錢(qián)昌年 姜晨維 傅俊勇

1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海2011092.上海市伺服系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，上海201109

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火箭TVC伺服系統(tǒng)頻率特性測(cè)試算法研究

錢(qián)昌年1,2姜晨維1,2傅俊勇1,2

1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海2011092.上海市伺服系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，上海201109

總結(jié)歸納了火箭TVC(Thrust Vector Control)伺服系統(tǒng)常用頻率特性測(cè)試方法的原理和特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了相關(guān)分析法和傳統(tǒng)最小二乘擬合法的等價(jià)性質(zhì)。提出一種改進(jìn)的最小二乘擬合法，通過(guò)引入高次項(xiàng)使算法具有了對(duì)復(fù)雜漂移干擾的處理能力。定義了算法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，使用數(shù)值仿真分析了4種測(cè)試算法的性能，得出了不同算法在不同場(chǎng)合的適用性結(jié)論，仿真結(jié)果表明在復(fù)雜漂移干擾下本文提出的新算法精度高于其他3種傳統(tǒng)算法。

TVC伺服系統(tǒng)；頻率特性；相關(guān)分析法；最小二乘擬合法

火箭伺服系統(tǒng)是火箭推力矢量控制(TVC)伺服系統(tǒng)的簡(jiǎn)稱(chēng)，是火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)的子系統(tǒng)，負(fù)責(zé)調(diào)整火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管的擺角。其頻率特性是重要的考核指標(biāo)，運(yùn)載火箭伺服系統(tǒng)普遍使用正弦逐點(diǎn)掃描法(簡(jiǎn)稱(chēng)掃頻法)測(cè)試頻率特性。從掃頻數(shù)據(jù)求取頻率特性，常見(jiàn)的方法有FFT計(jì)算法、相關(guān)分析法(COR)、功率譜法(PSD)和最小二乘擬合法(LSQ)等[1-5]。對(duì)于實(shí)際伺服系統(tǒng)，掃頻數(shù)據(jù)除受噪聲影響外，還受結(jié)構(gòu)諧振及其他因素引入的數(shù)據(jù)漂移影響，嚴(yán)重的數(shù)據(jù)畸變給頻率特性的求取帶來(lái)了困難。文獻(xiàn)中對(duì)上述算法的研究多關(guān)注于算法的應(yīng)用，對(duì)算法的適用性、魯棒性及準(zhǔn)確性少有研究[6-7]。本文對(duì)FFT計(jì)算法、相關(guān)分析法、功率譜法和最小二乘擬合法的原理和實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行分析和總結(jié)，并提出了一種精度更高的處理方法。

1 問(wèn)題背景

以某型伺服系統(tǒng)為例，當(dāng)輸入正弦信號(hào)頻率為14.32Hz、幅值為0.4°時(shí)，輸出信號(hào)如圖1所示，信號(hào)頻譜如圖2所示。輸出信號(hào)受噪聲影響嚴(yán)重；漂移特性復(fù)雜，其影響難以靠簡(jiǎn)單方法去除；諧振影響明顯，位于30Hz的諧振頻率成分量級(jí)較大且位置接近掃頻試驗(yàn)的最高頻率25Hz，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不可忽略。經(jīng)過(guò)濾波、去除均值和去除趨勢(shì)處理后，依然不能有效消除該信號(hào)畸變(如圖3)，在某些開(kāi)環(huán)掃頻場(chǎng)合，漂移干擾更加復(fù)雜。

由于各種原因，測(cè)試得到的數(shù)據(jù)可能存在頻率成分不單一，分布不均勻且不夠平滑的問(wèn)題，故有必要研究不同頻率特性計(jì)算方法的適用性，或改進(jìn)現(xiàn)有計(jì)算方法，提高對(duì)復(fù)雜干擾的處理能力。

圖1 伺服系統(tǒng)掃頻信號(hào)(14.32Hz)

圖2 伺服系統(tǒng)掃頻信號(hào)頻譜(14.32Hz)

圖3 經(jīng)過(guò)預(yù)處理的伺服系統(tǒng)掃頻信號(hào)(14.32Hz)

2 頻率特性測(cè)試方法

2.1 FFT計(jì)算法

使用FFT算法分別計(jì)算輸入和輸出信號(hào)的頻譜，對(duì)頻譜的幅值求商，相位求差，就可以得到系統(tǒng)的頻率特性。

離散輸入序列傅里葉變換表示為XFFT(k)，k=0,1,…,L-1，設(shè)輸出信號(hào)的FFT結(jié)果為YFFT(k)，則系統(tǒng)的頻率特性可以寫(xiě)為

(1)

其中，round(·)表示四舍五入取整；Fs為采樣頻率；2πFs/L表示頻譜的頻率分辨率(rad/s)。

通常情況下感興趣的頻率點(diǎn)ω不是2πFs/L的整數(shù)倍，當(dāng)2πFs/L較大時(shí)，由式(1)近似處理帶來(lái)的誤差較大。

2.2 相關(guān)分析法

設(shè)輸入信號(hào)為x(t)=Axsin(ωt)，則線性系統(tǒng)的輸出信號(hào)可以表示為

(2)

要計(jì)算系統(tǒng)在ω的頻率特性只需求得基波成分的幅值和相位即可。將式(2)展開(kāi)，得到

(3)其中,an=Ancosθn，bn=Ansinθn。 分別計(jì)算y(t)與sin(ωt)，cos(ωt)的互相關(guān)函數(shù)P，Q(時(shí)間差為0)

(4)

(5)

其中，N為正整數(shù)，表示進(jìn)行積分的基波周期個(gè)數(shù)；T為基波周期。P和Q也可以視為輸出信號(hào)y(t)的傅里葉級(jí)數(shù)中基波成分的系數(shù)。

根據(jù)式(4)和(5)可以解得

(6)

(7)

將該方法應(yīng)用于離散信號(hào)，設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)為x(n)，輸出信號(hào)為y(n)，其中n=0,1,2,…,L-1，數(shù)據(jù)采樣周期為T(mén)s。將式(4)和(5)中的積分運(yùn)算替換為求和運(yùn)算，得到

(8)

(9)

其中,tn=nTs。該方法運(yùn)算量較小，在頻率特性測(cè)試軟件中應(yīng)用廣泛[2-3]。

2.3 功率譜法

設(shè)輸入輸出信號(hào)分別為序列x(n)，y(n)，n=0,1,2,…,L-1，是各態(tài)遍歷的寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，且均值為0。輸入信號(hào)的自功率譜和輸入輸出信號(hào)的互功率譜分別為

(10)

(11)

其中，“*”表示復(fù)共軛。根據(jù)式(10)和(11)解出系統(tǒng)的頻率特性

(12)

在上述推導(dǎo)過(guò)程中使用了寬平穩(wěn)各態(tài)遍歷且均值為0的假設(shè)，但工程實(shí)踐證明該方法對(duì)信號(hào)的適應(yīng)性較強(qiáng)，可以適用于白噪聲、正弦逐點(diǎn)掃描信號(hào)、Chirp信號(hào)和Multitone信號(hào)等。工程上常使用周期圖法和welch法等計(jì)算信號(hào)功率譜[8]，在精度要求不高的場(chǎng)合可以作為一種快速算法。

2.4 最小二乘擬合法及其改進(jìn)

設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為序列x(n)=Axsin(ωnTs)，n=0,1,2,…,L-1，其中Ts為采樣周期。在傳統(tǒng)最小二乘法中假設(shè)輸出信號(hào)為

y(n)=Aysin(ωnTs+θ)
=Aysin(ωnTs)cosθ+Aycos(ωnTs)sinθ
=φn·K′

(13)

基于此輸出形式，使用最小二乘方法求解未知參數(shù)矩陣K′，進(jìn)一步即可求解輸出信號(hào)的幅值A(chǔ)y和相位θ，這是傳統(tǒng)最小二乘法的思路。

可見(jiàn)，傳統(tǒng)最小二乘法將輸出信號(hào)作為理想信號(hào)處理，忽略了實(shí)際信號(hào)中可能存在的噪聲、漂移和諧振干擾，用于處理圖1信號(hào)的精度有待驗(yàn)證。

為了提高最小二乘擬合法對(duì)復(fù)雜信號(hào)的處理能力，可以對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行改進(jìn)，在輸出方程中增加關(guān)于時(shí)間的高次項(xiàng)，用于擬合復(fù)雜漂移，將干擾從實(shí)際信號(hào)中分離出來(lái)，使輸出信號(hào)的幅值和相位求取免受干擾影響。系統(tǒng)輸出可以表示為

y(n)=k0+k1nTs+k2(nTs)2+…+
kN′(nTs)N′+Aysin(ωnTs+θ)
=k0+k1nTs+k2(nTs)2+…+
kN′(nTs)N′+Aysin(ωnTs)cosθ+
Aycos(ωnTs)sinθ

(14)

其中，N′表示漂移干擾的最高階次。將nTs用tn代替，將式(14)寫(xiě)成矩陣形式，得到

y(n)=φn·K

(15)

其中，

定義輸出矩陣

其中，L為輸入輸出序列的長(zhǎng)度。定義輸入矩陣

(16)

則存在關(guān)系式

Y=Φ·K

(17)

式(17)的最小二乘解為

K=(ΦTΦ)-1ΦTY

(18)

若求出K，可進(jìn)一步求出Ay與θ，則系統(tǒng)頻率為ω時(shí)的頻率特性可以表示為

(19)

工程上一般認(rèn)為最小二乘法的處理精度最高[1]，上述擬合方法對(duì)傳統(tǒng)最小二乘擬合方法進(jìn)行了改進(jìn)，既具有傳統(tǒng)最小二乘方法對(duì)噪聲和諧振干擾魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，而且能處理具有復(fù)雜漂移特性的信號(hào)，該方法的處理效果將在后續(xù)部分驗(yàn)證。

2.5 最小二乘擬合法與相關(guān)分析法的聯(lián)系

當(dāng)不考慮輸出信號(hào)的復(fù)雜漂移干擾時(shí)，即采用傳統(tǒng)最小二乘擬合法求取系統(tǒng)的頻率特性，參數(shù)向量為

(20)

對(duì)應(yīng)于N個(gè)周期輸出數(shù)據(jù)的輸出矩陣為

(21)

其中,L=NT/Ts。 根據(jù)式(18)，最小二乘解可以寫(xiě)為

(22)

應(yīng)用三角函數(shù)正交性，將上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到

(23)

將式(23)與(8)和(9)對(duì)比發(fā)現(xiàn)

(24)

即傳統(tǒng)最小二乘法的計(jì)算結(jié)果與相關(guān)分析法計(jì)算結(jié)果僅相差一個(gè)比例常數(shù)，由2種方法計(jì)算得到的頻率特性是一致的?？梢缘贸鰝鹘y(tǒng)最小二乘擬合法在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為整數(shù)個(gè)周期時(shí)與相關(guān)分析法等價(jià)。

3 處理方法對(duì)比

為客觀比較幾種方法的處理效果，應(yīng)建立統(tǒng)一評(píng)價(jià)準(zhǔn)則對(duì)處理方法進(jìn)行驗(yàn)證。首先對(duì)比FFT、相關(guān)分析法(COR)、功率譜法(PSD)、傳統(tǒng)最小二乘法(LSQ)和改進(jìn)最小二乘法(LSQ2)的處理結(jié)果，接著使用傳統(tǒng)最小二乘法和改進(jìn)后的方法處理圖1中數(shù)據(jù)，證明改進(jìn)方法的有效性。

圖4 仿真信號(hào)生成原理

3.1 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

構(gòu)造一組正弦逐點(diǎn)掃描信號(hào)x(n)，該信號(hào)由一組頻率遞增的正弦波組成，正弦波的頻率為{ω1,ω2,…,ωNp}，NP為頻率點(diǎn)的數(shù)量。如圖4所示，x(n)通過(guò)一個(gè)二階系統(tǒng)(ω0=62.8rad/s，ξ=0.25)，分別加入噪聲干擾r(n)、諧振干擾w(n)和漂移干擾f(n)，得到具有確定幅值衰減和相位滯后的輸出信號(hào)y(n)，理想二階系統(tǒng)的頻率特性表示為G0(jω)。

(25)

定義偏差向量

(26)

定義以下評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

(27)

M=max(Ek),k=1,2,…,Np

(28)

其中，V用來(lái)衡量整體偏差，M用于衡量偏差的最大程度，數(shù)值越大表示偏差越明顯。

3.2 特性分析

輸入信號(hào)的幅值為1，正弦波的頻率為{1Hz,2Hz,…,20Hz}，采樣周期Ts=0.002s，使用Matlab/m語(yǔ)言編寫(xiě)代碼來(lái)求取系統(tǒng)的頻率特性。

圖5 受噪聲干擾時(shí)的處理誤差

3.2.1 噪聲干擾抑制能力

當(dāng)輸出信號(hào)僅受噪聲干擾時(shí)(噪聲呈正態(tài)分布，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.12)，計(jì)算5種方法的處理結(jié)果與理想特性的偏差，如圖5所示，F(xiàn)FT方法的誤差較明顯，在10Hz之后偏差較大；功率譜法在高頻段也有較大誤差。評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1和2，F(xiàn)FT方法的處理精度明顯差于其他4種方法。

3.2.2 諧振干擾抑制能力

伺服系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)部件或測(cè)量結(jié)構(gòu)部件的結(jié)構(gòu)諧振會(huì)干擾輸出結(jié)果，如果諧振頻率在掃頻信號(hào)的頻率范圍之內(nèi)，則其對(duì)測(cè)量精度的影響不可忽略。在數(shù)據(jù)中加入12Hz的正弦干擾，對(duì)應(yīng)于每個(gè)掃頻點(diǎn)的干擾信號(hào)幅值為

(29)

其中，fk=1Hz,2Hz,…,20Hz。即越靠近12Hz，諧振干擾的量級(jí)越大。處理結(jié)果如圖6所示，評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1和2，F(xiàn)FT計(jì)算法處理結(jié)果與精確特性的偏差較大，功率譜法的計(jì)算精度也不理想，其余3種方法對(duì)諧振干擾的抑制能力較強(qiáng)。

圖6 受諧振干擾時(shí)的處理誤差(圖例同圖5)

表1 整體偏差V比較

干擾FFTCORPSDLSQLSQ2噪聲0.09330.04480.05380.04430.0416諧振0.17570.05220.05530.05180.0465漂移0.77360.06340.23450.06030.0413

表2 最大偏差M比較

3.2.3 復(fù)雜漂移干擾抑制

在實(shí)際測(cè)試過(guò)程中，測(cè)試信號(hào)可能受到各種復(fù)雜因素引起的漂移干擾，掃頻信號(hào)中加入均值為0的干擾

f(n)=e(3nTs/NT)-E(e(3nTs/NT))

(30)

其中，N為掃頻信號(hào)周期數(shù)量；T為掃頻信號(hào)周期；E(·)為求平均函數(shù)。式(30)用于模擬圖1中的漂移干擾，即信號(hào)整體隨時(shí)間不同程度偏移零位。5種方法的處理結(jié)果如圖7所示，評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1和2，F(xiàn)FT計(jì)算法的相位偏差達(dá)到40°，功率譜法的最大相位偏差接近20°，已沒(méi)有參考價(jià)值。通過(guò)評(píng)價(jià)指標(biāo)可以看到改進(jìn)后的最小二乘擬合法在處理漂移干擾方面的能力要強(qiáng)于傳統(tǒng)最小二乘法和相關(guān)分析法，具有最高處理精度。

圖7 受漂移干擾時(shí)的處理誤差(圖例同圖5)

4 實(shí)際信號(hào)分析

根據(jù)以上仿真結(jié)果，F(xiàn)FT方法和功率譜法在干擾較嚴(yán)重時(shí)不宜使用，而改進(jìn)后的最小二乘法具有最高精度?，F(xiàn)在以圖1數(shù)據(jù)為例，檢驗(yàn)相關(guān)分析法、傳統(tǒng)最小二乘法和改進(jìn)方法應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的處理效果，處理結(jié)果見(jiàn)表3。 對(duì)于圖1所示14.32Hz信號(hào)，改進(jìn)后的最小二乘法將頻響幅值處理精度提高0.72dB，相位處理精度提高0.1°。

表3 實(shí)際數(shù)據(jù)處理結(jié)果

5 結(jié)論

通過(guò)推導(dǎo)4種頻率特性測(cè)試算法的原理，發(fā)現(xiàn)了相關(guān)分析法和傳統(tǒng)最小二乘法的等價(jià)性質(zhì)。針對(duì)工程實(shí)際中掃頻信號(hào)畸變嚴(yán)重的情況，提出了一種新的處理方法，有效排除了信號(hào)中漂移干擾的影響。通過(guò)仿真證明了在大漂移干擾下，新算法的精度高于其他常規(guī)方法。

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Research on Frequency Response Detecting Algorithms for Launch Vehicle Servo System

Qian Changnian1,2, Jiang Chenwei1,2, Fu Junyong1,2

1. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China 2. Shanghai Engineering Research Center of Servo Systems, Shanghai 201109, China

Thegeneralalgorithmsfordetectingfrequencyresponseforlaunchvehiclethrustvectorcontrol(TVC)servosystemaresummarizedandanalyzed,andtheequivalencerelationshipbetweentraditionalleastsquarequadratic(LSQ)algorithmandcorrelation(COR)algorithmisdemonstrated.AnovelalgorithmbasedonLSQmethodisthenpresented,andinwhich,highordertermsareintroducedtoprocessthedriftinterference.Theeffectivenessofthealgorithmproposedisdemonstratedbysimulation.

TVCservosystem;Frequencyresponse; COR; LSQ

2015-06-18

錢(qián)昌年(1987-),男，甘肅武威人，碩士，工程師，主要從事火箭伺服系統(tǒng)控制研究；姜晨維(1987-),男，上海人，碩士，工程師，主要從事火箭伺服系統(tǒng)控制研究；傅俊勇(1972-)，男，江蘇鹽城人，碩士，研究員，主要從事火箭伺服技術(shù)研究。

V475.1

A

1006-3242(2016)03-0014-05