李　慶，周翠琴，陳含爽

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

?

模塊網(wǎng)絡(luò)上伊辛模型成核的最優(yōu)外場(chǎng)分配

李慶，周翠琴，陳含爽

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

摘要：本文討論了伊辛模型在具有兩個(gè)模塊的網(wǎng)絡(luò)上的成核相變。對(duì)每個(gè)模塊施加不同的外場(chǎng)強(qiáng)度，在保證平均外場(chǎng)不變的前提下研究外場(chǎng)差異對(duì)成核速率的影響。通過平均場(chǎng)理論計(jì)算和傘形采樣模擬，發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)最優(yōu)的外場(chǎng)差異對(duì)應(yīng)成核速率最大。

關(guān)鍵詞：成核；相變；模塊網(wǎng)絡(luò)；伊辛模型

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.006

相變和臨界現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)物理研究所關(guān)注的重要傳統(tǒng)課題[1-3]，其關(guān)鍵科學(xué)問題是要回答復(fù)雜的相互作用如何影響相變和臨界現(xiàn)象，如有序-無序相變、滲流、自組織臨界性、非平衡相變等。然而，先前的工作大多數(shù)都關(guān)注如何得到相變點(diǎn)和拓?fù)浼捌渑c尺度的關(guān)系，而關(guān)于相變發(fā)生的動(dòng)力學(xué)過程卻鮮有報(bào)道。眾所周知，自然界大部分相變是通過成核過程所激發(fā)的，如雨的形成、結(jié)晶過程、玻璃材料形成、蛋白質(zhì)折疊等[4]。成核是漲落驅(qū)動(dòng)的從亞穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)的弛豫過程，也就是新相的孕育過程。然而，幾乎所有工作都在關(guān)注歐氏空間成核問題，而許多實(shí)際體系可以通過形形色色的網(wǎng)絡(luò)來描述，一個(gè)自然的問題是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙绾斡绊懴嘧儎?dòng)力學(xué)。在前期工作中，針對(duì)一些統(tǒng)計(jì)物理模型初步探討了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上成核相變問題[5-9]。本文將研究伊辛模型在模塊網(wǎng)絡(luò)上的成核問題，解決如何通過分配外場(chǎng)來達(dá)到成核速率最優(yōu)化的問題。

1模型建立

伊辛模型是描述相變的基本模型，由物理學(xué)家Wilhelm Lenz在1920年提出，并以他的學(xué)生Ernst Ising命名。自然界的許多現(xiàn)象可以通過伊辛模型來理解，如合金中的有序-無序轉(zhuǎn)變、液氦到超流態(tài)的轉(zhuǎn)變、液體的凍結(jié)和蒸發(fā)、晶格氣體、玻璃物質(zhì)的性質(zhì)、森林火災(zāi)、城市交通、蛋白質(zhì)分子折疊等。伊辛模型的哈密頓量

(1)

式中Jij>0是節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的耦合強(qiáng)度，取Jij=J=1,?i,j；si是節(jié)點(diǎn)i的自旋變量，可以取自旋向上si=+1或自旋向下si=-1；hi是施加在節(jié)點(diǎn)i上的外場(chǎng)強(qiáng)度；aij是網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣元，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j存在一條邊相連時(shí)，aij=1，否則aij=0。

如圖1所示，考慮由兩個(gè)模塊組成的網(wǎng)絡(luò)，為簡(jiǎn)單起見，每個(gè)模塊的節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同，即NⅠ=NⅡ=N/2，N為網(wǎng)絡(luò)大小。每條邊以1-p的概率隨機(jī)地連接同一模塊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，以p的概率隨機(jī)地連接不同模塊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。因此，參數(shù)p可以控制網(wǎng)絡(luò)模塊性的好壞：p越小，網(wǎng)絡(luò)模塊性越好。對(duì)屬于同一個(gè)模塊的節(jié)點(diǎn)，施加相同的外場(chǎng)，而對(duì)屬于不同模塊的節(jié)點(diǎn)，外場(chǎng)可以是不同的。為了保證總外場(chǎng)強(qiáng)度不變，假設(shè)第1個(gè)模塊的外場(chǎng)hⅠ=h-δ，第2個(gè)模塊的外場(chǎng)hⅡ=h+δ，其中h>0，δ∈[0,h]。為了研究成核問題，設(shè)定體系溫度T小于相變溫度，初始自旋構(gòu)型取大部分自旋取向朝下(亞穩(wěn)態(tài))。顯然，體系更加穩(wěn)定的狀態(tài)是大多數(shù)自旋取向朝上，漲落會(huì)驅(qū)動(dòng)體系從亞穩(wěn)態(tài)成核相變到穩(wěn)態(tài)。我們感興趣的是外場(chǎng)差異對(duì)成核速率和成核路徑的影響。

圖1　具有兩個(gè)模塊的網(wǎng)絡(luò)示意圖，

2平均場(chǎng)理論

令mⅠ和mⅡ分別為模塊I和模塊II的平均磁矩，首先將體系的哈密頓量寫成3個(gè)部分

H=HⅠ,Ⅰ+HⅡ,Ⅱ+HⅠ,Ⅱ

(2)

其中HⅠ,Ⅰ和HⅡ,Ⅱ分別為模塊I和模塊II內(nèi)部的能量，HⅠ,Ⅱ是模塊I和模塊II之間的能量。根據(jù)平均場(chǎng)理論，這3個(gè)部分可以近似表達(dá)為

(3)

這里MⅠ,Ⅰ=MⅡ,Ⅱ=〈k〉N(1-p)/4是模塊I和模塊II內(nèi)部連邊的數(shù)目，MⅠ,Ⅱ=〈k〉Np/2是模塊I和模塊II之間連邊的數(shù)目，〈k〉是網(wǎng)絡(luò)平均度。體系的熵可以寫成S=NⅠSⅠ+NⅡSⅡ，其中SⅠ和SⅡ分別是模塊I和模塊II單個(gè)節(jié)點(diǎn)的熵，表達(dá)式：

(4)

(5)

其中，β=1/(kBT)是溫度的倒數(shù)，kB是玻爾茲曼常數(shù)。通過牛頓迭代法可以數(shù)值求解方程組(5)。圖2給出了在p=0.01，h=1.0，δ=0.5時(shí)單個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均自由能F/N等高線。圖中用符號(hào)標(biāo)記了自由能取極值時(shí)，方程組解的位置，其中方框標(biāo)記4個(gè)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，圓圈標(biāo)記4個(gè)鞍點(diǎn)，星形標(biāo)記不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。體系的最初狀態(tài)處于左下角穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的位置，而體系的最終狀態(tài)處于右上角穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的位置。另外，體系從一個(gè)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)過渡到另一個(gè)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)時(shí)必然要經(jīng)過一個(gè)鞍點(diǎn)。可以看出，從初態(tài)到末態(tài)有兩條可能的成核路徑，如圖中箭頭所示，每條路徑都需要經(jīng)歷一個(gè)中間亞穩(wěn)態(tài)的兩步成核過程，即其中一個(gè)模塊先成核相變，然后另一個(gè)模塊再成核相變。由于外場(chǎng)大的那個(gè)模塊一般先成核，所以其中一條路徑的概率幾乎為零。

圖2　單個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均自由能等高線

圖3　第1步和第2步成核的自由能壘

3傘形采樣

圖4　傘形采樣結(jié)果。(a)自由能隨λ變化曲線，

4結(jié)論

通過平均場(chǎng)理論和傘形采樣，本文研究了伊辛模型在具有兩個(gè)模塊的網(wǎng)絡(luò)上的成核相變問題。在不改變平均外場(chǎng)的前提下通過改變兩個(gè)模塊上外場(chǎng)強(qiáng)度的差異，我們發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)中等大小的差異值對(duì)應(yīng)的成核速率最大。從本文結(jié)果可以看出，外場(chǎng)的分配可以調(diào)控網(wǎng)絡(luò)體系的成核速率，適當(dāng)?shù)姆峙湓瓌t可以使速率最大化。因此，如何分配外場(chǎng)對(duì)相變的發(fā)生至關(guān)重要。

參考文獻(xiàn):

[1] Dorogovtsev S N,Goltseve A V,Mendes J F F.Critical phenomena in complex networks[J]. Rev Mod Phys,2008, 80(4):1275-1335.

[2] Arenas A,Diaz-Guilera A,Kurths J, et al.Synchronization in complex networks[J].Phys Rep,2008, 469(3): 93-153.

[3] Pastor-Satorras R,Castellano C,Mieghem P V,et al.Epidemic processes in complex networks[J].Rev Mod Phys, 2015, 87(3): 925-979.

[4] Kashchiev D. Nucleation: Basic Theory with Applications [M].Butterworths-Heinemann, Oxford, 2000: 1-480.

[5] Chen H S,Shen C S,Hou Z H,et al.Nucleation in scale-free networks [J].Phys Rev E,2011, 83(3): 031110.

[6] Chen H S,Hou Z H.Optimal modularity for nucleation in network-organized Ising model [J]. Phys Rev E, 2011, 83(4): 046124.

[7] Shen C S,Chen H S,Ye M L, et al.Nucleation pathways on complex networks [J]. Chaos, 2013, 23(1): 013112.

[8] Chen H S,Li S X,Hou Z H, et al.How does degree heterogeneity affect nucleation on complex networks? [J].J Stat Mech:Theo & Exp,2013, 9: 09014.

[9] Chen H S,Shen C S.Nucleation of a three state spin model on complex networks[J]. Physica A,2015, 424: 97-104.

[10] Van Duijneveldt J S,Frenkel D.Computer simulation study of free energy barriers in crystal nucleation [J]. J Chem Phys,1992, 96(8): 4665-4668.

Optimal Allocation of External Fields for Nucleation of Ising Model on Modular Networks

LI Qing, ZHOU Cui-qin, CHEN Han-shuang

(School of Physics and Material Science, Anhui University, Hefei, Anhui 230601, China)

Abstract:This paper discusses the nucleation in a first-order phase transition on a network with two modules. By applying two distinct external fields to each module, the effect of the diversity in external fields on nucleation rate is investigated under the constraint that the average external field is unchanged. By mean-field theory and umbrella sampling, we find that there exists an optimal diversity for which the nucleation rate is maximal.

Key words:nucleation; phase transition; modular networks; Ising model

* 收稿日期：2015-09-08

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11205002)和大學(xué)生科研訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(J18520121)。

作者簡(jiǎn)介：陳含爽，男，安徽桐城人，博士，安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)。 E-mail: chenhshf@mail.ustc.edu.cn

中圖分類號(hào)：O414；O415

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2016)02-0019-03

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.006.html