張小青，司麗娜，劉玉德

(1.北京工商大學(xué) 材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048；2.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

1 概述

隨著微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)技術(shù)的快速發(fā)展以及微加工工藝的日趨成熟，微動(dòng)力機(jī)電系統(tǒng)(Power MEMS)應(yīng)運(yùn)而生并成為研究熱點(diǎn)[1]。典型Power MEMS器件如圖1所示，包括微渦輪發(fā)電機(jī)、微渦輪泵及微渦輪充電器[2]。這些器件通過微加工技術(shù)由硅片制作而成的，都具有微空氣軸承。為了達(dá)到高能量密度要求，旋轉(zhuǎn)部件的轉(zhuǎn)速非常高，其葉尖速度要達(dá)到300～600 m/s[3-4]?？諝鉂?rùn)滑軸承因具有摩擦因數(shù)小、幾乎無磨損、無污染、結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單以及與微加工技術(shù)兼容等優(yōu)點(diǎn)，成為支承Power MEMS微旋轉(zhuǎn)器件的最佳選擇[1]。

圖1 典型硅基Power MEMS器件[2]

將空氣潤(rùn)滑軸承應(yīng)用于Power MEMS面臨著許多亟待解決的問題。微空氣徑向軸承的氣膜厚度為幾微米到十幾微米，氣體稀薄效應(yīng)非常明顯[5-7]。微空氣軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速極高，氣體可壓縮性明顯[5]，其非線性動(dòng)態(tài)特性非常復(fù)雜[8- 9]。在常規(guī)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，與軸承氣膜承載力相比，黏性摩擦力非常小，可以忽略不計(jì)。微空氣軸承為超短軸承，軸承寬度與硅片厚度相等，一般為幾百微米[10-11]，其直徑等于轉(zhuǎn)子直徑 ，在毫米量級(jí)，故軸承的寬徑比(0.05～0.1)較常規(guī)軸承低一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，由于尺度效應(yīng)，作為表面力的黏性摩擦力和作為體積力的氣膜承載力在同一數(shù)量級(jí)，不可忽略。下文采用考慮稀薄效應(yīng)的超薄氣膜潤(rùn)滑(Molecular Gas-film Lubrication，MGL)模型[12-13]，與考慮黏性摩擦力的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程耦合求解，研究高效的數(shù)值模擬方法，探討超短微空氣徑向軸承的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

2 計(jì)算模型

超短微空氣徑向軸承的示意圖如圖2所示。建立Oxy坐標(biāo)系，O為軸承中心；Or為轉(zhuǎn)子中心；R為軸承半徑；c為半徑間隙；θ為展開角；φ為偏位角；e為偏心距；B為軸承寬度；ω為角速度。

圖2 微空氣徑向軸承示意圖

在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，氣膜厚度h通常為0.5～20 μm，此時(shí)，氣膜的克努森數(shù)Kn變化范圍是0.003 2～0.129 1，氣流機(jī)制主要為滑移流(0.001≤Kn<0.10)，因此氣體的稀薄效應(yīng)不可忽略。由于Kn的變化范圍較大，采用適用于任意克努森數(shù)的MGL模型，徑向軸承量綱一的潤(rùn)滑方程為

(1)

P=p/pa，H=h/c，Λ=6μωR2/pac2，τ=ωt，

式中：P為量綱一的壓強(qiáng)；p為軸承半徑間隙中氣體壓力；pa為大氣壓強(qiáng)；H為量綱一的氣膜厚度；θ，ξ分別為量綱一的周向和軸向坐標(biāo)；Λ為軸承數(shù)；μ為流體動(dòng)力黏度系數(shù)；Q為考慮氣體稀薄效應(yīng)的流量修正因子，其求解方程為

，(2)

式中：T(單位為K)為軸承工作溫度；Rd為氣體常數(shù)；DK為逆努森數(shù)；Qp，Qc分別為稀薄條件下及連續(xù)流條件下的流量系數(shù)。

令PH=S，則 (1) 式變?yōu)?/p>

。 (3)

根據(jù)牛頓第二定律，轉(zhuǎn)子量綱一的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

X=x/c，Y=y/c，

M=mcω2/(paR2) ，

ρ=d/c，

Fg=fg/paBD，

Ff=ff/paBD，

式中：Fe為量綱一的外載荷；Fg為量綱一的氣膜承載力；Ff為量綱一的摩擦力；X，Y為轉(zhuǎn)子量綱一的坐標(biāo)；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；M為轉(zhuǎn)子量綱一的質(zhì)量；ρ為量綱一的質(zhì)量偏心；d為轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心之間的距離；fg為氣膜承載力；ff為摩擦力；D為轉(zhuǎn)子直徑。

量綱一的氣膜承載力為

(5)

量綱一的摩擦力為

(6)

式中：τh為轉(zhuǎn)子表面的剪切應(yīng)力。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不僅與當(dāng)前時(shí)刻有關(guān)，還依賴于運(yùn)動(dòng)歷程[14]。為了保證數(shù)值模擬的可靠性，在計(jì)算過程中，將(3)式與(4)式聯(lián)立，采用ADAMS線性多步積分方法對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和潤(rùn)滑方程同時(shí)求解，即可求得每個(gè)時(shí)間步下的轉(zhuǎn)子中心位置、速度及氣膜壓力分布。改變計(jì)算參數(shù)，可獲得轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

3 數(shù)值分析結(jié)果

3.1 穩(wěn)態(tài)性能分析

為了研究黏性摩擦力對(duì)超短微空氣徑向軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，計(jì)算了偏心率ε=0.2以及ε=0.9時(shí)氣膜承載力與黏性摩擦力隨軸承寬徑比的變化，結(jié)果如圖3所示。由圖可以看出，寬徑比越小，量綱一的氣膜承載力Fg也越小，而量綱一的摩擦力Ff幾乎不變。在微空氣徑向軸承寬徑比所在區(qū)域，F(xiàn)g與Ff在同一個(gè)量級(jí)，因此，黏性摩擦力對(duì)微空氣徑向軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響不可忽略。

圖3 量綱一氣膜承載力與黏性摩擦力隨寬徑比的變化曲線(Λ=7.0)

3.2 非線性動(dòng)力學(xué)分析

為了驗(yàn)證文中模型及數(shù)值計(jì)算方法的正確性，采用與文獻(xiàn)[15]相同的計(jì)算參數(shù)，模擬了M=0.15時(shí)轉(zhuǎn)子受擾后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其軸心軌跡如圖4所示。由圖可以看出，轉(zhuǎn)子受到擾動(dòng)后，其運(yùn)動(dòng)軌跡是發(fā)散的，振幅逐漸增大，并最終穩(wěn)定于半徑略小于1的極限環(huán)。文中計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的非常接近，且其趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了文中計(jì)算方法的正確性。

圖4 M=0.15時(shí)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖

根據(jù)文獻(xiàn)[5, 7-8,10-11]，硅基超短微空氣軸承的尺寸參數(shù)取值范圍為：R=2.0～2.1 mm；B=300～350 μm；c=10～15 μm；m=8～11 mg。軸承工作時(shí)偏心率較大，通常為0.7～0.95；軸承數(shù)與轉(zhuǎn)速有關(guān)，通常為0～15。

寬徑比不同時(shí)2種情況下系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分岔圖如圖5所示。參數(shù)取值為：初始偏心率ε0=0.85；軸承半徑R=2 mm；半徑間隙c=10 μm；轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=10 mg；軸承數(shù)Λ=10。為了分析不同寬徑比下黏性摩擦力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，寬徑比取0.05～1。由圖可以看出，當(dāng)B/D<0.2時(shí)，二者的差異很大，隨著寬徑比的增大，二者之間的差異逐漸減??；當(dāng)B/D>0.5時(shí)，二者之間的差別很小。這說明，在寬徑比較大的常規(guī)軸承中，黏性摩擦力的影響非常小，而對(duì)于寬徑比在0.05～0.1之間的超短軸承，黏性摩擦力對(duì)軸承性能的影響非常明顯。對(duì)比圖5a與圖5b可知，考慮黏性摩擦力條件下轉(zhuǎn)子在x方向的振幅減小。

(a)不考慮黏性摩擦力

(b)考慮黏性摩擦力

軸承數(shù)不同時(shí)2種情況下系統(tǒng)非線性響應(yīng)分岔圖如圖6所示，系統(tǒng)響應(yīng)分別如圖7、圖8所示。計(jì)算參數(shù)為：ε0=0.9；R=2 mm；c=12 μm；m=8 mg；B/D=0.1。由圖6可知，在不考慮黏性摩擦力情況下，當(dāng)軸承數(shù)較小(Λ≤6.4)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為同步周期運(yùn)動(dòng)(圖7，Λ=6.0)，之后出現(xiàn)分岔，為概周期運(yùn)動(dòng)(圖7，Λ=7.0)或多倍周期運(yùn)動(dòng)(圖7，Λ=8.0)，當(dāng)軸承數(shù)增大到8.4時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)?？紤]黏性摩擦力時(shí)，Λ≤6.35系統(tǒng)響應(yīng)為同步周期運(yùn)動(dòng)(圖8，Λ=6.0)，之后進(jìn)入概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(圖8，Λ=7.0)，在Λ=7.5時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)?倍周期運(yùn)動(dòng)(圖8，Λ=8.0)，在Λ=8.9時(shí)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此外，對(duì)比2種情況下Λ>6.5時(shí)概周期的運(yùn)動(dòng)，考慮黏性摩擦力條件下，系統(tǒng)在x方向的振幅較小，y方向的振幅也是如此。

(a)不考慮黏性摩擦力

(b)考慮黏性摩擦力

2種情況下系統(tǒng)的頻率響應(yīng)瀑布圖如圖9所示。由圖可知，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率大時(shí)，二者差距較大，不考慮黏性摩擦力時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為低頻渦動(dòng)，渦動(dòng)幅度較大；考慮黏性摩擦力時(shí)除低頻渦動(dòng)外還有半頻渦動(dòng)，且低頻渦動(dòng)幅度較小。轉(zhuǎn)動(dòng)頻率較小時(shí)，二者均呈現(xiàn)同步周期運(yùn)動(dòng)，僅在1倍周期處有渦動(dòng)振幅，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的增加，二者均逐漸出現(xiàn)低頻渦動(dòng)，但轉(zhuǎn)折點(diǎn)不同，考慮黏性摩擦力情況下的分岔轉(zhuǎn)折頻率較高，且振動(dòng)幅度明顯低于不考慮黏性摩擦力的。隨著轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的進(jìn)一步提高，考慮黏性摩擦力情況時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)2倍周期運(yùn)動(dòng)；而不考慮黏性摩擦力情況時(shí)則為多倍周期運(yùn)動(dòng)。因此，潤(rùn)滑氣體的黏性摩擦力會(huì)給超短微空氣徑向軸承系統(tǒng)的非線性特性帶來顯著影響，考慮黏性摩擦力后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更為穩(wěn)定，振動(dòng)幅度較小。

圖7 不考慮黏性摩擦力時(shí)不同軸承數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)

圖8 考慮黏性摩擦力時(shí)不同軸承數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)

圖9 2種情況下系統(tǒng)的頻率響應(yīng)瀑布圖

4 結(jié)束語(yǔ)

建立了超短微空氣徑向軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析模型，在考慮氣體稀薄效應(yīng)的同時(shí)，探討了黏性摩擦力對(duì)硅基超短微空氣徑向軸承的非線性動(dòng)力學(xué)性能的影響。結(jié)果表明，寬徑比越小，黏性摩擦力對(duì)軸承的穩(wěn)態(tài)特性及非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響越大；當(dāng)軸承數(shù)較小時(shí)，考慮與不考慮黏性摩擦力2種情況下的系統(tǒng)響應(yīng)均為同步周期運(yùn)動(dòng)；隨著軸承數(shù)的增加，不考慮黏性摩擦力情況下系統(tǒng)經(jīng)過概周期運(yùn)動(dòng)、多倍周期運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；考慮黏性摩擦力情況下系統(tǒng)則經(jīng)過概周期運(yùn)動(dòng)、2倍周期運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；2種情況下轉(zhuǎn)子中心振動(dòng)幅度、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及轉(zhuǎn)折點(diǎn)上均有較大差別，軸承數(shù)較大時(shí)差別更為明顯?？紤]黏性摩擦力后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更為穩(wěn)定，振動(dòng)幅度較小。在對(duì)超短微空氣徑向軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行研究設(shè)計(jì)及控制時(shí)，必須考慮黏性摩擦力。