彭勇波， 李　杰

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上?！?00092)

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非線性時(shí)變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)最優(yōu)多項(xiàng)式控制

彭勇波， 李杰

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200092)

摘要：以隨機(jī)地震動(dòng)作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為受控對(duì)象，開展了最優(yōu)多項(xiàng)式控制算法研究：包括系統(tǒng)矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡?，和系統(tǒng)矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡伞Ｑ芯勘砻?，受控結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)的變異性明顯降低，結(jié)構(gòu)的安全性顯著提高。同時(shí)，基于時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡傻目刂菩Ч谝欢ǔ潭壬鲜苤朴诳刂屏κ┘拥拇笮∨c系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的平衡關(guān)系，而考慮了每一個(gè)時(shí)間步位移和速度對(duì)增益矩陣影響、基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡蓜t能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式控制；增益矩陣；超越概率；非線性結(jié)構(gòu)；時(shí)變

由于地震發(fā)生的時(shí)間、空間和強(qiáng)度具有明顯的隨機(jī)性，工程結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)在地震作用下的動(dòng)力學(xué)行為將呈現(xiàn)顯著的非線性特征，因此合理量化結(jié)構(gòu)地震性態(tài)的隨機(jī)性，在此基礎(chǔ)上開展非線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)最優(yōu)控制研究具有重要的工程實(shí)踐意義。Yang等[1]采用隨機(jī)振動(dòng)的等價(jià)線性化方法，研究了地震作用下隔震建筑的混合隨機(jī)最優(yōu)控制，其中地震動(dòng)模型為過濾短時(shí)白噪聲；Zhu等[2]基于隨機(jī)平均方法和隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，提出了基于一維可控散射過程的隨機(jī)激勵(lì)滯回系統(tǒng)非線性隨機(jī)最優(yōu)控制策略。

基于物理隨機(jī)系統(tǒng)理論框架的結(jié)構(gòu)隨機(jī)最優(yōu)控制方法為結(jié)構(gòu)性態(tài)的精細(xì)化控制提供了明確的思路，即結(jié)構(gòu)隨機(jī)最優(yōu)控制策略的關(guān)鍵是控制律及控制器參數(shù)的確定，而相關(guān)概率準(zhǔn)則恰恰依賴于結(jié)構(gòu)反應(yīng)性態(tài)[4]。在此基礎(chǔ)上，本文以隨機(jī)地震動(dòng)作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為受控對(duì)象，開展了最優(yōu)多項(xiàng)式控制算法研究：包括系統(tǒng)矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡?，和系統(tǒng)矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡?。研究表明，基于時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡傻目刂菩Ч谝欢ǔ潭壬鲜苤朴诳刂屏κ┘拥拇笮∨c系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的平衡關(guān)系，而考慮了每一個(gè)時(shí)間步位移和速度對(duì)增益矩陣影響、基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡蓜t能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。

1非線性系統(tǒng)隨機(jī)最優(yōu)多項(xiàng)式控制

對(duì)于均方有界隨機(jī)激勵(lì)下的多自由度非線性系統(tǒng)，其向量運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

為將式(1)寫為系統(tǒng)矩陣與狀態(tài)向量分離的狀態(tài)方程形式，需對(duì)非線性內(nèi)力向量f[·]進(jìn)行展開。通常展開為如下Maclaurin級(jí)數(shù)

(2)

對(duì)于一般非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，位移狀態(tài)量與速度狀態(tài)量交叉乘積項(xiàng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)小于其他項(xiàng)，可以忽略；此外，當(dāng)狀態(tài)量為零時(shí)，非線性內(nèi)力項(xiàng)一般為零。因此有

(3)

在狀態(tài)空間，式(1)可寫為

(4)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的初始條件為Z(t0)=z0，其中Z(t)為2n維狀態(tài)向量；Λ(Z)為2n×2n維系統(tǒng)矩陣；B為2n×r維控制裝置位置矩陣；D為2n×p維激勵(lì)位置矩陣。

Λ(Z)=

(5)

式中:m表示Maclaurin級(jí)數(shù)的最高階數(shù)(與非線性內(nèi)力的最高階數(shù)相同)，不難看出狀態(tài)矩陣元素的展開項(xiàng)中(m+1)階及更高階均為零。

考慮激勵(lì)隨機(jī)性的影響，多項(xiàng)式性能泛函是一個(gè)關(guān)于初始和終端條件的隨機(jī)變量[5]：

UT(t)RUU(t)+h(Z,t)]dt

(6)

式中:S(Z(tf),tf)表示終端性能；t0,tf為初始和終端時(shí)間；QZ為2n×2n維半正定狀態(tài)權(quán)矩陣；RU為r×r維正定控制力權(quán)矩陣；h(Z,t)為性能函數(shù)的高階項(xiàng)(三階及以上)。

從式(6)可見，性能泛函的前兩階項(xiàng)即為經(jīng)典的LQR控制。根據(jù)最優(yōu)性原理推導(dǎo)Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程[6]，最優(yōu)多項(xiàng)式控制力導(dǎo)出為方程

(7)

式中:P(t),Mi(t)分別為Riccati矩陣和Lyapunov矩陣方程，分別滿足如下Riccati矩陣方程和Lyapunov矩陣

(8)

i=2,3,…,k

(9)

對(duì)于無限時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣不依賴于時(shí)間時(shí)，Riccati矩陣和Lyapunov矩陣分別為方程(8)、(9)的穩(wěn)態(tài)形式的解。而對(duì)于本文研究的問題：有限時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)、系統(tǒng)矩陣依賴于時(shí)間，可以將數(shù)值積分步長(zhǎng)小尺度時(shí)間上的系統(tǒng)矩陣視為不依賴于時(shí)間，因此，Riccati矩陣和Lyapunov矩陣近似為以下方程的解：

P(t)Λ(Z)+ΛT(Z)P(t)-

(10)

(11)

研究表明，采用一類基于超越概率的性態(tài)泛函準(zhǔn)則，最優(yōu)多項(xiàng)式控制器具有與LQR控制器相同的控制效果[5]。因此，本文采用如下LQR控制器形式

(12)

式中:G(t)為增益矩陣。

可以看到，Riccati矩陣與系統(tǒng)矩陣Λ(Z)相關(guān)、為時(shí)變矩陣。這表明，在給定優(yōu)化設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)(狀態(tài)權(quán)矩陣QZ與控制力權(quán)矩陣RU)條件下，控制力U(t)的增益矩陣G(t)本質(zhì)上是時(shí)變的。

為使增益矩陣可以離線計(jì)算，可以通過系統(tǒng)矩陣Λ(Z)取初始狀態(tài)值z(mì)0得到[5]，即替換式(5)中Λ(Z)為Λ0：

Λ0=

(13)

此時(shí)，系統(tǒng)矩陣不依賴于時(shí)間，Riccati矩陣也與時(shí)間無關(guān)，式(12)中的增益矩陣G(t)為時(shí)不變矩陣。

本文旨在考察具有時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡?，因此需考慮系統(tǒng)矩陣與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)。為降低計(jì)算工作量，系統(tǒng)矩陣展開為Maclaurin級(jí)數(shù)的零階和一階項(xiàng)(二階及以上截?cái)?，即

Λt=

(14)

因此，采用系統(tǒng)矩陣式(14)，能夠獲得具有時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡伞?/p>

2參數(shù)優(yōu)化的性態(tài)泛函準(zhǔn)則

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)最優(yōu)控制的關(guān)鍵是控制器參數(shù)的確定。采用基于超越概率的性態(tài)泛函準(zhǔn)則[7]，進(jìn)行控制器參數(shù)的優(yōu)化與設(shè)計(jì)：

(15)

這里，狀態(tài)向量(或其集合量)及控制力向量均受控于廣義密度演化方程[4]

(16)

(17)

其中:Z(·)和U(·)分別為Z(·)和U(·)的分量形式。

給定初始條件

pZΘ(z,θ,t)|t=0=δ(z-z0)pΘ(θ)

(18)

pUΘ(u,θ,t)|t=0=δ(u-u0)pΘ(θ)

(19)

(式中:z0,u0分別為Z(t),U(t)的確定性初始值)，通過數(shù)值方法求解可得控制系統(tǒng)在任一時(shí)刻Z(·)和U(·)的概率密度函數(shù)

pZ(z,t)=∫ΩΘpZΘ(z,θ,t)dθ

(20)

pU(u,t)=∫ΩΘpUΘ(u,θ,t)dθ

(21)

式中:ΩΘ是Θ的分布域，θ是Θ的樣本實(shí)現(xiàn)值，聯(lián)合概率密度函數(shù)pZΘ(z,θ,t)、pUΘ(u,θ,t)分別為方程(16)、方程(17)的解。

一般情況下，概率密度函數(shù) 的分析解很難得到，因此通過數(shù)值方法求解是現(xiàn)實(shí)的選擇。具體數(shù)值求解步驟可參見文獻(xiàn)[8]。

3數(shù)值算例分析

考察具有構(gòu)件滯回特性的八層剪切型框架結(jié)構(gòu)，其受控系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(22)

初始位移和初始速度設(shè)為0。式中:C為阻尼矩陣；Rt(X,z)為n維恢復(fù)力向量，包括彈性力和由滯變位移z=z(X)引起的滯回力，模型為雙線型恢復(fù)力

Rt(X,z)=αK0X+(1-α)K0z

(23)

式中:α為構(gòu)件屈服后K1剛度與屈服前剛度K0之比。

滯變位移z的函數(shù)表達(dá)決定了不同形式的滯回力模型，本文采用Bouc-Wen模型，滯變位移z分量為[9]

(24)

式中:h(z),v,η分別表示描述捏攏效應(yīng)、強(qiáng)度退化和剛度退化的指標(biāo)，均依賴于構(gòu)件的非線性發(fā)展過程,一般與構(gòu)件的能量耗散相關(guān)。能量耗散指標(biāo)定義為

(25)

定義

η=1+δηε

(26)

v=1+δvε

(27)

(28)

式中:δv,δη分別為強(qiáng)度退化和剛度退化參數(shù)；zu為滯變位移分量極值

(29)

ζ1,ζ2均為捏攏效應(yīng)參數(shù)

ζ1=ζs(1-e-pε)

(30)

ζ2=(ψ+δψε)(λ+ζ1)

(31)

根據(jù)式(13)，在狀態(tài)空間導(dǎo)出時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨南到y(tǒng)矩陣為如下展開形式：

(32)

而根據(jù)式(14)，導(dǎo)出時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨南到y(tǒng)矩陣為如下一階展開形式

Λt=

(33)

采用主動(dòng)錨索控制，控制裝置沿層間滿布。無控結(jié)構(gòu)層質(zhì)量和層間剛度分別為m1=m2= 1.0×105kg，m3=m4= 0.9×105kg，m5=m6= 0.9×105kg，m7=m8= 0.8×105kg；k1=k2= 3.6×101kN/mm，k3=k4= 3.2×101kN/mm,k5=k6= 3.2×101kN/mm，k7=k8= 2.8×101kN/mm。采用Rayleigh阻尼Ct=aM+bKt，a=0.01,b=0.005；由此，結(jié)構(gòu)第一階振動(dòng)模態(tài)的阻尼比為1.05%；屈服前結(jié)構(gòu)自振頻率分別為3.64、10.40、16.46、22.45、27.91、31.89、34.68、36.81 rad/s。Bouc-Wen模型的參數(shù)為：α=0.01,A=1.0,β=140.0,γ=20.0,n=1.0,δv=0.002,δη=0.001,ψ=0.2,δψ=0.005,λ=0.1,ζs=0.95,q=0.25。層間位移、層間速度、層加速度和控制力的閾值分別假定為50 mm、500 mm/s、5 000 mm/s2和 200 kN。如前所述，控制器參數(shù)的確定即為權(quán)矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)，假定如下形式[10]

(34)

采用基于物理的隨機(jī)地震動(dòng)模型[11]，隨機(jī)地震動(dòng)輸入峰值加速度0.3 g，代表性地震波如圖1所示。

首先采用系統(tǒng)矩陣式(32)進(jìn)行時(shí)不變?cè)鲆婢仃囋O(shè)計(jì)，基于超越概率的性態(tài)泛函準(zhǔn)則優(yōu)化獲得控制器參數(shù)為：Qd=225.5，Qv=193.1，Ru=10-9。然后采用相同的控制器參數(shù)，由系統(tǒng)矩陣式(33)導(dǎo)出時(shí)變?cè)鲆婢仃嚒?/p>

圖1　0.3 g代表性地震波Fig.1 Typical seismic wave with PGA 0.3 g

圖2　時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃囍蠷iccati矩陣的元素值Fig.2 Riccati element of time variant and time-invariant gain matrices

圖2所示為時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃囍蠷iccati矩陣P(t)的第一個(gè)元素的值?？梢钥吹?，時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨腞iccati矩陣元素(Time-Invariant)不隨時(shí)間變化，且相對(duì)于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨腞iccati矩陣元素(Time-Variant)總處于較高的值水平，這意味著前者可能實(shí)施更大的控制力。如圖3所示，時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃噷?shí)施的層間控制力的極值均值沿層高的變化?？梢姡瑫r(shí)變?cè)鲆婢仃噷?shí)施的控制力較小、且沿層高分布更均勻。

圖3　時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃噷?shí)施的層間控制力的極值均值沿層高變化Fig.3 Mean of extreme inter-storey control force along height of structure with time-variant and time-invariant gain matrices

圖4　最優(yōu)控制前后時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃噷?duì)應(yīng)的層間位移的失效概率沿層高變化Fig.4 Exceedance probability of extreme inter-storeydrift along height of structure with time-variant and Time-Invariant gain matrices

圖4所示為最優(yōu)控制前后時(shí)變與時(shí)不變?cè)鲆婢仃噷?duì)應(yīng)的層間位移的失效概率(基于極值分布理論和廣義密度演化方程求解[12])沿層高變化，可以看到，實(shí)施最優(yōu)控制后結(jié)構(gòu)的可靠度顯著增大；與控制前相比，采用時(shí)不變?cè)鲆婢仃?Time-Invariant)，除頂層外其余層間位移的失效概率得到了明顯降低；而采用時(shí)變?cè)鲆婢仃?Time-Variant)，較控制前各層層間位移的失效概率均得到了降低，且與時(shí)不變?cè)鲆婢仃?Time-Invariant)比較，盡管各層的失效概率略大(頂層除外)，但失效概率沿層高分布更均勻。這表明，基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡色@得了更好的結(jié)構(gòu)性態(tài)。

這是因?yàn)?，基于時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡尚杵胶饪刂屏κ┘拥拇笮∨c系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡煽紤]了每一個(gè)時(shí)間步位移和速度對(duì)增益矩陣影響。因此，盡管后者在每一個(gè)時(shí)間步需耗時(shí)計(jì)算增益矩陣，但能獲得更好的控制效果。(在當(dāng)前的一般計(jì)算條件下，從傳感器采集數(shù)據(jù)到增益矩陣計(jì)算、控制力信號(hào)輸出僅需幾十ms。)

圖5所示為基于時(shí)變?cè)鲆婢仃囎顑?yōu)控制前后，結(jié)構(gòu)底層層間位移在典型時(shí)刻的概率密度。從圖中可以看到，實(shí)施控制后，結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)的變異性明顯降低，這表明結(jié)構(gòu)的安全性顯著提高，與最優(yōu)控制前后底層層間位移失效概率的減小一致(如圖4所示)。同時(shí)，響應(yīng)概率密度的偏態(tài)和峰態(tài)較最優(yōu)控制前也具有顯著改善。

圖5　最優(yōu)控制前后結(jié)構(gòu)底層層間位移在典型時(shí)刻的概率密度Fig.5 PDFs of inter-0-1-storey drift at typical instants of time with and without optimal control

圖6　最優(yōu)控制前后代表性地震波作用下結(jié)構(gòu)底層層間滯回曲線Fig.6 Hysteretic curves of inter-storey 0-1 subjected to typical seismic wave with and without optimal control

圖6所示為基于時(shí)變?cè)鲆婢仃囎顑?yōu)控制前后，某一代表性地震波作用下結(jié)構(gòu)底層層間滯回曲線。可以看到，實(shí)施控制后，結(jié)構(gòu)層間的耗能得到明顯改善：構(gòu)件運(yùn)動(dòng)往復(fù)區(qū)間范圍變小、趨于平衡點(diǎn)附近，構(gòu)件剛度退化不明顯。

4結(jié)論

本文探討了基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨姆蔷€性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)最優(yōu)控制，開展了最優(yōu)多項(xiàng)式控制算法研究：包括系統(tǒng)矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡桑拖到y(tǒng)矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡?。以隨機(jī)地震動(dòng)作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為受控對(duì)象，進(jìn)行了錨索沿層高滿布工況下的控制器增益設(shè)計(jì)與控制器參數(shù)優(yōu)化。研究表明：基于時(shí)不變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡傻目刂菩Ч谝欢ǔ潭壬鲜苤朴诳刂屏κ┘拥拇笮∨c系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的平衡關(guān)系，考慮了每一個(gè)時(shí)間步位移和速度對(duì)增益矩陣影響、基于時(shí)變?cè)鲆婢仃嚨目刂坡蓜t能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。實(shí)施控制后，結(jié)構(gòu)層間的耗能得到明顯改善，構(gòu)件運(yùn)動(dòng)往復(fù)區(qū)間范圍變小、趨于平衡點(diǎn)附近，構(gòu)件剛度退化不明顯。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51108344)；土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室探索性研究課題資助項(xiàng)目(SLDRCE14-B-20)

收稿日期：2014-12-01修改稿收到日期：2015-04-17

中圖分類號(hào):O232；TB114.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.033

Optimal polynomial control for random seismic response of non-linear time-varying structures

PENG Yong-bo, LI Jie

(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:The physically-motivated stochastic optimal control is proved to be efficient in performance improvement and risk mitigation of engineering structures. Here, the polynomial control method considering time-variant gain parameters for physical scheme ruling nonlinear stochastic systems was presented. The exceedance probability of structural states and control force served as the critical argument of probabilistic criterion, whereby the parameter optimization of control policy could be readily achieved. A randomly base-excited shear frame structure with Bouc-Wen behaviors was used as the object for control test. Numerical results indicated that using the proposed stochastic optimal control schemes, the variation of inter-storey drift of the structure decreases significantly, and the structural safety is enhanced obviously; the benefit of optimal polynomial control with time-invariant gain parameters is enslaved to the balance relation between system stability and control force, while the optimal polynomial control with time-variant gain parameters involves the contributions of structural velocity and displacement to the gain matrix at each time step, it results in a better structural performance with a smaller control force.

Key words:polynomial control; gain matrix; exceedance probability; nonlinear structures; time-variant

第一作者 彭勇波 男，博士，副研究員，1978年生