楊宏康， 高博青

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州　310058)

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基于Lyapunov特征指數(shù)的鋼制儲(chǔ)液罐動(dòng)力失穩(wěn)概率分析

楊宏康， 高博青

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州310058)

摘要：為有效量化儲(chǔ)液罐在地震激勵(lì)下的失穩(wěn)概率，參考震害報(bào)告選取536組三維地震波記錄，由壓力-位移格式的流固耦合模型建立等效動(dòng)力擾動(dòng)方程，然后通過(guò)計(jì)算動(dòng)態(tài)Lyapunov特征指數(shù)確定儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率。選取某10×104m3鋼制儲(chǔ)油罐作為分析對(duì)象，結(jié)果表明：水平向地震比豎向地震更易引起動(dòng)力失穩(wěn)，多維地震比單維地震更加危險(xiǎn)；動(dòng)力失穩(wěn)概率隨抗風(fēng)圈的增加而減??；地震動(dòng)方位、維數(shù)及抗風(fēng)圈設(shè)置對(duì)“失穩(wěn)概率-持時(shí)”曲線(xiàn)的影響較小。上述方法大幅降低了直接基于流固耦合模型確定儲(chǔ)液罐動(dòng)力失穩(wěn)概率的計(jì)算成本，并能同時(shí)考慮地震動(dòng)峰值與持時(shí)變化，從而全面直觀反映地震動(dòng)三要素的影響。

關(guān)鍵詞：儲(chǔ)液罐; Lyapunov特征指數(shù); 動(dòng)力失穩(wěn)概率; 多維地震; 持時(shí)

地震易損性表征結(jié)構(gòu)在特定強(qiáng)度地震作用下達(dá)到某一破壞狀態(tài)的條件失效概率，它是重要工程結(jié)構(gòu)地震概率安全評(píng)價(jià)的核心內(nèi)容[1]?；诿绹?guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)的儲(chǔ)液罐震害報(bào)告[2]，O’Rourke[3]以及美國(guó)生命線(xiàn)聯(lián)盟(ALA)[4]對(duì)儲(chǔ)液罐的破壞現(xiàn)象進(jìn)行了定量描述并劃分了儲(chǔ)罐損毀等級(jí)，通過(guò)完損信息的二次統(tǒng)計(jì)給出了儲(chǔ)液罐的地震易損性曲線(xiàn)及經(jīng)驗(yàn)公式，但二次統(tǒng)計(jì)存在信息缺失、計(jì)量誤差等不確定性，儲(chǔ)罐損毀等級(jí)的確定也過(guò)于依賴(lài)主觀經(jīng)驗(yàn)[5]。

儲(chǔ)液罐的震害事故有很大比例屬于屈曲破壞[2,4]。Iervolino等[6]采用響應(yīng)面法考慮設(shè)計(jì)參數(shù)變異性，通過(guò)質(zhì)量彈簧模型對(duì)儲(chǔ)液罐進(jìn)行增量動(dòng)力分析(簡(jiǎn)稱(chēng)IDA)，針對(duì)象足屈曲問(wèn)題建立了易損性曲線(xiàn)。孫建剛等[7采用隨機(jī)變量概率模型，基于質(zhì)量彈簧模型就儲(chǔ)液罐的失穩(wěn)和提離等失效模式進(jìn)行了易損性分析。文獻(xiàn)[6-7]采用的質(zhì)量彈簧模型需結(jié)合許用臨界壓應(yīng)力[σcr] =CEt/D進(jìn)行罐殼穩(wěn)定核算，[σcr]主要由均布軸壓下的理想柱殼彈性穩(wěn)定理論確定[8]。大型鋼制儲(chǔ)罐常需設(shè)置環(huán)向抗風(fēng)圈來(lái)提高穩(wěn)定性能，該重要特征無(wú)法利用質(zhì)量彈簧模型來(lái)反映。儲(chǔ)液罐在地震下受到靜動(dòng)液壓的復(fù)合作用，受力狀態(tài)與均布軸壓區(qū)別較大，GB50341、API 650、JIS B8501各取C= 0.15、0.413、0.33[8]，GB50341的新版征求意見(jiàn)稿已將C值調(diào)整為0.22。Berahman等[9]基于動(dòng)力有限元分析確定儲(chǔ)罐傾覆彎矩與環(huán)向膜力，采用Bayesian方法針對(duì)象足屈曲破壞建立了易損性曲線(xiàn)。Buratti等[10通過(guò)附加質(zhì)量模型的IDA分析確定儲(chǔ)罐的臨界地震動(dòng)峰值，據(jù)此定義破壞狀態(tài)并求解易損性曲線(xiàn)。IDA分析通過(guò)多次全過(guò)程時(shí)程分析來(lái)構(gòu)造偽平衡路徑，直接應(yīng)用至流固耦合模型的計(jì)算成本過(guò)高。受計(jì)算成本影響，文獻(xiàn)[9-10分別選用了12、14條地震波，地震動(dòng)的復(fù)雜頻譜特性沒(méi)有得到全面反映。文獻(xiàn)[6-10]給出了儲(chǔ)罐易損性與水平地震動(dòng)強(qiáng)度的關(guān)系，沒(méi)有考慮地震動(dòng)多維特性和持時(shí)的影響。

本文參考ALA報(bào)告建立實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，基于壓力-位移格式的流固耦合模型建立等效動(dòng)力擾動(dòng)方程并引入地震動(dòng)多維特性，通過(guò)求解動(dòng)態(tài)Lyapunov特征指數(shù)確定儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率。本文同時(shí)考慮地震動(dòng)峰值與持時(shí)變化，研究地震動(dòng)多維特性與環(huán)向抗風(fēng)圈對(duì)大型鋼制儲(chǔ)液罐動(dòng)力失穩(wěn)概率的影響。

1動(dòng)力失穩(wěn)概率的求解方法

1.1動(dòng)態(tài)Lyapunov特征指數(shù)

儲(chǔ)液罐為非線(xiàn)性定常流固耦合系統(tǒng)，基于勢(shì)流理論與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程[11，其動(dòng)力擾動(dòng)方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Ma=Ms+Mu，Mu=ρfQKf-1QT；ügi(t)為地面加速度，i=1,2,3分別表示x,y,z方向；G為靜力作用的結(jié)構(gòu)域節(jié)點(diǎn)力列陣；當(dāng)i= 1、2時(shí)，si=Maιsi，ιsi為地震影響向量；耦合作用沿兩域接觸面法向傳遞，當(dāng)i= 3時(shí)，僅以-Maιs3üg3(t)引入豎向地震作用并不完整，取si=Maιsi-G/g，本文統(tǒng)一取g= 10 m/s2。

當(dāng)大位移效應(yīng)不顯著且材料保持彈性時(shí)，采用線(xiàn)彈性剛度矩陣Ke替代Ks，并以幾何剛度矩陣K0、Kg(t)分別考慮G的預(yù)應(yīng)力效應(yīng)與時(shí)變應(yīng)力軟(剛)化效應(yīng)：

(5)

(6)

基于Newmark法離散化式(6)，記yk=y(tk)，tk=t0+kτ，t0為初始擾動(dòng)時(shí)刻，τ為時(shí)間步長(zhǎng)，則有：

(7)

(8)

Le表示微小擾動(dòng)的平均指數(shù)變化率：當(dāng)Le>0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)；當(dāng)Le=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；當(dāng)Le<0時(shí)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)動(dòng)力失穩(wěn)的地震動(dòng)臨界峰值加速度acr及初始動(dòng)力失穩(wěn)時(shí)刻tins可定義為[13]：

acr=a(Lm=0),tins=t(Le=Lm=0)

(9)

式中：a表示地震動(dòng)峰值加速度變量，Lm= max(Le)。

1.2動(dòng)力失穩(wěn)概率

借鑒地震易損性概念，動(dòng)力失穩(wěn)概率可定義為[1]：

Pins=P[ INS | EQ(td,a)]

(10)

式中:“INS”表示動(dòng)力失穩(wěn)的定量標(biāo)準(zhǔn)；EQ(td,a)表示地震動(dòng)記錄樣本，td為持時(shí)變量。選取足量地震動(dòng)記錄樣本進(jìn)行多次動(dòng)力穩(wěn)定性分析，Pins可表達(dá)為[14]：

Pins= num[EQ(td≥tins,a≥acr)] / num(EQ) (11)

式中：EQ(·)表示滿(mǎn)足特定條件的地震動(dòng)記錄樣本，num(·)表示樣本數(shù)量。地震動(dòng)記錄的實(shí)際持時(shí)長(zhǎng)短不一，離散性較大，式(11)是按儲(chǔ)液罐動(dòng)力失穩(wěn)的充分條件來(lái)確定的，即同時(shí)滿(mǎn)足td≥tins，a≥acr。

地震動(dòng)的頻譜特性無(wú)法作為控制變量，Pins可理解為以地震動(dòng)參數(shù)td、a作為變量的二元函數(shù)，Pins-td-a曲面可稱(chēng)為動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面。當(dāng)td=tins(或a=acr)時(shí)，Pins-a(或Pins-td)曲線(xiàn)即為動(dòng)力失穩(wěn)概率曲線(xiàn)。

2儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率分析

2.1模型參數(shù)及模態(tài)分析

本文選用某10×104m3儲(chǔ)油罐(見(jiàn)圖1)作為分析對(duì)象[13]：罐壁共9層，t1～t9為壁厚，鋼材彈性模量為206 GPa；儲(chǔ)液密度為860 kg/m3，聲速取1 400 m/s，液面高度與第9層壁板中部平齊；包邊角鋼位于罐壁頂部，1 ～ 4號(hào)環(huán)形抗風(fēng)圈均由槽鋼與鋼板焊接而成，依次位于第9、8、7層壁板中部與第5層壁板頂部。

采用有限元軟件ANSYS建立壓力-位移格式的流固耦合模型，通過(guò)科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB完成壓力變量凝聚及模態(tài)分析，而后組集動(dòng)力擾動(dòng)方程并編制基于Lyapunov特征指數(shù)的動(dòng)力失穩(wěn)概率分析模塊。罐壁和儲(chǔ)液分別采用Shell 181和Fluid 30單元模擬，罐壁網(wǎng)格沿周向均分為120段，每層罐壁沿豎向均分為2段，流體網(wǎng)格與之協(xié)調(diào)；抗風(fēng)圈鋼板采用Shell 181單元模擬，槽鋼與角鋼以Beam 188單元模擬，網(wǎng)格與罐壁協(xié)調(diào)。圖2所示模型滿(mǎn)足自錨固約束[13]，本文通過(guò)約束底部罐壁的所有位移自由度來(lái)模擬邊界條件。

圖1　10×104m3儲(chǔ)油罐的幾何模型Fig.1 Geometric model of 10×104 m3 oil storage tank

圖2　10×104 m3儲(chǔ)油罐的有限元模型Fig.2 Finite element model of 10×104 m3 oil storage tank

mnfn/HzM*ni×106/kgi=1i=2i=3i=1i=2i=3i=1i=2i=3Ⅰ2019212.22.22.222.922.942.4Ⅱ1920602.22.23.92.52.56.0Ⅲ9798995.35.35.30.30.32.0

儲(chǔ)液罐的模態(tài)分析結(jié)果如表1所示，fn為模態(tài)頻率，m(=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)按Mni*升序排列。在相同i下，表1所列模態(tài)的Mni*所占比重均在95%以上，因此無(wú)需取全部模態(tài)來(lái)確定Kg(t)。由表1可知，在三維地震動(dòng)作用下，考慮階次n的重復(fù)情況，僅需取7階不同模態(tài)(n= 19, 20, 21, 60, 97, 98, 99)即可確定Kg(t)。

2.2 Lyapunov特征指數(shù)方法的驗(yàn)證

由下至上依次遞減儲(chǔ)罐的抗風(fēng)圈，考慮水平x向地震動(dòng)作用，基于Lyapunov特征指數(shù)方法(簡(jiǎn)稱(chēng)LCE方法)對(duì)圖1所示模型進(jìn)行動(dòng)力穩(wěn)定性分析，并采用基于B-R準(zhǔn)則的增量動(dòng)力分析方法(IDA)進(jìn)行驗(yàn)證。其中，模態(tài)阻尼比取0.02，模態(tài)截?cái)鄶?shù)r= 100。Cape Mendocino與Kobe地震波的詳細(xì)信息見(jiàn)文獻(xiàn)[13]，其卓越頻率均在2 Hz左右。由圖3可知，LCE方法與IDA方法確定的acr值基本一致，前者相對(duì)后者的最大誤差僅在10%左右，詳細(xì)數(shù)據(jù)和論述見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

圖3　臨界地震動(dòng)峰值加速度αcr的對(duì)比Fig.3 Comparison of critical peak ground acceleration αcr

2.3地震波特性分析

根據(jù)美國(guó)生命線(xiàn)聯(lián)盟(ALA)的儲(chǔ)液罐震害調(diào)查報(bào)告，結(jié)合地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)PEER、COSMOS的記錄情況，綜合確定表2所示的536組地震動(dòng)信息，并進(jìn)行傅里葉分析與反應(yīng)譜分析(阻尼比取0.02)，地震動(dòng)卓越頻率fp與標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力放大系數(shù)β譜如圖4所示，fp表示地震波最大幅值分量所對(duì)應(yīng)的頻率，β表示譜加速度與地震動(dòng)峰值加速度的比值。地震動(dòng)方位統(tǒng)一采用笛卡爾坐標(biāo)系標(biāo)記，x向與東西向(或較小記錄角)一致，y向與南北向(或較大記錄角)一致，z向?qū)?yīng)豎直分量。由圖4可知：表2的地震動(dòng)記錄頻譜覆蓋范圍廣，反應(yīng)譜特性豐富；x,y,z向地震動(dòng)的fp分別集中于1～6 Hz、1～6 Hz、1～10 Hz范圍內(nèi)，最大β值分別為3.20、3.18、3.26；x,y向地震動(dòng)的fp分布及β均值譜均十分相似。考慮到x,y向地震動(dòng)的fp相近，z向fp較高，后文以x向的fp值作為地震動(dòng)記錄的主頻代表值。

表2　儲(chǔ)液罐的地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)

圖4　地震動(dòng)記錄的頻譜特性Fig.4 Frequency spectrum characteristic of earthquake records

2.4地震動(dòng)維數(shù)及方位的影響

地震動(dòng)存在很大不確定性，具有多維、頻譜復(fù)雜等特點(diǎn)，本節(jié)按x,y,z,xy,xyz5類(lèi)方位組合處理表2地震波，然后基于動(dòng)態(tài)Lyapunov特征指數(shù)對(duì)儲(chǔ)液罐進(jìn)行動(dòng)力穩(wěn)定性分析，acr、tins以及動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面如圖5所示。當(dāng)采用多維地震動(dòng)時(shí)，acr對(duì)應(yīng)x向的地震動(dòng)峰值加速度，y,z向的a值按原比例調(diào)整。

圖5　儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面Fig.5 Dynamic instability probability surfaces of liquid storage tank

由圖5可知：

(1)x,y向地震動(dòng)下的acr值分布范圍較一致，多分布于30 m/s2以下，z向多分布于60 m/s2以下，xy,xyz向多分布于15 m/s2以下，xyz向的acr值更低一些。多維地震下的acr值比單維地震動(dòng)下降低約50%～75%，z向地震動(dòng)對(duì)x,y向地震動(dòng)的影響有限。

(2)x,y向地震動(dòng)下的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面非常相似，z向失穩(wěn)概率曲面最為平緩，xy,xyz向的失穩(wěn)概率曲面最為陡峭，5類(lèi)方位組合下的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面在原點(diǎn)位置均存在明顯底角。

如圖6所示，當(dāng)td=tins(或a=acr)時(shí)，圖5所示的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲面退化為曲線(xiàn)形式。由圖6(a)可知，當(dāng)?shù)卣鸱逯导铀俣萢相同時(shí)，Pins滿(mǎn)足xyz>xy>x=y>z的大小關(guān)系，且z向地震動(dòng)下的Pins-a曲線(xiàn)“坡度”較小，變化趨勢(shì)明顯有異于其余方位；從概率角度而言，5類(lèi)方位下的Pins-td曲線(xiàn)基本一致，地震動(dòng)方位及維數(shù)對(duì)Pins-td曲線(xiàn)的影響不大，相互差異不超過(guò)10%。

圖6　儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲線(xiàn)Fig.6 Dynamic instability probability curves of liquid storage tank

2.5環(huán)向抗風(fēng)圈的影響

環(huán)向抗風(fēng)圈主要用于加強(qiáng)儲(chǔ)液罐在風(fēng)荷載作用下的穩(wěn)定性，具體設(shè)置道數(shù)和位置會(huì)因周邊氣候環(huán)境而異[15]。由下至上遞減儲(chǔ)液罐的抗風(fēng)圈，依次編號(hào)為M4、M3、M2、M1、M0，數(shù)字代表抗風(fēng)圈數(shù)量。模型M0～M4的動(dòng)力失穩(wěn)概率曲線(xiàn)如圖7所示。我國(guó)戰(zhàn)略石油儲(chǔ)備基地的最大設(shè)防烈度為獨(dú)山子區(qū)的8度(0.20 g)，規(guī)范建議此時(shí)用于時(shí)程分析的罕遇地震加速度峰值為0.40 g，儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)概率P0.2g、P0.4g分別如表3、4所示，下標(biāo)表示相應(yīng)峰值水平。

表3　動(dòng)力失穩(wěn)概率P0.2g

表4　動(dòng)力失穩(wěn)概率P0.4g

圖7　抗風(fēng)圈對(duì)動(dòng)力失穩(wěn)概率曲線(xiàn)的影響Fig.7 Effect of wind girders on dynamic instability probability curves

由圖7可知：

(1) 從Pins-a曲線(xiàn)來(lái)看，Pins隨抗風(fēng)圈道數(shù)的增加而顯著降低，而且Pins-a曲線(xiàn)在不同地震動(dòng)方位組合下的收縮程度滿(mǎn)足z>x=y>xyz≈xy的遞進(jìn)關(guān)系。上述結(jié)果表明，從緩解儲(chǔ)液罐地震動(dòng)危險(xiǎn)性的相對(duì)效果來(lái)看，抗風(fēng)圈在z向地震動(dòng)下最為有效。

(2) 不同抗風(fēng)圈設(shè)置下的Pins-td曲線(xiàn)非常相近，最大差異不超過(guò)20%。按規(guī)范建議，時(shí)程分析的地震有效持時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足5～10倍的結(jié)構(gòu)基本周期(約2.5～5 s)，但td= 5 s時(shí)的Pins僅在8%左右，故為保證儲(chǔ)液罐的動(dòng)力穩(wěn)定性，建議持時(shí)td取10 s以上。

由表3、4可知：①Pins隨著抗風(fēng)圈的增加而減小，大體符合x(chóng)yz>xy>x=y>z的大小關(guān)系；② 當(dāng)a= 0.20 g時(shí)，儲(chǔ)罐M4在x,y向地震動(dòng)下甚至未發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，但其在z,xy,xyz向地震動(dòng)下仍有可能失穩(wěn)；③ 當(dāng)a= 0.40 g時(shí)，儲(chǔ)罐M4在5類(lèi)地震動(dòng)下均有可能發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，其在xy,xyz向地震動(dòng)下的失穩(wěn)概率可達(dá)10%。

本文采用4G內(nèi)存、2.33 GHz主頻的4核計(jì)算機(jī)，若直接基于壓力-位移格式的流固耦合模型進(jìn)行增量動(dòng)力分析，完成單次失穩(wěn)概率分析的時(shí)間將數(shù)以年計(jì)。本文經(jīng)凝聚壓力自由度并參數(shù)化結(jié)構(gòu)域抗力，藉由計(jì)算動(dòng)態(tài)Lyapunov特征指數(shù)極大提高了動(dòng)力失穩(wěn)概率的求解效率，完成單次失穩(wěn)概率分析在8小時(shí)左右。

3結(jié)論

(1) 本文建立的地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)包含536組3向地震波信息，數(shù)量充足，頻譜與反應(yīng)譜特性豐富，能合理反映地震動(dòng)的不確定性及多維特點(diǎn)。

(2) 經(jīng)凝聚壓力變量并采用時(shí)變幾何剛度矩陣參數(shù)化結(jié)構(gòu)域抗力，Lyapunov特征指數(shù)法大幅提升了儲(chǔ)液罐動(dòng)力失穩(wěn)概率分析的計(jì)算效率。相比直接基于流固耦合模型的增量動(dòng)力分析方法，Lyapunov特征指數(shù)法可節(jié)約時(shí)間成本2 000倍左右。

(3) 豎向地震相對(duì)不易引起動(dòng)力失穩(wěn)，多維地震下的失穩(wěn)概率比單維地震提高50%～75%，動(dòng)力失穩(wěn)概率與地震動(dòng)峰值與持時(shí)成正相關(guān)，地震動(dòng)方位及維數(shù)導(dǎo)致的Pins-td曲線(xiàn)的最大差異不超過(guò)10%。

(4) 動(dòng)力失穩(wěn)概率隨抗風(fēng)圈的增加而減小，抗風(fēng)圈對(duì)動(dòng)力失穩(wěn)的抑制作用在豎向地震下最為顯著，Pins-td曲線(xiàn)在不同抗風(fēng)圈下的最大差別不到20%。

針對(duì)儲(chǔ)液罐的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象，設(shè)計(jì)分析時(shí)應(yīng)結(jié)合規(guī)范量化不同抗震設(shè)防水準(zhǔn)下的動(dòng)力失穩(wěn)概率容許值，從而有效評(píng)價(jià)儲(chǔ)液罐選址和設(shè)計(jì)選型的合理性。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178414)

收稿日期：2014-04-18修改稿收到日期：2014-10-09

通信作者高博青 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

中圖分類(lèi)號(hào):TU 33; TE 972

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.019

Dynamic instability probability analysis for liquid storage steel tanks subjected to earthquake excitations

YANG Hong-kang, GAO Bo-qing

(College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

Abstract:To effectively quantify the instability probability of liquid storage steel tanks under earthquake excitations, 536 sets of three-dimensional seismic wave records were selected according to the earthquake damage reports, and the equivalent dynamic perturbation equations were then established based on a fluid-solid coupled model with pressure-displacement form, the dynamic instability probabilities of liquid storage tanks were determined by calculating Lyapunov characteristic exponents. A 10×104m3 oil storage steel tank was chosen as an analysis object, the results showed that horizontal earthquakes are more likely to cause dynamic instability than vertical ones be; multidimensional earthquakes are more dangerous than unidimensional ones be; the dynamic instability probability decreases with increase in wind girder; earthquake direction, dimension and wind girder have a slight influence on “instability probability - time duration” curves; the proposed method greatly reduces the computing cost of dynamic risk analysis of liquid storage tanks based on the fluid-solid coupled model, it can simultaneously consider changes of peak acceleration and time duration of ground motion, so it can comprehensively and intuitively reflect the effects of three essential factors of ground motions.

Key words:liquid storage tanks; Lyapunov characteristic exponents; dynamic instability probability; multidimensional earthquakes; time duration

第一作者 楊宏康 男，博士生，1986年生