江善和，吳文進(jìn)，張朝龍，李彥梅

(安慶師范大學(xué) 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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動(dòng)態(tài)交互作用下的粒子群優(yōu)化算法收斂性分析

江善和，吳文進(jìn)，張朝龍，李彥梅

(安慶師范大學(xué) 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：針對(duì)粒子群優(yōu)化(particleswarmoptimization,PSO)算法的收斂性分析忽略了最優(yōu)粒子間的動(dòng)態(tài)交互更新過(guò)程的不足，提出運(yùn)用z變換域方法分析動(dòng)態(tài)交互作用下粒子群優(yōu)化算法的收斂性，得出了算法的收斂區(qū)域，擴(kuò)展了參數(shù)的收斂范圍，弱化了參數(shù)的收斂條件。測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了分析結(jié)論的正確性，為PSO算法參數(shù)選擇提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：粒子群優(yōu)化算法；動(dòng)態(tài)交互；收斂性；z變換域

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.005

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法是由Kennedy和Eberhart共同提出的基于群體智能學(xué)習(xí)的演化方法[1]，其思想源于鳥(niǎo)類(lèi)群體捕食行為的模擬研究。然而，PSO算法具有隨機(jī)性、交互性和記憶性等特征，使得該算法的動(dòng)態(tài)收斂過(guò)程分析復(fù)雜，且常規(guī)的數(shù)學(xué)工具難以實(shí)現(xiàn)。PSO算法的理論分析主要是基于簡(jiǎn)化條件下的模型，如忽略隨機(jī)性建立其確定性模型[2]，或考慮隨機(jī)性建立其隨機(jī)性模型[3]。最初，Van[4]在忽略隨機(jī)性且最優(yōu)粒子位置相等條件下，得出了PSO算法單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)正弦波規(guī)律。Clerc等[5]基于最優(yōu)粒子位置不相等的條件，建立了PSO算法的確定性差分方程，利用特征值譜半徑方法分析了粒子行為的收斂特征。Trelea[6]考慮了隨機(jī)性，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望獲得了PSO算法確定性模型及保證收斂下的參數(shù)準(zhǔn)則。李寧等[7]運(yùn)用差分方程及z變換分析了粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的穩(wěn)定性，給出了算法參數(shù)收斂條件。潘峰等[8]分析了算法參數(shù)與早熟收斂之間的關(guān)系，獲得PSO算法大范圍漸進(jìn)收斂的充分條件。馮遠(yuǎn)靜等[9]構(gòu)造了一個(gè)基于誤差的李雅普諾夫能量函數(shù)，分析了變采樣周期的PSO算法，得出個(gè)體軌跡穩(wěn)定的參數(shù)約束條件。曾建潮等[10]利用微分方程組給出了各種PSO算法的統(tǒng)一模型描述，并運(yùn)用現(xiàn)代控制理論分析了其收斂性能。這些文獻(xiàn)都是基于簡(jiǎn)化的PSO算法確定性模型分析其收斂性能，而忽略了算法的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)特征。

Jiang等[11]考慮了隨機(jī)性和粒子自身最優(yōu)位置可變條件，運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程理論分析了粒子位置期望和方差的收斂性。文[12]運(yùn)用隨機(jī)系統(tǒng)方法對(duì)PSO算法的均方收斂過(guò)程進(jìn)行了分析，獲得了PSO算法均方收斂的充分條件。文[13]從馬爾科夫鏈入手，依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率證明了算法的全局收斂性。文[14]依據(jù)PSO算法差分模型定義了粒子狀態(tài)和群體狀態(tài)序列，分析了其馬爾科夫性質(zhì)，得出了標(biāo)準(zhǔn)PSO算法以一定概率收斂到全局最優(yōu)。這些文獻(xiàn)充分考慮了PSO算法的隨機(jī)性，建立了PSO算法的近似隨機(jī)過(guò)程模型，接近反映了算法的真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

最近，國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了一些關(guān)于PSO算法理論分析的新動(dòng)向，其目的在于克服上述算法分析中的不足，文[15-17]考慮了算法的隨機(jī)性，建立PSO算法的概率模型并開(kāi)展了其穩(wěn)定性分析。劉建華等[18]采用凸性理論分析了PSO算法的隨機(jī)性對(duì)算法性能的影響。胡成玉等[19]從評(píng)估函數(shù)出發(fā)，利用隨機(jī)過(guò)程理論對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。這些方法盡可能真實(shí)地描述PSO算法的運(yùn)行本質(zhì)，一定程度上考慮了算法的隨機(jī)性，但其交互過(guò)程缺乏動(dòng)態(tài)變化，即交互進(jìn)化呈現(xiàn)停滯狀態(tài)。因此，這些文獻(xiàn)的收斂性分析是不完善的，沒(méi)有真正揭示算法的運(yùn)行機(jī)理及收斂過(guò)程。

本文通過(guò)考慮PSO算法的粒子自身和群體最優(yōu)位置不斷交互更新的過(guò)程，運(yùn)用線(xiàn)性離散系統(tǒng)理論中的z變換域方法研究動(dòng)態(tài)交互作用下PSO算法的收斂性，進(jìn)而分析參數(shù)設(shè)置范圍，弱化了算法收斂條件。測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果驗(yàn)證了上述分析結(jié)論的正確性，為PSO算法選擇參數(shù)提供了依據(jù)。

1最優(yōu)粒子分析

PSO算法中個(gè)體最優(yōu)位置pi(t)和群體最優(yōu)位置pg(t)是不斷向著待求問(wèn)題的最優(yōu)解前進(jìn)且不斷更新，體現(xiàn)了最優(yōu)粒子間的相互協(xié)作與交流，即動(dòng)態(tài)交互性，正是這兩個(gè)位置的交互更新作用使得算法趨于收斂，進(jìn)而獲得全局最優(yōu)解。目前文獻(xiàn)中關(guān)于PSO算法收斂性分析均是假定算法處于停滯狀態(tài)，即滿(mǎn)足假設(shè)1和2。為此，先分析算法最優(yōu)粒子的存在性，再證明動(dòng)態(tài)交互作用下PSO算法的收斂性。

假設(shè)1所有迭代中個(gè)體和群體最優(yōu)值相等且保持不變，即pi(t)=pg(t)=p,i=1,2,…,N,N為群體粒子個(gè)數(shù)。

假設(shè)2所有迭代中個(gè)體和群體最優(yōu)值不相等，但保持不變，即pi(t)=pi,pg(t)=pg。

定義1設(shè)Ω為最小化優(yōu)化問(wèn)題f(x)的解空間，則集合Ωa={x|f(x)=a,x∈Ω}為f(x)的同a值區(qū)。顯然，若a*是問(wèn)題f(x)的最小值，則Ωa*是該問(wèn)題f(x)的最小值區(qū)。

引理1假定PSO算法忽略隨機(jī)性，且滿(mǎn)足 (1) 式和(2) 式，則最優(yōu)位置序列pi(t)和pg(t)中必然存在一個(gè)最優(yōu)位置x*∈Ωa*，使得評(píng)估序列f[pi(t)]和f[pg(t)]收斂于常數(shù)a*，即

證明假設(shè)優(yōu)化問(wèn)題f(x)的解空間Ω是有限的，且f(x)在解空間Ω中存在全局最優(yōu)解，則存在最優(yōu)位置序列pi(t),pg(t)∈Ω(t=1,2,…,∞)且序列{f[pi(t)],f[pg(t)],t=1,2,…,∞}一定存在下限且兩者的下限相等。

個(gè)體最優(yōu)pi(t)和群體最優(yōu)pg(t)分別按 (1) 式和(2) 式進(jìn)行更新：

(1)

(2)

由(1)式和(2)式知，最優(yōu)位置序列pi(t)必滿(mǎn)足f[pi(t+1)]≤f[pi(t)]，pg(t)也必滿(mǎn)足f[pg(t+1)]≤f[pg(t)]，即f[pi(t)]和f[pg(t)]是一個(gè)單調(diào)遞減序列函數(shù)。又因?yàn)閒[pg(t)]≤f[pi(t)]，知f[pi(t)]逐步靠攏f[pg(t)]，因此必然存在一個(gè)最優(yōu)位置x*使得

(3)

由此，引理1得證。

引理1表明，粒子最優(yōu)位置是存在且是收斂的，算法中各粒子通過(guò)動(dòng)態(tài)交互作用不斷朝著全局最優(yōu)解進(jìn)化，從而保證了算法能夠收斂，或者說(shuō)，粒子的最優(yōu)位置在迭代進(jìn)化過(guò)程中是不斷動(dòng)態(tài)更新的。為此，去掉假設(shè)1和2，充分考慮動(dòng)態(tài)交互最優(yōu)粒子，采用z變換域方法分析算法的收斂過(guò)程及參數(shù)條件，使得算法的收斂分析更加體現(xiàn)出迭代中真實(shí)的運(yùn)行機(jī)理。

2動(dòng)態(tài)交互作用下的PSO算法收斂性分析

利用離散系統(tǒng)z變換域方法，針對(duì)動(dòng)態(tài)pi(t)和pg(t)如何影響PSO算法的位置x(t)和速度v(t)收斂性展開(kāi)分析，并提出保證收斂的參數(shù)范圍。先研究粒子位置x(t)運(yùn)動(dòng)軌跡的收斂性。

定理1(朱利穩(wěn)定判據(jù))設(shè)二階系統(tǒng)特征方程D(z)=a2z2+a1z+a0=0，且a2>0，則它的根全部位于z平面上單位圓內(nèi)的充要條件為D(1)>0,(-1)nD(-1)>0,n=2,a2>|a0|

(4)若 (4) 式滿(mǎn)足，則該二階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。

該定理結(jié)論是一般n階離散系統(tǒng)z域內(nèi)朱利穩(wěn)定判據(jù)的特例(n=2)[20]，證明略。

定義2(均值收斂)待優(yōu)化問(wèn)題解空間Ω的維數(shù)為D，群體中粒子個(gè)數(shù)為N，標(biāo)準(zhǔn)PSO算法產(chǎn)生的位置序列為{xi(t)|xi∈RD},t=1,2,…,∞,i∈{1,2,…,N}，

定義3(動(dòng)態(tài)個(gè)體最優(yōu)值和動(dòng)態(tài)群體最優(yōu)值)設(shè)pi(t)和pg(t)分別為

pi(t)=x*+Δi(t)，pg(t)=x*+Δg(t)，

其中Δi(t)為當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)位置與最優(yōu)位置x*在t代時(shí)的差值向量函數(shù)，Δg(t)為當(dāng)前群體最優(yōu)位置與最優(yōu)位置x*在t代時(shí)的差值向量函數(shù)。

由(1)式和(2) 式可知，序列{f[pi(t)],t=1,2,…,∞}和{f[pg(t)],t=1,2,…,∞}是一個(gè)單調(diào)非遞增且有界序列，也就是說(shuō)pi(t)和pg(t)漸近收斂到x*。根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)理論中二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)規(guī)律，設(shè)Δi(t)和Δg(t)為帶有振蕩衰減趨勢(shì)的差值函數(shù)，且它們的極點(diǎn)為具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)根。于是，Δi(t)和Δg(t)分別為

(5)

其中xmax為解變量的最大值，ai,ag,ωi,ωg是復(fù)數(shù)域特征根si=-σi±jωdi決定的衰減系數(shù)和阻尼振蕩頻率，且ai=σi>0,ag=σg>0。

定理2若不考慮PSO算法的隨機(jī)性，但pi(t)和pg(t)按照 (1) 式和(2) 式進(jìn)行動(dòng)態(tài)交互更新，且算法產(chǎn)生的位置序列為{xi(t)|xi(t)∈RD},t=1,2,…,∞,?i∈{1,2,…,N}，則

證明由于粒子下標(biāo)i為群體中任意粒子，故去掉下標(biāo)i，則將標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的速度迭代方程整理得

v(t+1)=wv(t)+c1r1[p(t)-x(t)]+c2r2[pg(t)-x(t)]=

wv(t)+c1r1[x*+Δ(t)-x(t)]+c2r2[x*+Δg(t)-x(t)]=

wv(t)+(c1r1+c2r2)[x*-x(t)]+[c1r1Δ(t)+c2r2Δg(t)]

(6)

利用v(t)=[x(t)-x(t-1)]，由 (6) 式可得

x(t+1)-x(t)=w[x(t)-x(t-1)]+(c1r1+c2r2)[x*-x(t)]+

[c1r1Δ(t)+c2r2Δg(t)]?x(t+1)=(1+w-c1r1-c2r2)x(t)-

wx(t-1)+(c1r1+c2r2)x*+[c1r1Δ(t)+c2r2Δg(t)]

(7)

由于(7) 式含有隨機(jī)變量，將(7) 式兩邊取其數(shù)學(xué)期望，即

E[x(t+1)]=[1+w-c1E(r1)-c2E(r2)]E[x(t)]-

wE[x(t-1)]+[c1E(r1)+c2E(r2)]E(x*)+

c1E(r1)E[Δ(t)]+c2E(r2)E[Δg(t)]

(8)

(9)

將(9) 式前移一個(gè)采樣時(shí)刻，并對(duì)其兩邊z變換，可得

(10)

(11)

利用z變換終值定理：

可知

(12)

(13)

現(xiàn)在分析參數(shù)w,c1,c2與系統(tǒng)穩(wěn)定響應(yīng)之間的關(guān)系，考慮兩種情況：

情況1當(dāng)α2-4w≥0，λ1和λ2為實(shí)數(shù)根，需滿(mǎn)足

(14)

情況2當(dāng)α2-4w<0，λ1和λ2為復(fù)數(shù)根，需滿(mǎn)足

(15)

由(13)、(14)和(15) 式可知，系統(tǒng)穩(wěn)定收斂的充分條件為

(16)

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，定義算法參數(shù)收斂的4個(gè)子集如下，

圖1描述了系統(tǒng)穩(wěn)定收斂的4個(gè)區(qū)域，其中，A1∪A2∪A3為實(shí)數(shù)特征根的收斂區(qū)域，A4則代表復(fù)數(shù)特征根的收斂區(qū)域。顯然，該條件比文[5]確定性模型下的收斂條件要弱一些。

圖1　不同特征根下的4個(gè)參數(shù)收斂區(qū)域

(17)

再看第2項(xiàng)和第3項(xiàng)，將 (5) 式寫(xiě)成一個(gè)統(tǒng)一描述形式，即

于是，它的z變換為

(18)

因算法迭代采樣周期T=1，由 (18) 式可得

(19)

其中

Aj為Δ(z)在極點(diǎn)zj處的留數(shù)。于是，由(12) 式的第2項(xiàng)可得

(20)

由|zj|<1和(16) 式知，(20)式極限存在且極限值等于0，所以，整理(12)式得

(21)

由此，定理2得證。

定理3若不考慮PSO算法的隨機(jī)性，但pi(t)和pg(t)按照(1)和(2)式進(jìn)行動(dòng)態(tài)交互更新，且算法產(chǎn)生的速度序列為{vi(t)|vi(t)∈RD},t=1,2,…,∞,?i∈{1,2,…,N},則

即vi(t)均值收斂于0，其中v(t)為群體粒子速度的期望值。

證明采用定理2的證明方法再次分析PSO算法粒子速度vi(t)的變化軌跡情況。由 (6) 式可得v(t+1)=(1+w-c1r1-c2r2)v(t)-wv(t-1)+

c1r1[Δ(t)-Δ(t-1)]+c2r2[Δg(t)-Δg(t-1)]

(22)

將(22)式兩邊取數(shù)學(xué)期望，即

E[v(t+1)]=[1+w-c1E(r1)-c2E(r2)]·E[v(t)]-wE[v(t-1)]+c1E(r1)E[Δ(t)-Δ(t-1)]+c2E(r2)E[Δg(t)-Δg(t-1)]

(23)

(24)

將(24)式前移一個(gè)采樣時(shí)刻，并對(duì)其兩邊z變換，得

Z[v(t)]=αZ[v(t-1)]-wZ[v(t-2)]+

(25)

利用z變換終值定理

可知

(26)

由(18)-(20) 式知， (26) 式的右邊兩項(xiàng)在滿(mǎn)足 (16) 式條件下極限存在且等于0，即

(27)

定理3得證。

由此可知，當(dāng)算法參數(shù)滿(mǎn)足(16)式時(shí)，vi(t)均值收斂于0，粒子收斂于群體最優(yōu)位置時(shí)速度等于0。

3仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證定理2和3的正確性，選擇多模態(tài)Griewank函數(shù)進(jìn)行仿真測(cè)試，主要考察動(dòng)態(tài)交互作用對(duì)PSO算法性能的影響，即pi(t)和pg(t)動(dòng)態(tài)變化下的算法收斂性分析，通過(guò)測(cè)試函數(shù)的粒子軌跡來(lái)判定粒子軌跡是否符合定理2和3的結(jié)論，同時(shí)觀(guān)察pi(t)和pg(t)的動(dòng)態(tài)變化。

實(shí)驗(yàn)中，D=30,N=60,w=0.729 8,c1=1.494,c2=1.494[5]，pi(t)和pg(t)分別按照 (1) 式和(2) 式進(jìn)行更新，即滿(mǎn)足定理2的條件。粒子位置的初始化取不同的解空間，因?yàn)槌跏蓟臻g影響了算法的收斂速度，故x(0)在不同的初始空間內(nèi)選取且隨機(jī)初始化，且v(0)為x(0)的一半，個(gè)體最優(yōu)初始位置pi(0)=x(0)。Griewank的粒子位置x(t)、粒子速度v(t)、個(gè)體最優(yōu)pi(t)和全局最優(yōu)pg(t)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖2(a)、(b)、(c)和(d)所示，其中x(t)、v(t)和pi(t)記錄的是各粒子平均值隨著算法迭代次數(shù)的變化軌跡，且每個(gè)圖形中分別對(duì)應(yīng)著3種不同初始化空間下的粒子軌跡變化情況。

圖2　Griewank函數(shù)粒子x(t)、v(t)、pi(t)

從圖2可看出，無(wú)論粒子初始化位置x(0)取何值，平均粒子位置x(t)收斂于群體最優(yōu)位置；平均粒子速度v(t)收斂于0，即粒子收斂到群體最優(yōu)時(shí)x(t)、pi(t)和pg(t)相等；平均個(gè)體最優(yōu)pi(t)和全局最優(yōu)pg(t)的變化軌跡都收斂于群體最優(yōu)位置。而且，各粒子軌跡在搜索初期變化比較劇烈，隨后x(t)衰減振蕩趨向于最優(yōu)位置，v(t)也衰減振蕩趨向于0，而pi(t)和pg(t)呈現(xiàn)階梯型變化逐漸減小，且pi(t)將逐步靠攏pg(t)，最終它們趨于穩(wěn)定或停滯。同時(shí)，初始化空間的選擇與算法的收斂性能存在著密切的關(guān)系，x(t)和v(t)軌跡變化曲線(xiàn)在不同初始化空間下的振蕩幅度表現(xiàn)不同，粒子初始化空間越大，其軌跡振蕩收斂的幅度就大，振蕩頻率也高，收斂速度就慢一些，收斂于最優(yōu)點(diǎn)所需要的迭代次數(shù)就多，但不改變算法穩(wěn)定收斂的趨勢(shì)。這個(gè)結(jié)論對(duì)于pi(t)和pg(t)的變化軌跡而言，也是正確的，但其變化軌跡的頻率要低于x(t)和v(t)，這表明在迭代過(guò)程中由于x(t)和v(t)的變化使得目標(biāo)函數(shù)值f[x(t)]>f[pi(t)]和f[pi(t)]>f[pg(t)]，從而使得pi(t)和pg(t)暫時(shí)保持不變。同時(shí)，算法的動(dòng)態(tài)交互作用又使得pi(t)和pg(t)在迭代過(guò)程中不斷靠近最優(yōu)點(diǎn)。測(cè)試結(jié)果表明，動(dòng)態(tài)交互作用下的PSO算法在滿(mǎn)足(16)式條件下的演化過(guò)程是穩(wěn)定收斂的，且粒子軌跡收斂于群體最優(yōu)位置。

4結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)有PSO算法的收斂性分析忽略了粒子自身pi(t)和群體最優(yōu)pg(t)的動(dòng)態(tài)更新作用，本文從PSO算法的動(dòng)態(tài)交互更新出發(fā)，運(yùn)用線(xiàn)性系統(tǒng)理論z變換域方法深入分析了pi(t)和pg(t)在動(dòng)態(tài)交互作用下的PSO算法收斂性，進(jìn)而給出了相應(yīng)的參數(shù)區(qū)域。相比于其他文獻(xiàn)，本文結(jié)論獲得的參數(shù)弱化了收斂條件，能更真實(shí)地反映PSO算法內(nèi)部作用的運(yùn)行機(jī)理。最后，測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了收斂性分析結(jié)論的正確性，為PSO算法的參數(shù)選擇提供了理論依據(jù)。

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Convergence Analysis of Particle Swarm Optimization Algorithm Based on Dynamic Interactivity

JIANG Shan-he, WU Wen-jin, ZHANG Chao-long, LI Yan-mei

(Department of Physics and Power Engineering, Anqing Normal University, Anqing, Anhui 246133, China)

Abstract:Convergence analysis of the dynamic interaction process between optimal particles is neglected in the existing particle swarm optimization (PSO) algorithm. The convergence analysis based on dynamic interaction characteristics has been conducted in terms of z transform domain method. The convergence range of the algorithm is determined, and the sufficient condition of parameters is weaken. The conclusion has been verified based on simulation result of test function, and parameters selection of PSO have been provided.

Key words:particle swarm optimization; dynamic interactivity; convergence; z transform domain

* 收稿日期：2016-03-01

基金項(xiàng)目：安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A431)。

作者簡(jiǎn)介：江善和，男，安徽潛山人，博士，安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院副教授，研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算、電力系統(tǒng)規(guī)劃。 E-mail:jshxlxlw@163.com

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2016)02-0012-07

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.005.html