孫　冰，梁展平，曾　晟，肖佳輝，付志國，黃振江

(1．南華大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南衡陽　421001;2．南華大學(xué)核資源工程學(xué)院，湖南衡陽　421001)

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動(dòng)靜阻尼影響下錨桿瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解及工作狀態(tài)預(yù)測

孫冰1，梁展平1，曾晟2，肖佳輝1，付志國1，黃振江1

(1．南華大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南衡陽421001;2．南華大學(xué)核資源工程學(xué)院，湖南衡陽421001)

摘要:為了分析動(dòng)靜阻尼條件下錨桿的瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)特征以及荷載與錨桿振動(dòng)基頻之間的相互關(guān)系，在考慮錨固介質(zhì)對(duì)錨桿產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)阻尼力的影響下，基于波動(dòng)理論建立了錨桿受瞬態(tài)激振時(shí)引起彈性振動(dòng)的波動(dòng)方程。在一端固定一端自由的邊界條件下，求解錨桿位移場的解析解，得到基頻與荷載之間呈二次冪函數(shù)關(guān)系。為了驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，采用室內(nèi)模型錨桿的拉拔試驗(yàn)和無損檢測試驗(yàn)，對(duì)不同加載等級(jí)下的動(dòng)測信號(hào)進(jìn)行頻譜分析得出對(duì)應(yīng)的基頻，采用最小二乘法擬合得到荷載與基頻之間的函數(shù)關(guān)系也呈二次冪函數(shù)關(guān)系，且施加的荷載小于錨桿體與錨固介質(zhì)間的握固力時(shí)，荷載與基頻呈正相關(guān)關(guān)系，荷載大于握固力時(shí)，二者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，這與理論分析結(jié)果基本吻合。

關(guān)鍵詞:錨桿;瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng);動(dòng)靜阻尼;工作狀態(tài);振動(dòng)基頻

孫冰，梁展平，曾晟，等．動(dòng)靜阻尼影響下錨桿瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析解及工作狀態(tài)預(yù)測［J］．煤炭學(xué)報(bào)，2016，41(6):1400－1406．doi:10．13225/j．cnki．jccs．2015．1310

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錨桿作為一種簡單的主動(dòng)支護(hù)結(jié)構(gòu)，能最大限度地保持圍巖的完整性和穩(wěn)定性，控制圍巖變形、位移和裂縫的發(fā)展。因其具有成本低廉、加工簡便、安裝方便、施工速度快等優(yōu)點(diǎn)［1－3］，其在巖土工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，并且取得了豐碩成果及社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益［4－5］。但由于其自身的隱蔽性、工作環(huán)境的復(fù)雜性、設(shè)計(jì)、施工與管理的不確定性;在使用過程中，隨著環(huán)境的作用和變遷，整個(gè)系統(tǒng)也在不斷地調(diào)整變化或者產(chǎn)生病害，嚴(yán)重影響了錨桿的正常工作狀態(tài)。因此，影響錨桿工作狀態(tài)的錨固質(zhì)量和錨桿承載力成為巖土工程界亟待解決的重要問題［6－8］。

在錨桿錨固質(zhì)量檢測研究方面，用拉拔法來檢測錨桿質(zhì)量的方法出現(xiàn)較早，但拉拔不可避免的對(duì)錨桿造成影響，甚至失效，所以其在工程應(yīng)用中存在局限性。無損檢測技術(shù)日益受到廣大工程技術(shù)人員和學(xué)者的關(guān)注［9－11］。為了提高錨桿錨固質(zhì)量的無損檢測精度，國內(nèi)外許多專家學(xué)者進(jìn)行了研究，并取得了一定成果［12－15］，但大多的研究未考慮荷載的影響。在實(shí)際的安裝使用過程中，錨桿或多或少都在承受荷載的作用，實(shí)際工程檢測也是在荷載作用的前提下進(jìn)行的，若研究忽略了荷載作用，將使所得參數(shù)及其變化與實(shí)際的情況存在較大差別，更無法精確合理的指導(dǎo)工程實(shí)踐。錨桿在整個(gè)工作過程中，其工作荷載隨圍巖變形、碎脹和失穩(wěn)變化而改變，不僅與錨桿自身的結(jié)構(gòu)和材料特性有關(guān)，而且與圍巖的強(qiáng)度、變形特征及可錨性密切相關(guān)，是錨桿和圍巖相互作用的本質(zhì)體現(xiàn)，也是影響錨桿支護(hù)結(jié)構(gòu)及圍巖穩(wěn)定性的關(guān)鍵參數(shù)。錨桿在縱向振動(dòng)時(shí)，基頻與錨桿的錨固狀態(tài)和錨固長度密切相關(guān)，可以通過基頻有效地評(píng)價(jià)錨桿的錨固質(zhì)量［16－17］。劉海峰等［18］進(jìn)行了錨桿工作狀態(tài)的無損檢測研究，在荷載較小的條件下得到了基頻與工作荷載的關(guān)系式，為基于動(dòng)測法確定錨桿工作載荷的范圍提供了依據(jù)，但較大等級(jí)荷載下的工作狀態(tài)需要進(jìn)一步研究。在不考慮阻尼的情況下，對(duì)兩端自由的錨桿，基頻等于各階振型頻率之差;對(duì)一端固定一端自由的錨桿，基頻等于各階振型頻率之差的2倍［19］。全錨錨桿的振動(dòng)要比前2種情況復(fù)雜很多，端錨錨桿錨固長度短錨固質(zhì)量較差，故采用錨固長度長錨固力高的加長錨固錨桿。因此，本文針對(duì)加長錨固錨桿(下文中簡稱錨桿)采用一端固定一端自由的錨桿模型，考慮錨固介質(zhì)對(duì)錨桿產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)阻尼力的影響，建立錨桿受瞬態(tài)激振時(shí)引起彈性振動(dòng)的波動(dòng)方程，求解位移場的解析解，探求大小等級(jí)荷載下錨桿基頻與荷載之間的關(guān)系，并通過實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證理論分析結(jié)果的可靠性。

1　錨桿的瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)

1.1低應(yīng)變條件下錨桿的縱向振動(dòng)的波動(dòng)方程

錨桿在低應(yīng)變縱向振動(dòng)時(shí)，將其簡化為一維桿件建立波動(dòng)方程，在錨桿微元體的分析因素中加入動(dòng)靜阻尼系數(shù)，并假定錨桿的受激振動(dòng)在彈性限度內(nèi)、錨桿材料均勻或分段均勻且各向同性、錨桿受激振動(dòng)時(shí)其截面保持為平面。如圖1所示，用x表示桿中某一橫截面的坐標(biāo)，u(x，t)表示對(duì)應(yīng)橫截面的縱向位移。取一微小單元體，單元體承受隨時(shí)間變化的動(dòng)應(yīng)力σ(x，t)。引入達(dá)朗貝爾解法［20］中的抗剪剛度k，即錨桿側(cè)單元發(fā)生單位位移時(shí)，周圍介質(zhì)對(duì)錨桿側(cè)反向的靜阻力;考慮摩擦阻力，設(shè)單元體隨速度變化的摩擦阻尼系數(shù)為β，即錨桿單元以單位速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，介質(zhì)對(duì)錨桿產(chǎn)生動(dòng)阻力。對(duì)單元體進(jìn)行受力分析得x方向上的運(yùn)動(dòng)平衡方程為

式中，A為桿的橫截面面積;ρ為桿的質(zhì)量密度。

圖1　細(xì)長桿及作用在微小單元體上的應(yīng)力Fig.1　Thin rod and the stress of the tiny unit cell stressed by the rod

根據(jù)等截面假設(shè)，式(1)可以化簡為式(2):

根據(jù)胡克定律，有

式中，E為彈性模量;ε為軸向應(yīng)變，則

根據(jù)式(3)和(4)，式(2)化簡為

當(dāng)桿為非均勻桿件時(shí)，彈性模量E和密度ρ可不取常數(shù)，而可表達(dá)為 x的函數(shù)，即 E=E(x)和 ρ= ρ(x)。如果桿是均勻的，E和ρ是常數(shù)，則式(5)化簡為

即

式中，B為等效阻尼系數(shù)，B=β/(Aρ);K為等效彈性系數(shù)，K=k/(Aρ);V0為應(yīng)力波沿錨桿縱向傳播的速度，。

1.2初始條件及邊界條件

(1)初始條件。

在錨桿錨固段的外端面(x=L，即錨固段與自由段交界面處)處受一瞬時(shí)沖擊力作用，根據(jù)動(dòng)量定理，錨桿頂面將獲得一個(gè)初速度，如式(9):

引入Dirac函數(shù)δ(x)，有

式中，I為瞬時(shí)沖擊力對(duì)錨桿的沖量。

(2)邊界條件。

在實(shí)際工程中，基巖一般較硬，故可將錨固體末端作為固定端處理，另一端則為自由端，其邊界條件為

1.3錨桿瞬態(tài)響應(yīng)的解析解

采用特征值法，式(7)有如下形式的解

由式(12)和(13)得位移方程，如下:

式中，ωn為角頻率;λ=－B/2;Cn，Dn為待定系數(shù)。

由初始條件方程式(8)可得Cn=0，于是式(14)化簡為

由速度初始條件有:

由廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開，可得:

將式(18)代入式(16)可得錨桿位移響應(yīng)方程如下:

1.4算例分析

筆者在Matlab環(huán)境下，依據(jù)本文所得解析解及必要參數(shù)，編制了錨桿瞬態(tài)激振下位移響應(yīng)的計(jì)算程序。具體參數(shù)為:錨固長度1 900 mm，錨桿直徑25 mm，抗剪剛度 3.6×106N/m，瞬時(shí)沖量為0.025 N/s。所得模擬錨桿受激振時(shí)的位移響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2　錨桿的解析解位移響應(yīng)曲線Fig.2　Analytical solution displacement response curve of bolt

由圖2可知，在5 ms內(nèi)，錨桿的振動(dòng)以正弦方式出現(xiàn)多次固端反射和底端反射，且固端反射信號(hào)較強(qiáng)而底端反射信號(hào)微弱，這與一般的錨桿位移響應(yīng)特征相似。另外，由于阻尼的影響使應(yīng)力波發(fā)生擴(kuò)散、散射以及吸收等現(xiàn)象，消耗了應(yīng)力波的能量，從而使得響應(yīng)曲線在短時(shí)間內(nèi)衰減非常明顯。因此，上述現(xiàn)象驗(yàn)證了解析解的可靠性。

2　錨桿工作荷載與基頻的關(guān)系

其中，T為作用在錨桿上的荷載。將式(20)代入式(13)得錨桿振動(dòng)基頻與荷載之間的關(guān)系為

式中，f=ω/(2π)為振動(dòng)頻率，由式(21)可知，作用在錨桿上的荷載與振動(dòng)頻率之間呈冪函數(shù)關(guān)系。

在采用頻域分析的方法進(jìn)行錨桿錨固質(zhì)量判斷時(shí)，基頻是非常重要的參數(shù)，因?yàn)殄^桿受激振動(dòng)時(shí)的總能量是按各次諧振頻率進(jìn)行分配的。錨桿各頻率成分的能量占總能量的比率為

錨桿在瞬態(tài)激振下，產(chǎn)生低應(yīng)變，故式(15)可以近似寫為

將式(23)代入式(22)得

由式(24)可知，基頻能量占總能量的大部分，約80%。錨桿在縱向振動(dòng)中，其振動(dòng)的模態(tài)對(duì)橫向模態(tài)而言相對(duì)單一，基頻比較明顯，主要可以用基頻來衡量瞬態(tài)激振下錨桿的振動(dòng)特性。錨桿錨固長度越長，基頻越高，錨固質(zhì)量越好。

3　試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1測試方法與測試系統(tǒng)

基于應(yīng)力波反射法，采用力錘垂直激振錨桿外端產(chǎn)生沖擊荷載。測試系統(tǒng)由動(dòng)態(tài)信號(hào)測試分析儀、壓電式力錘、壓電式加速度傳感器、信號(hào)放大器、數(shù)據(jù)采集儀、控制器、微機(jī)處理系統(tǒng)等組成。力錘為江蘇聯(lián)能Lc沖擊錘，重2.5 g，電荷靈敏度3.57 PC/N。動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀為杭州億恒AVANT－10，為了避免在采樣時(shí)出現(xiàn)頻率折疊現(xiàn)象，采樣頻率至少取帶限信號(hào)最高頻率的2倍，故采樣頻率采用100 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)4 096個(gè)，分析頻寬38.4 kHz。壓電式加速度傳感器5個(gè)，頻率范圍為0.5～10 kHz，靈敏度為2.47 Pc/ m/s2。對(duì)錨桿進(jìn)行加載，采用50 t穿心千斤頂。

3.2模型試驗(yàn)

室內(nèi)模型錨桿采用長2.4 m、直徑28 mm的III級(jí)螺紋鋼筋，外露長度為0.5 m，砂漿配合比為1∶2∶4。以直徑200 mm的PVC管為模板，采用先插桿后注漿的施工方式，錨桿結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示。加速度傳感器布置在錨固段與自由段的交界面處。

圖3　錨桿結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3　Structural scheme and arrangement of measuring points

3.3結(jié)果分析

基頻綜合反映錨桿、錨固介質(zhì)和圍巖3者之間的握裹程度、參與振動(dòng)質(zhì)量的大小及有效錨固段上界面接近剛性連接的程度，可以通過錨桿動(dòng)測信號(hào)的頻譜分析得到。通過計(jì)算得出鋼筋發(fā)生屈服時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向拉力設(shè)計(jì)值即錨桿的極限承載力約為250 kN，此時(shí)錨桿將出現(xiàn)明顯位移。在實(shí)際工程中，錨桿驗(yàn)收試驗(yàn)時(shí)的加荷等級(jí)常取最大實(shí)驗(yàn)荷載的10%;試驗(yàn)中，為了獲得更精確的試驗(yàn)結(jié)果，取加載步長為10 kN。在對(duì)錨桿施加一個(gè)穩(wěn)定的拉拔荷載后，用力錘對(duì)錨桿端頭垂直施加一個(gè)小沖擊，測定在該等級(jí)荷載下錨桿的變形與加速度響應(yīng)曲線如圖4所示(圖中僅列出了部分加載等級(jí)下的動(dòng)測曲線)。通過對(duì)加速度時(shí)程曲線進(jìn)行快速傅里葉變化，得出各等級(jí)荷載下對(duì)應(yīng)的基頻見表1。

在錨桿無損檢測信號(hào)中，阻尼的存在會(huì)使信號(hào)強(qiáng)度逐漸衰減，從圖4的信號(hào)分析可以看出，在初期，加速度的幅值振動(dòng)較大，但是衰減也較快;在后期，信號(hào)衰減變得十分緩慢，且在對(duì)單個(gè)測點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行阻尼分析時(shí)，所得到的阻尼變化情況僅為單個(gè)點(diǎn)的情況，不能綜合反映整個(gè)錨桿的阻尼變化情況。因此在討論荷載對(duì)阻尼的影響時(shí)不能通過分別計(jì)算阻尼值的大小來直接進(jìn)行討論，然而從另一個(gè)角度出發(fā)，阻尼的作用在于對(duì)初始能量脈沖的能量消耗，可以通過對(duì)兩個(gè)傳感器信號(hào)的起跳點(diǎn)的幅值比變化情況進(jìn)行分析，以判斷阻尼的變化情況。從圖4可知，錨桿的底端反射與首波的幅值比呈逐漸增加趨勢，而固端反射與首波幅值比呈逐漸減少趨勢，其原因在于當(dāng)荷載達(dá)到一定值時(shí)，錨桿與周圍介質(zhì)的粘結(jié)界面受到破壞，界面的握裹作用越小，錨桿底端反透射越強(qiáng)烈。

圖4　不同荷載下錨桿的動(dòng)測加速度信號(hào)Fig.4　Acceleration response signals of bolt under different load

表1　荷載與基頻的實(shí)測Table 1　Measured values of different load and frequency

采用最小二乘法對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得基頻與荷載間的回歸方程(25)和擬合曲線如圖5所示。

由回歸方程(25)和擬合曲線圖5可知，在荷載作用下，錨桿的荷載與基頻關(guān)系曲線的回歸方程為2次冪函數(shù)，與理論分析吻合，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.918以上。

圖5　實(shí)測基頻與荷載關(guān)系的擬合曲線Fig.5　Fitting curve of the measured load and frequency

由表1和圖4可知，當(dāng)荷載比較小時(shí)，隨著荷載的增加，錨桿錨固系統(tǒng)的振動(dòng)頻率逐漸增大。在一定等級(jí)范圍內(nèi)，基頻的變化比較平緩;當(dāng)荷載達(dá)到一定值時(shí)，試驗(yàn)中為120 kN，振動(dòng)頻率達(dá)到最大值，經(jīng)計(jì)算該荷載值與錨桿體和錨固介質(zhì)發(fā)生滑移時(shí)由于克服黏結(jié)面摩擦所需要施加的軸向拉力即握固力接近;隨著荷載繼續(xù)增加甚至達(dá)到極限承載力，振動(dòng)頻率反而減小，而且頻率的減小隨著荷載的增加而加劇。原因在于，隨著荷載增加界面的連接受到破壞，錨固介質(zhì)的抗剪強(qiáng)度減小，參與振動(dòng)質(zhì)量的能量減小，從而使得基頻減小。整體而言，錨桿的基頻較為穩(wěn)定，但其在不同荷載下，各頻帶能量分布有明顯的差異。

4　結(jié)　　論

(1)考慮周圍介質(zhì)對(duì)錨桿產(chǎn)生的動(dòng)靜阻尼的影響，建立了錨桿受瞬態(tài)激振時(shí)的阻尼波動(dòng)方程，推導(dǎo)了其位移場的解析解。若對(duì)位移的時(shí)間變量和空間變量求導(dǎo)，可得速度、加速度和應(yīng)力應(yīng)變。在實(shí)際工程中，可以根據(jù)具體需求求解不同的場量并與工程實(shí)際對(duì)比，指導(dǎo)實(shí)際檢測問題;同時(shí)，并根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)修正該解析解，或者探求更簡單的數(shù)值解或近似解。

(2)阻尼的存在引起對(duì)初始脈沖的能量消耗，表現(xiàn)為信號(hào)強(qiáng)度的逐漸衰減，阻尼的變化可以通過幅值比的變化來衡量。

(3)通過理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出，無論在大小等級(jí)荷載作用下，荷載與振動(dòng)頻率之間均呈二次函數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.918以上。當(dāng)施加的荷載小于錨桿體與錨固介質(zhì)間的握固力時(shí)，荷載與基頻呈正相關(guān)關(guān)系;但當(dāng)荷載大于握固力時(shí)，二者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，直到錨桿達(dá)到極限承載力而發(fā)生破壞。

(4)在實(shí)際工程中可以根據(jù)錨桿動(dòng)測信號(hào)的頻譜分析，得到對(duì)應(yīng)荷載下的基頻，根據(jù)擬合函數(shù)可以得到對(duì)應(yīng)的工作荷載，還可以預(yù)測錨桿的握固力和極限承載力。

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中圖分類號(hào):TD353

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0253－9993(2016)06－1400－07

收稿日期:2015－09－10修回日期:2015－12－27責(zé)任編輯:常琛

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51204098);湖南省科技廳重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2015SK2058－4);湖南省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目

作者簡介:孫冰(1979—)，女，河南平頂山人，副教授。Tel:0734－8282594，E－mail:sunbingzs@126．com。通訊作者:曾晟(1977—)，男，湖南常德人，副教授。Tel:0734－8282230，E－mail:usczengs@126．com

Analytical solution of transient dynamic response and working condition prediction of bolt considering dynamic and static damping

SUN Bing1，LIANG Zhan-ping1，ZENG Sheng2，XIAO Jia-hui1，F(xiàn)U Zhi-guo1，HUANG Zhen-jiang1
(1．School of Civil Engineering，University of South China，Hengyang421001，China;2．Nuclear Resources Engineering College，University of South China，Hengyang421001，China)

Abstract:In order to analyze the characteristics of transient dynamic response and the relationship between loads and vibration fundamental frequencies of the bolt in the role of damping，in considering the impact of anchoring medium of the bolt on dynamic and static damping and based on wave theory，the wave equation，which is about the elastic vibration of the bolt when suffered by transient excitation，was established．Analytical solution of displacement field of the bolt was solved under the boundary condition that it is fixed at the one end of the bolt and it is free at the other end of the bolt．The theoretical result shows there is a second order power function relationship between the fundamental frequency and load．In order to verify the theoretical result，the pullout test and nondestructive test of the indoor model bolts were used，through the spectrum analysis of the dynamic testing signals，the fundamental frequency was obtained under the corresponding load．Fitting function relationship between load and fundamental frequency by using the least squares also presents a second order power function relationship，the load and fundamental frequency are positively correlated when the load is less than the grip between the medium and bolt-rod，but it is the negative correlation be-tween both when the load is more than the grip，and the results are consistent with the theoretical analysis．

Key words:bolt;transient dynamic response;dynamic and static damping;working condition;fundamental frequency