湯愛堯，楊子林

（1.甘肅省民樂縣第一中學(xué)，甘肅民樂734500；2.甘肅省張掖市第二中學(xué)，甘肅 張掖734000）

變式串、解法串讓數(shù)學(xué)課堂展開思維的翅膀

湯愛堯1，楊子林2

（1.甘肅省民樂縣第一中學(xué)，甘肅民樂734500；2.甘肅省張掖市第二中學(xué)，甘肅 張掖734000）

問題串、變式串是對某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個個呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問題。它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。對此，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該解放思想，鼓勵學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計，充分參與課堂，從而真正提高課堂教學(xué)效率。

問題串；變式串；解法串；高效課堂

筆者所在學(xué)校是一所省級示范性高中，近年來學(xué)校大力開展“誘思探究之高效課堂教學(xué)研究”的國家級重點課題研究。2011年11月下旬，全校開展了一系列高效課題專題研討活動，筆者作為研究員，針對在章末復(fù)習(xí)課中如何體現(xiàn)新課標要求，有效滲透新課程理念，轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)效率進行了專題發(fā)言，并承擔(dān)了一節(jié)研討課。下面是筆者對本節(jié)課的實錄與反思。

一、教學(xué)實錄

教師：今天我們從課后作業(yè)中的一道題說起，進而探究一類圓錐曲線最值問題的解法。

題目：已知點P（x，y）在橢圓2x2+3x2=6上，求x2+y2的最大值與最小值。

教師：同學(xué)們小組內(nèi)交流一下這道題的解法，看看能探討出多少種解法？看哪個小組的解法最都多？

在平時的課堂教學(xué)中，我采用小組合作探究，小組間互評（即小組間相互攻擊：質(zhì)疑、糾錯與完善，互評時可以口頭表述、板演、解題過程利用實物投影儀展示等方式）的學(xué)習(xí)方式教學(xué)。

教師給出題目幾分鐘后便有小組1展示了如下分析：

方法一：把x2+y2看作二元函數(shù)，可以把二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，即因為P（x，y）在橢圓2x2+3x2=6上，所以，因此函數(shù)的最大值為3，最小值為2。

方法二：解決解析幾何問題有兩種方法：代數(shù)法和幾何法。方法一是從代數(shù)角度出發(fā)，利用函數(shù)思想解決問題。本題還可以從幾何角度出發(fā)，利用x2+y2的幾何意義來解決，x2+y2可以看做是點P（x，y）到原點的距離的平方，而最大值和最小值分別在長軸和短軸的頂點處取得。

小組2（搶過話題）：可以把Z=x2+y2成是以原點為圓心為半徑的圓的方程，x2+y2的最值可以轉(zhuǎn)化為求該圓半徑的最大值與最小值。

學(xué)生都露出了贊許的微笑。

小組3（搶過話題）：可以用三角換元。

這時好多學(xué)生露出了疑惑的表情。這時我示意該同學(xué)停下，在課件上展示了以下幾個問題：

請同學(xué)們回顧：什么是換元法？換元法的實質(zhì)是什么？（換元法是初高中教材銜接的重要內(nèi)容，高一課堂上已進行多次介紹與滲透）下面兩個問題能不能用換元法解決？

1.已知x2+y2=1，求x+y的最大值與最小值。

2.已知x2+y2=4，求x+y的最大值與最小值。

此時，學(xué)生展開了熱烈的討論。幾分鐘后，學(xué)生就統(tǒng)一了認識。我選了兩位學(xué)生在草紙本上的解題過程利用實物投影儀進行了展示。

在這里我只選第1題的解題過程：設(shè)x=sinα，y=cosα，其中α∈R，則，所以x+y的最大值為最小值為

針對解題過程中角α的取值范圍，教師提出問題：其中α∈R改為］，或］或α∈0，2［］

π行不行？為什么？通過這個問題使學(xué)生進一步理解換元法的實質(zhì)是等量代換。

同時請剛剛回答問題的學(xué)生在黑板上展示解題過程：

解：由2x2+3x2=6可得，設(shè)cosα，=sinα，即其中 α∈R，則x2+y2=3cos2α+2sin2α=2+cos2α

所以x2+y2的最大值為3，最小值為2。

教師：剛才的探究過程對大家一定很有啟發(fā)，請問那一個小組的同學(xué)可以將這道題稍作改變，編出幾道類似的最值問題考考其他小組的同學(xué)？

一聽這話，學(xué)生的興致馬上提了起來，展開了討論。不一會便有小組躍躍欲試，舉手發(fā)言。等到大多數(shù)小組舉起了手，教師請小組發(fā)言人相繼到黑板上板演問題，經(jīng)整理如下：

1.求x+3y的最大值與最小值。

3.求xy的最大值與最小值。

4.求x2+y2-2x的最大值與最小值。

5.求點P到橢圓的左焦點的最大距離與最小距離。

6.求點P到直線x+y-10=0的最大距離與最小距離。

7.已知點P（x，y）在雙曲線2x2-3y2=6上，求8x2+y2的最小值。

8.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，求的最大值與最小值。

9.已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則點P在何處時∠F1PF2最大？△F1PF2面積最大？最大值分別是多少？若橢圓的左右頂點分別為A1，A2，則點P在何處時∠A1PA2最大？

在第9題解決完后，教師設(shè)問：請同學(xué)們總結(jié)一下，求二元函數(shù)最值的方法有哪些？

1.二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題。

2.利用均值不等式。

3.利用三角換元。

4.利用數(shù)形結(jié)合。（1）利用線性規(guī)劃；（2）利用式子的幾何意義。

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生還歸納出橢圓中的幾個有關(guān)最大值與最小值的結(jié)論：（1）橢圓上的點到焦點的距離的最大和最小的點在橢圓的長軸的兩個端點上。（2）橢圓上的點到中心的距離的最大（最小）的點在橢圓的長（短）軸的兩個端點上。（3）橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則點P在短軸的端點處時∠F1PF2最大、△F1PF2面積最大。（4）若橢圓的左右頂點分別為A1，A2，則點P在短軸的端點處時∠A1PA2最大。

復(fù)習(xí)課中的問題串、變式串，是對某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想而搭建的一個個呈現(xiàn)出內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系的系列問題，它可以使學(xué)生一步步深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的步驟以及數(shù)學(xué)思想的精髓。新課標教材中的許多例、習(xí)題本身就是或“知識”上的或“思想方法”上的一系列變式串，更有許多例、習(xí)題通過變式引申出了一系列經(jīng)典高考試題、培訓(xùn)題，這需要教師精心挖掘和積累。教師平時應(yīng)對一些例題、習(xí)題細心把玩，研究題目的條件和結(jié)論，解決問題時采用的策略和方法，并在此基礎(chǔ)上，或進一步推廣、或增加條件、或減少條件、或改變條件或改變結(jié)論等，或從系列知識為背景、或以思想方法為主線推陳出新編制一些變式題目。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個后，你應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！薄耙粋€專心的、認真?zhèn)湔n的教師，能夠拿出一個有意但不復(fù)雜的問題，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這個問題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域?！逼鋵崳處煾鼞?yīng)該解放思想，鼓勵學(xué)生課堂上參與變式設(shè)計，就會驚奇地發(fā)現(xiàn)學(xué)生居然有這么好的創(chuàng)造力，從而獲得意想不到的收獲。

［責(zé)任編輯趙建榮］

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