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        關(guān)于吉氏習(xí)題集第752題解法的討論

        2016-07-15 01:27:45

        王 素 娟

        (閩南理工學(xué)院,福建 石獅 362700)

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        關(guān)于吉氏習(xí)題集第752題解法的討論

        王 素 娟

        (閩南理工學(xué)院,福建 石獅 362700)

        摘要:文章指出了《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解》一書中第752題在論證中出現(xiàn)的不完善之處,給出了一種新的第752題證明方法,此方法過(guò)程完整,簡(jiǎn)約明白,易為數(shù)學(xué)分析學(xué)子所接受。

        關(guān)鍵詞:連續(xù);有界;數(shù)列;極限

        DOI:10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.030

        近年來(lái),東南大學(xué)出版社出版了好幾套吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的題解,如毛磊等[1]編著的《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集全解》,滕加俊[2]主編的《Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解》,鄭琴等[3]主編的《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選詳解》。除了鄭琴等人的題解未選第752題外,其他兩書對(duì)第752題給出了兩種不同的證法,而且這兩種證法被沿用至今。經(jīng)仔細(xì)審視,筆者認(rèn)為這兩種證法有一些疏漏,應(yīng)予以修補(bǔ)。

        現(xiàn)將書中第752題的兩個(gè)證法抄錄如下,并加以討論。對(duì)于原文中的兩處小問題,筆者直接將其錯(cuò)誤備注在該行的后面。

        原題假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(x0,+∞)是連續(xù)的并且有界,證明對(duì)任何一個(gè)數(shù)T,能求得序列xn→+∞,使得

        (1)

        f(T+R)-f(R)>M,

        f(2T+R)-f(T+R)>M,

        f(nT+R)-f[(n-1)T+R]>M,從而f(nT+R)>(n-1)M+f(R)(注1:此式中的(n-1)應(yīng)改為n)。這與f(x)在(x0,+∞)上有界相矛盾,因此,故存在序列xn→+∞使得

        (注2:式中l(wèi)im下方x→+∞應(yīng)改為n→+∞)。

        討論1

        (1)因?yàn)閒(x)有界,所以A不會(huì)等于+∞;

        (2)應(yīng)給出f(x+T)-f(x)<0情況的結(jié)論;

        (3)應(yīng)續(xù)補(bǔ)在T<0情況下的論證。

        f(x0+2T)-f(x0+T)≥ε1,

        f(x0+3T)-f(x0+2T)≥ε1,

        f(x0+nT)-f[x0+(n-1)T]≥ε1,

        從而f(x0+nT)≥(n-1)ε1+f(x0+T)。這與f(x)在(x0,+∞)內(nèi)有界相矛盾,故必存在自然數(shù)k1,使得|g(k1)|<ε1。

        取x1=x0+k1T,則|f(x1+T)-f(x1)|<ε1。然后,取自然數(shù)p2>k1+1,通過(guò)考慮g(p2),g(p2+1),…,仿照上面的證明,可得k2>k1+1,使得|g(k2)|<ε2。

        討論2

        (1)如同證法一,證者仍沒有論證T<0的情況。再者說(shuō)來(lái),如果T<0,則x0+yT

        (2)應(yīng)論證g(y)在(x0,+∞)有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)和g(1),g(2),g(3),g(4),…都小于零的情況;

        (3)在構(gòu)造解的序列時(shí),用了無(wú)窮多次反證法。有限次反證法的作用已有共識(shí),至于無(wú)窮多次反證法的作用,目前還沒有定論,所以無(wú)窮多次反證法最好不用;

        (4)在論證過(guò)程中一直致力于構(gòu)造解的序列xn=x0+knT(n→∞),但用原題所提出的“求得序列xn→+∞”這一標(biāo)準(zhǔn)衡量,顯得有些抽象迷離,是求而未得。

        下面給出一個(gè)新的證法。

        證明首先討論T>0的情況。

        (i)f(x+T)-f(x)不存在零點(diǎn)時(shí)。

        因?yàn)閒(x+T)-f(x)不存在零點(diǎn),那么恒有f(x+T)-f(x)>0或者f(x+T)-f(x)<0,即f(x+T)>f(x)或f(x+T)

        當(dāng)f(x+T)>f(x)時(shí)有

        f(x)

        f(x+kT)<…,

        取自然數(shù)m,使得mT>x0,則由上式得

        f(mT)

        于是得單調(diào)遞增數(shù)列

        (2)

        (3)

        即為所求。

        類似地可以證明當(dāng)f(x+T)

        (ii)f(x+T)-f(x)存在零點(diǎn)且零點(diǎn)有上界的情況。

        (iii)f(x+T)-f(x)存在零點(diǎn)且零點(diǎn)無(wú)界的情況。

        (4)

        (5)

        討論3根據(jù)此證明,對(duì)證法一進(jìn)行必要的補(bǔ)充和修改,使得證法一能夠成為一個(gè)完整的反證法。但按原題“求得序列xn→+∞”的要求,證法一是達(dá)不到的,它只能證明這種數(shù)列存在而已,故即使“完整”也不“究竟”。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 毛磊, 滕興虎, 寇冰煜, 等.Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集全解[M]. 1版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2014: 368-370.

        [2] 滕加俊. Б.П.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M]. 2版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2015: 66-67.

        [3] 鄭琴, 超穎, 張瑰, 等. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選詳解(上冊(cè))[M]. 1版. 南京: 東南大學(xué)出版社, 2011.

        DiscussionontheSolutionstotheExercise752inJi’sProblemSet

        WANGSu-juan

        (MinnanUniversityofScienceandTechnology,Shishi,Fujian362700,China)

        Abstract:Itshowsouttheimperfectionsoftheexercise752inthebook“Б.П.JimmyDovichimathematicalanalysisproblemset”,andthengivesoutanewsolutiontotheexercise752.Thissolutioniscompleteandbrief,andwillbeenjoyedbythescholarsofmathematicalanalysis.

        Keywords:continuous;bounded;sequence;limit

        * 收稿日期:2015-10-31

        作者簡(jiǎn)介:王素娟,女,福建仙游人,碩士,閩南理工學(xué)院講師,研究方向?yàn)閳D論。E-mail: 63889375@qq.com

        中圖分類號(hào):O171

        文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

        文章編號(hào):1007-4260(2016)02-0124-02

        網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.030.html

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