張 瑋 瑋

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

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不同階數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步

張 瑋 瑋

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

摘要：對于一個新的不同階數(shù)的分數(shù)階系統(tǒng)，本文首先描述了該分數(shù)階系統(tǒng)的超混沌吸引子，并基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計了一個有效的積極回歸控制器，該分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步被獲得。最后，給出了數(shù)值仿真并證實了方法是有效的。

關鍵詞：分數(shù)階; 超混沌系統(tǒng);不同階數(shù); 回歸控制

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.004

混沌是自然界中非線性現(xiàn)象之一，混沌系統(tǒng)敏感依賴初始條件。自1990年皮卡[1]發(fā)現(xiàn)了一種實現(xiàn)不同初始條件的恒等系統(tǒng)的同步方法后，混沌同步已經(jīng)吸引了各個領域的廣泛關注。隨后，涌現(xiàn)許多新的控制混沌同步的方法，如回步控制方法[2]、極控制方法[3]、自適應控制方法[4]、光滑控制方法[5]等等。以上研究方法主要是針對常微分方程混沌系統(tǒng)的同步?，F(xiàn)今，分數(shù)階系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為熱點[6-8]。眾所周知，很多分數(shù)階的系統(tǒng)也有混沌吸引子，如分數(shù)階Lu氏系統(tǒng)[9]、分數(shù)階Chen氏系統(tǒng)[10]、分數(shù)階Liu系統(tǒng)[11]、分數(shù)階Chua系統(tǒng)[12]等等，并且這些混沌系統(tǒng)的同步也已被研究。但這些混沌系統(tǒng)其分數(shù)階數(shù)都是相同的。基于此背景，本文研究一種新的不同階數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)，并根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，設計一個有效的積極回歸控制器，使得該分數(shù)階超混沌系統(tǒng)達到同步。

1預備知識

關于分數(shù)階導數(shù)有很多的定義方式，本文采用Reimann-Liouville[13]定義:

其中m是不小于α的最小整數(shù)，Γ是Gamma函數(shù)，算子Dα記作α階Caputo微分算子。

2新的分數(shù)階系統(tǒng)描述

最近，Gao等[15]通過增加一個非線性二次型控制器到三維自治修正的Lorenz系統(tǒng)的第2個方程上，得到一個新的超混沌系統(tǒng)，其描述如下

(1)

眾所周知，分數(shù)階系統(tǒng)具有更復雜的動力學行為，基于上面的描述，本文更改了方程(1)的導數(shù)算子，考慮其階數(shù)為分數(shù)階時，系統(tǒng)描述如下，

(2)

圖1　新的超混沌系統(tǒng)在x-z平面的相圖

圖2　新的超混沌系統(tǒng)在x-y平面的相圖

圖3　新的超混沌系統(tǒng)在x-y-z空間相圖

3積極回歸控制方法

本文主要采用積極控制方法來研究分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步。不妨設驅動系統(tǒng)為

(3)

其反應系統(tǒng)如下，

(4)

其中u1(t),u2(t),u3(t),u4(t)是被設計的積極控制函數(shù)。

為了使反應系統(tǒng)的軌跡與驅動系統(tǒng)的軌跡達到一致，需要設計控制器。定義誤差變量為e1=x1-x2，e2=y1-y2，e3=z1-z2，e4=w1-w2，則誤差系統(tǒng)可表示為

(5)

其中將控制函數(shù)u1(t),u2(t),u3(t),u4(t)選擇如下，

(6)

其中v1(t),v2(t),v3(t),v4(t)是控制輸入函數(shù)。

將方程(6)帶入到方程(5)中，得到

(7)

誤差系統(tǒng)(7)在控制輸入函數(shù)v1(t),v2(t),v3(t),v4(t)下，該系統(tǒng)可以被控制為一個關于誤差狀態(tài)e1,e2,e3,e4的線性系統(tǒng)，對于函數(shù)v1(t),v2(t),v3(t),v4(t)有許多可選擇性，為簡單起見選擇

顯然，誤差系統(tǒng)的所有特征值滿足引理。由引理和分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論知，驅動系統(tǒng)和反映系統(tǒng)的同步得到實現(xiàn)。

4數(shù)值模擬

圖4　系統(tǒng)同步誤差圖

5結論

本文研究了一類不同階數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步，該方法對于不同階數(shù)的分數(shù)階系統(tǒng)是有效的，數(shù)值模擬顯示了該方法能應用于分數(shù)階的超混沌系統(tǒng)。

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Synchronization of a Class of Fractional Order Hyperchaotic System with Different Orders

ZHANG Wei-wei

(School of Mathematics and Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui 246133，China)

Abstract:In the current paper, a chaotic system is discussed for a new fractional order system with different orders. According to the stability theory of fractional order systems, the activation feedback controller is designed, the synchronization of a new fractional order hyperchaotic system is implemented. Numerical simulations are demonstrated the effectiveness.

Key words:fractional order; hyperchaotic system; different orders; feedback control

* 收稿日期：2015-12-08

基金項目：安徽省教育廳科學研究一般項目(AQKJ2014B012)和安慶師范學院青年科學基金(KJ201213)。

作者簡介：張瑋瑋，男，安徽桐城人，碩士，安慶師范大學數(shù)學與計算科學學院講師，研究方向為微分方程及其應用。 E-mail: wwzhahu@aliyun.com

中圖分類號：TP183

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2016)02-0009-03

網(wǎng)絡出版時間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.004.html