù)列的極限”之上的。綜合問卷調(diào)查與訪談情況，這13個(gè)學(xué)生處在APOS理論的過程階段。

對于剩下的兩個(gè)學(xué)生，我們本以為他們對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知建構(gòu)會(huì)處在對象階段，但訪談中，他們在判斷Grandi 級數(shù)的收斂性時(shí)，也沒有利用“部分和數(shù)列”這個(gè)工具，而是去尋找交錯(cuò)級數(shù)等其他的判別法。他們能反思部分和數(shù)列的形成過程，但在問題情境中利用這個(gè)工具的時(shí)候顯示出了很大的困難。根據(jù)APOS理論，我們最后還是認(rèn)為他倆處在過程階段，但只要經(jīng)過進(jìn)一步地培訓(xùn)和學(xué)習(xí)，他們倆會(huì)很快進(jìn)入到對象階段。

四、教學(xué)建議及結(jié)論

在目前的國內(nèi)高等數(shù)學(xué)課程設(shè)置體系下，我們所教授的大一學(xué)生對無窮級數(shù)概念究竟理解到什么程度呢？通過上面的調(diào)查分析，我們發(fā)現(xiàn)30個(gè)學(xué)生中有一半的學(xué)生處在APOS的操作階段，另一半的學(xué)生處在APOS理論的過程階段，也就是大部分學(xué)生對級數(shù)概念的認(rèn)知建構(gòu)處在一個(gè)中低層面上。這個(gè)結(jié)果僅僅局限于我們這個(gè)30人的班級，不能由此推廣到一般情況，大規(guī)模的學(xué)生對無窮級數(shù)概念的認(rèn)知構(gòu)建程度需要進(jìn)一步研究調(diào)查。

在我們的調(diào)查分析中，大部分學(xué)生對級數(shù)概念的認(rèn)知建構(gòu)處在一個(gè)中低層面上，這樣的調(diào)查結(jié)果也進(jìn)一步說明了建構(gòu)“級數(shù)就是部分和數(shù)列的極限”的認(rèn)知觀念是非常困難的。困難的原因在哪里呢？

首先，級數(shù)研究的對象是無窮多項(xiàng)相加，這屬于無窮領(lǐng)域，而無限與有限是高等數(shù)學(xué)思維與初等數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)區(qū)別之一。本科一年級的學(xué)生從中學(xué)過來不久，思維方式還沒有完全轉(zhuǎn)換到高等數(shù)學(xué)思維方式上面。而他們習(xí)慣使用的初等數(shù)學(xué)思維(例如結(jié)合律等)在無限領(lǐng)域內(nèi)又不成立，以前對無窮的學(xué)習(xí)研究機(jī)會(huì)又少，在這樣的一種情景中，讓他們迅速建構(gòu)起來 “級數(shù)就是部分和數(shù)列的極限”的認(rèn)知觀念自然是很困難的。

其次，級數(shù)和定義是用極限來實(shí)現(xiàn)的?，F(xiàn)有的大量的資料研究顯示，對學(xué)生來說，極限也是一個(gè)很難的認(rèn)知概念，大部分的學(xué)生對極限的認(rèn)知是停留在APOS理論的過程階段，而不是對象階段。因此學(xué)生對極限概念的理解不夠(弱圖式狀態(tài))也在一定程度上影響了他們對無窮級數(shù)概念的對象建構(gòu)。

最后，與教材的編寫和教師的教學(xué)法也有很大的關(guān)系。在APOS理論中，運(yùn)用操作進(jìn)行過程的建構(gòu)，并且反思這些操作和過程的時(shí)候，學(xué)生的級數(shù)過程建構(gòu)就會(huì)凝聚成對象建構(gòu)。因此，很明顯，如果學(xué)生很少有機(jī)會(huì)用“部分和數(shù)列”的話，那他就不可能形成“級數(shù)和就是部分和數(shù)列的極限”的認(rèn)知建構(gòu)。在級數(shù)求和的時(shí)候，當(dāng)不能用幾何級數(shù)的求和公式的時(shí)候，這時(shí)就會(huì)用到部分和數(shù)列，然而這種情況很少出現(xiàn)。進(jìn)一步，教材上經(jīng)常出現(xiàn)的定理以及教師、學(xué)生經(jīng)常使用的定理都是用級數(shù)的通項(xiàng)an來描述的，而不是用“部分和數(shù)列”來描述。部分和數(shù)列通常在定理的證明中用到，但在高等數(shù)學(xué)這樣的公共數(shù)學(xué)課中，要求學(xué)生去產(chǎn)生或者分析這些證明是不大可能的。沒有需要反思“部分和數(shù)列”這一概念的活動(dòng)，即使在課堂上引入了“級數(shù)是部分和數(shù)列的極限”這一概念，但沒有相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)來反思它，支撐它，很快就會(huì)在學(xué)生的記憶中消失。

下面是課堂實(shí)踐中一些有益的教學(xué)建議。

第一，在引入無窮級數(shù)和的概念之前，可以多做一些有關(guān)部分和數(shù)列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，例如：對幾何級數(shù)及其他形式的級數(shù)求前n項(xiàng)和的公式；用圖形表達(dá)前n項(xiàng)和。

本文只是從個(gè)體的認(rèn)知建構(gòu)方面考查了學(xué)生對級數(shù)概念的建構(gòu)情況，它沒有考察教師的對話(discourse)與學(xué)生的對話(discourse)對學(xué)生的影響。未來，關(guān)于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)建構(gòu)的情況，可以利用近幾年比較流行的對話(discourse)理論[8]分別從教師對話交流角度和學(xué)生對話交流角度進(jìn)一步探索研究[9]。

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(責(zé)任編輯李世萍)

收稿日期2015-08-16資助項(xiàng)目山東省2012教學(xué)研究項(xiàng)目“‘再創(chuàng)造’的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理論探索與應(yīng)用研究”(項(xiàng)目編號：2012172 ).

作者簡介王彩芬(1976-)女，山東高密人，講師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)與研究.

中圖分類號G642.421

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

A Cognitive Analysis of the Conception of Infinite Series Based on the APOS Theory

WANGCai-fen，CAORong-rong，TIANLei，SONGLi-na，JIChun-jing

(School of Math Science，Qingdao University，Qingdao，266071，China)

Abstract：This paper mainly studies the students' cognitive and constructed degree of the notion that "the infinite series can be regarded as a part and sequence" based on the APOS theory.It is demonstrated that the cognition of the most students on the infinite series is in a middle and low level，which can't meet the teachers' expectation.At last，we analyze the difficulties that prevent the students building correct construction of the infinite series and give some suggests on the teaching strategies.

Keywords：infinite series；APOS theory；operation；process；object；schema