李英，李寶福，李如琰

（1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.上海市軸承技術(shù)研究所，上海 201800）

1 概述

自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承是一種無需補(bǔ)充潤(rùn)滑劑的特殊形式的關(guān)節(jié)軸承，結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，F(xiàn)r為徑向載荷；Fa為軸向載荷；α為結(jié)構(gòu)參數(shù)。軸承內(nèi)外圈之間含有由自潤(rùn)滑材料組成的襯墊，襯墊粘貼在軸承外圈內(nèi)球面，襯墊內(nèi)球面與軸承內(nèi)圈外球面形成配合面［1-2］。

圖1 自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承Fig.1 Self-lubricating spherical plain bearing

自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承在承受徑向載荷和軸向載荷時(shí)，接觸面產(chǎn)生接觸應(yīng)力。接觸應(yīng)力是軸承設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)重要依據(jù)，一般情況下，軸承設(shè)計(jì)時(shí)以投影面上的平均接觸應(yīng)力為依據(jù)［3］。而實(shí)際工況下，軸承接觸應(yīng)力分布并不均勻，直接影響軸承襯墊的磨損、發(fā)熱量及壽命。因此，接觸應(yīng)力分析對(duì)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)及了解軸承使用狀況至關(guān)重要。

下文主要研究自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承的接觸應(yīng)力分布，采用理論計(jì)算和有限元分析相結(jié)合的方法，推導(dǎo)并驗(yàn)證接觸應(yīng)力的計(jì)算公式，為自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)及力學(xué)分析提供依據(jù)。

2 自接觸應(yīng)力解析模型

自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承襯墊是一種各向異性非線性材料，力學(xué)性能復(fù)雜。為簡(jiǎn)化分析，將襯墊假設(shè)為線彈性體，又由于襯墊較薄，采用表面接觸力學(xué)里的Winkler模型［4］進(jìn)行接觸應(yīng)力分析。

在軸承模型上建立球坐標(biāo)系，如圖2所示。圖中z軸為軸承軸線，O點(diǎn)為軸承外圈內(nèi)球面中心、O1為內(nèi)圈外球面中心。無載荷時(shí)，O與O1重合。假設(shè) P（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，其球面坐標(biāo)為（r，θ，φ），其中 r為原點(diǎn) O與點(diǎn) P間的距離；θ為有向線段OP與z軸正向的夾角；φ為從z軸正向來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到OM所轉(zhuǎn)過的角，M點(diǎn)為P點(diǎn)在xy平面上的投影。

圖2 空間球坐標(biāo)系Fig.2 Space spherical coordinates

無載荷時(shí)，取襯墊內(nèi)球面（內(nèi)圈外球面）上任一點(diǎn)P（r，θ，φ）及其徑向上的襯墊外球面（外圈內(nèi)球面）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（R，θ，φ），其中R為原點(diǎn)O與點(diǎn)Q間的距離。經(jīng)過PQ點(diǎn)取如圖3所示的一個(gè)微元體 PP1P2P3（QQ1Q2Q3），其中面 PP1P2P3位于軸承內(nèi)圈外球面，面QQ1Q2Q3位于外圈內(nèi)球面，Δθ為在θ角上的微小增量，Δφ為在φ角上的微小增量。研究在載荷作用下襯墊上微元體PP1P2P3（QQ1Q2Q3）的變形及應(yīng)力。

圖3 微元體示意圖Fig.3 Diagram of micro unit

由于襯墊變形根據(jù)彈性理論進(jìn)行計(jì)算，而彈性理論具有疊加性，則軸承在同時(shí)承受徑向載荷和軸向載荷時(shí)，變形也可以疊加。復(fù)合工況下，只需分別對(duì)受純徑向載荷或純軸向載荷時(shí)的接觸應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，將結(jié)果疊加即可。

2.1 徑向載荷作用下的接觸應(yīng)力計(jì)算

軸承內(nèi)圈在徑向力Fr作用下，沿x軸移動(dòng)ΔX，襯墊受擠壓變形，襯墊上微元體面PP1P2P3以同樣的方式平移至P′P′1P′2P′3，外圈內(nèi)球面上微元體面QQ1Q2Q3位置不變。則可得微元體的徑向變形量Δlx為

正應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系，正應(yīng)力σ（與P′Q同向）為

式中：E為襯墊材料的彈性模量。

軸承僅受徑向載荷時(shí)，接觸面上的摩擦力與運(yùn)動(dòng)方向相反，接觸面上關(guān)于xz平面對(duì)稱的任意兩點(diǎn)的摩擦力在x軸方向的分力大小相等，方向相反，可以相互抵消，故在這種工況下分析襯墊變形時(shí)，不計(jì)摩擦力。徑向載荷Fr與接觸面上接觸應(yīng)力沿x方向的總和平衡，即

接觸面內(nèi)任意一點(diǎn)的接觸應(yīng)力為

2.2 軸向載荷作用下的接觸應(yīng)力計(jì)算

軸承僅受軸向載荷時(shí)，接觸面上摩擦力與運(yùn)動(dòng)方向相反，摩擦力在z軸方向的分力相互疊加，摩擦力對(duì)軸向載荷有貢獻(xiàn)，考慮摩擦力，設(shè)襯墊摩擦副的摩擦因數(shù)為f。軸承在軸向力Fa作用下，內(nèi)圈沿z軸移動(dòng)ΔZ，襯墊上微元體面PP1P2P3以同樣的方式移至 P′P′1P′2P′3，位于外圈內(nèi)球面上的面QQ1Q2Q3則位置不變。根據(jù)幾何關(guān)系，微元體的軸向變形量Δlz為

正應(yīng)變?chǔ)藕图羟薪铅梅謩e為

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，正應(yīng)力σ與切應(yīng)力τ分別為

式中：ν為襯墊材料泊松比。σ與P′Q同向，τ方向?yàn)椋?，-cosθ，sinθ）。

切應(yīng)力由摩擦力提供，則必須滿足τ≤fσ，即

軸承模型θ角一般為60°～120°，只有當(dāng)摩擦因數(shù)f大于2時(shí)，才有可能滿足τ≤fσ，而實(shí)際自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承摩擦因數(shù)一般小于0.1，則大多數(shù)自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承的切應(yīng)力按胡克定律計(jì)算，即τ＝fσ。

軸向載荷Fa與接觸面上接觸應(yīng)力沿z方向的總和平衡，即

接觸面內(nèi)任意一點(diǎn)的接觸應(yīng)力為

3 接觸應(yīng)力有限元仿真

理論公式推導(dǎo)過程中做了很多簡(jiǎn)化，與實(shí)際工況有較大出入，有限元計(jì)算可以把實(shí)際工況考慮進(jìn)去，更接近真實(shí)值，因此利用有限元分析來驗(yàn)證理論公式的合理性。以GE40自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承為例，在ANSYS軟件中建立模型，進(jìn)行接觸應(yīng)力分析。GE40軸承材料參數(shù)見表1，幾何結(jié)構(gòu)如圖4所示。

表1 自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of self-lubricating spherical plain bearing

圖4 自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承幾何結(jié)構(gòu)Fig.4 Geometric structure of self-lubricating spherical plain bearing

3.1 徑向載荷作用下接觸應(yīng)力的有限元分析

軸承僅受徑向載荷時(shí)，在ANSYS中建立三維模型，采用Solid45單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在軸承內(nèi)圈內(nèi)表面施加沿x軸正方向的徑向載荷Fr，固定軸承外圈，在軸承外圈的內(nèi)球面上粘接襯墊，在軸承內(nèi)圈與襯墊的接觸面處建立接觸對(duì)，由于內(nèi)圈剛度遠(yuǎn)大于襯墊剛度，接觸對(duì)采用面-面剛?cè)峤佑|的形式，接觸面摩擦因數(shù)設(shè)置為0，與理論分析一樣，進(jìn)行無摩擦?xí)r的接觸分析［5-8］。

通過ANSYS分析，得到接觸面的接觸應(yīng)力分布如圖5所示。提取受載接觸面上節(jié)點(diǎn)的接觸應(yīng)力值，繪制θ＝0°且φ在-90°～90°上的接觸應(yīng)力曲線如圖6所示；φ＝0°，θ在（90°-α）～（90°+α）上的接觸應(yīng)力曲線如圖7所示；有限元結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差分布如圖8所示。

圖5 接觸應(yīng)力云圖（徑向）Fig.5 Nephogram of contact stress（radial direction）

圖6 θ＝0°時(shí)接觸應(yīng)力曲線（徑向）Fig.6 Contact stress curve when θ＝0°（radial direction）

圖7 φ＝0°時(shí)接觸應(yīng)力曲線（徑向）Fig.7 Contact stress curve when φ＝0°（radial direction）

圖8 理論計(jì)算與有限元分析相對(duì)誤差（徑向）Fig.8 Relative error between theoretical calculation and FEA（radial direction）

由圖5可知，最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在受載面中心處。由圖6和圖7可知，除了邊緣處，其他地方都非常吻合。邊緣處理論計(jì)算值近似按正弦規(guī)律減小，有限元值突然大幅減小，是由于有限元分析邊角處網(wǎng)格劃分精度低，分析結(jié)果誤差大。由圖8可知，除了邊緣處誤差，軸承總體誤差為5%～10%，最大誤差出現(xiàn)在φ＝90°和φ＝-90°的邊界處，理論值小于有限元值，這是由于理論分析時(shí)假設(shè)微元之間沒有相互作用，而實(shí)際上是相互擠壓的，橫向效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致理論結(jié)果與有限元結(jié)果有誤差。進(jìn)一步分析其他型號(hào)自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承如GE20，GE16等發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)參數(shù) α在 20°～30°時(shí)，理論接觸應(yīng)力計(jì)算值都能達(dá)到同樣的精度，說明理論接觸應(yīng)力公式具有普遍性。

3.2 軸向載荷作用下接觸應(yīng)力的有限元分析

軸承僅受軸向載荷時(shí)，接觸面上相同θ角處接觸應(yīng)力相等，采用軸對(duì)稱模型進(jìn)行分析，選用PLANE182單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在軸承內(nèi)圈施加沿z軸正方向的軸向載荷Fa，固定軸承外圈，在軸承外圈的內(nèi)球面上粘接襯墊，在軸承內(nèi)圈與襯墊的接觸面處建立接觸對(duì)，分別設(shè)置摩擦因數(shù)為0，0.05，0.10，依次進(jìn)行有摩擦的接觸分析［5-8］。

通過ANSYS分析計(jì)算，得到軸承內(nèi)圈與襯墊接觸處的接觸應(yīng)力分布。摩擦因數(shù)為0.10時(shí)，接觸應(yīng)力分布如圖9所示，接觸應(yīng)力曲線如圖10所示，不同摩擦因數(shù)下接觸應(yīng)力有限元結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差曲線如圖11所示。

圖9 接觸應(yīng)力云圖（軸向）Fig.9 Nephogram of contact stress（axial direction）

圖10 φ＝0°時(shí)接觸應(yīng)力曲線（軸向）Fig.10 Contact stress curve when φ＝0°（axial direction）

圖11 理論計(jì)算與有限元分析相對(duì)誤差（軸向）Fig.11 Relative error between theoretical calculation and FEA（axial direction）

由圖9可知，接觸面最大應(yīng)力出現(xiàn)在接觸面邊緣處，接觸面非承載部分接觸應(yīng)力為0。由圖10可知，與徑向載荷相似，最大誤差出現(xiàn)在軸承端面的邊緣處，除此之外，兩接觸應(yīng)力曲線基本吻合，這是由于有限元分析邊緣處網(wǎng)格劃分精度低，分析結(jié)果誤差大。由圖11可知，摩擦因數(shù)越小，相對(duì)誤差越大，這是由于理論計(jì)算時(shí)假設(shè)τ≤fσ，而實(shí)際情況并非如此，一般來說摩擦因數(shù)越小誤差會(huì)越大。軸承受軸向載荷時(shí)，接觸應(yīng)力與摩擦因數(shù)有直接關(guān)系，接觸分析時(shí)，須考慮摩擦因數(shù)。此外，摩擦因數(shù)為0.10或0.05時(shí)，除了邊緣處誤差，整體誤差在3%左右，因?yàn)槔碚摲治鰰r(shí)假設(shè)微元之間沒有相互作用，而實(shí)際上是相互擠壓的。進(jìn)一步分析其他型號(hào)自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承如GE20，GE16等發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)參數(shù)α＝20°～30°時(shí)，也具有類似的結(jié)論，說明理論接觸應(yīng)力公式具有普遍性。

4 結(jié)束語

采用理論方法對(duì)自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，通過有限元分析驗(yàn)證理論公式的精度可知，理論公式在一般的自潤(rùn)滑關(guān)節(jié)軸承上普遍適用。

當(dāng)襯墊材料剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)圈剛度，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)α＝20°～30°時(shí)，利用理論公式計(jì)算軸承接觸應(yīng)力值，可以保證受徑向載荷時(shí)接觸應(yīng)力值誤差在10%以內(nèi)，受軸向載荷時(shí)在3%左右。