阮　平， 黃勇富

(1.電子科技大學中山學院 管理學院，廣東 中山 528400; 2.朝陽科技大學 管理學院，臺灣 臺中 10617)

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考慮學習效應及次品率的制造商生產批量和信用期優(yōu)化

阮平1， 黃勇富2

(1.電子科技大學中山學院 管理學院，廣東 中山 528400; 2.朝陽科技大學 管理學院，臺灣 臺中 10617)

摘要：現實中銷售商需要把信用期和批量一樣當作決策變量。本文把賣方定位為生產過程中存在學習效應的非完美生產制造商，一是考慮需求同時受信用期和銷售價格的影響；二是考慮商業(yè)信用給制造商帶來機會成本和違約風險，站在制造商的視角構建了制造商的信用期和生產批量優(yōu)化模型。通過定理證明了在一定條件下，模型存在唯一的最優(yōu)解并用算例驗證了模型的可行性和合理性。最后通過對參數進行靈敏度分析，得出制造商生產過程中的學習能力越強，給予下游購買商的信用期越長、生產批量越大、企業(yè)利潤越高等結論。

關鍵詞：存貨； 商業(yè)信用； 學習效應； 次品率； 優(yōu)化

商業(yè)信用交易越來越成為供應鏈上下游企業(yè)間交易的主要方式，是一種靈活的供應鏈內部短期融資策略[1]。賣方向買方提供商業(yè)信用交易可以得到兩大好處：1)買方把它當作一種現金折扣，從而促進銷售[2]；2)作為直接現金折扣的代替，不容易引起競爭對手的降價競爭[3]。但是另一方面，向買方提供商業(yè)信用期，也會給賣方帶來增加機會成本和面臨著違約風險的問題。因此，如何確定一個最優(yōu)的信用期，使得信用期帶來的收入增加明顯蓋過由機會成本和違約風險帶來的成本增加，是一個需要賣方決策的重要問題。大多數基于商業(yè)信用批量模型的研究都是把信用期當作給定參數而不是決策變量，如文獻[4-7]，而把信用期當做決策變量的研究又存在這樣或那樣的缺陷。文獻[8-10]利用差分方程把信用期作為決策變量引入目標函數，但沒有考慮信用期帶來的機會成本和違約風險問題；文獻[11-13]忽略了機會成本； 文獻[3，14]考慮了信用期帶來的機會成本和違約風險，但其假設需求僅與信用期有關而與價格無關；文獻[15-18]從供應鏈的角度研究了信用期的優(yōu)化問題，但是它們的共同問題是假設不存在違約風險。

本文在EPQ(economic production quantity，經濟生產批量)架構下，探討賣方的信用期和批量優(yōu)化問題，與其他研究不同之處以及亮點在于： 1)把賣方定位為一個制造商，其生產系統(tǒng)是非完美生產系統(tǒng)，即存在一定的次品率，而且制造商生產過程中存在明顯的學習曲線效應，即隨著產量的增加邊際生產成本下降；2)不僅考慮信用期給制造商帶來的擴大需求的好處，而且綜合考慮信用期帶來的機會成本和違約風險；3)定義一種更符合實際情況的需求函數，即需求同時受信用期和銷售價格的影響。

1模型假設與參數說明

1)制造商的生產系統(tǒng)非完美，即生產過程中會產生一定比例的殘次品，次品率為λ，單位殘次品損失成本為g 。

2)制造商向下游采購商提供商業(yè)信用交易，商業(yè)信用期為M。

3)制造商生產過程中存在典型的學習效應。借用Arrow[19]提到的經典生產學習曲線模型：假設v(t)為t時刻單位產品的生產成本，X(t)為t時刻累積產品產量，v0為生產首件產品的學習曲線生產成本，u為學習能力系數，u值越小學習能力越強，當u=1，表示沒有學習能力，一般取值范圍為0.5≤u≤0.9，t時刻累計生產成本為v(t)X(t)=v0[X(t)]u。

4)需求速度D同時受銷售價格s和信用期M的影響。根據銷售價格越低需求越高，信用期越長需求越高的市場邏輯，令

D=D(s,M)=as-becM。

其中，a、b、c均為正的常數，a為市場剛需系數;b為需求的價格影響系數;c為需求的信用期影響系數。

5)制造商的生產速度為P，P>D+λ，生產批量為Q，邊生產邊對產成品進行殘次品檢測，生產完成時對檢測出的殘次品進行一次性庫存移除。

6)考慮下游采購商違約的風險，假設采購商違約的概率F是信用期M的函數，且有

F=1-e-kM。

其中,k為違約風險系數，是正的常數，k值越大，同等信用期下違約的概率越高。

7)基于信用期帶來的收入延遲存在貨幣時間價值損失，考慮凈收入的現值問題。假設年綜合利率為r，則制造商單位時間的凈收入現值為

sD(1-F)e-rM=as1-be(c-k-r)M。

8)制造商一次生產準備成本為A，單位產品單位時間的存貨持有成本為h。

9)不允許缺貨。

2模型構建和優(yōu)化求解

2.1制造商利潤函數

制造商周期內庫存變化情況如圖1所示。制造商的成本項目包括生產成本、殘次品損失成本、生產準備成本和存貨持有成本。根據假設3)，基于學習曲線的單位時間生產成本為

v0(D)u=v0(as-becM)u。

單位時間殘次品損失成本為

單位時間生產準備成本為

單位時間存貨持有成本為

設制造商的利潤函數為Π(Q,M)，則有

(1)

2.2優(yōu)化求解

在制造商的利潤函數(1)中，后兩項與生產批量Q相關，令

(2)

這里利用算術平均值-幾何平均值不等式來求Q的最優(yōu)解。根據算術平均值-幾何平均值不等法

(3)

求得制造商最佳生產批量為

Q*=

(4)

此時，對應的最小成本為

(5)

把式(5)代入式(1)，式(1)簡化為單決策變量M的函數，如下所示：

Π(M)=Π(Q*,M)=as1-be(c-k-r)M-

(6)

對式(6)針對M求一階導數并令其導數為零，有

(7)

從式(7)可以推導出以下結論。

定理1符合以下簡單的經濟學解釋。

1)當c≤k+r時，制造商給予下游購買商的信用期越長(即M值越大)，其凈收入現值(即[(c-k-r)as1-be(c-k-r)M])越小，因此制造商不會向下游購買商提供商業(yè)信用。

(8)

Δ2=(c-k-r)2as1-be(c-k-r)M-

(9)

(10)

定理2：1)如果Δ1>0，Δ2≤0且Δ3>0，則存在唯一的最優(yōu)信用期M*>0，使得制造商的利潤最高；

2)如果Δ1≤0，Δ2≤0且Δ3>0，則制造商取消商業(yè)信用(M*=0)時利潤最高。

證明：對式(6)針對M求二階導數，

(11)

因為

所以有

(12)

把M=0代入式(7)，得到

(13)

3算例與靈敏度分析

下面通過算例和靈敏度分析來進一步驗證模型的可行性和合理性，同時通過靈敏度分析將得到一些有益的結論。算例和靈敏度分析將依賴于以下的參數設置：

市場剛需系數a=1 000,需求的信用期影響系數c=0.2，需求的價格影響系數b=0.1，違約風險系數k=0.1，綜合年利率r=0.05，學習能力系數u=0.9，次品率λ=0.05，單位殘次品的損失成本g=5，首件產品生產成本v0=8，銷售單價s=18，一次生產準備成本A=50， 單位貨物單位時間的存貨持有成本h=2,生產速度P=10 000。

3.1算例分析

先把以上參數代入式(8)，算得Δ1=45.75>0；接著把以上參數代入式(7)，得到一個只包含單變量M的方程，利用Matlab軟件求得M*=0.56。把M*=0.56代入式(9)和(10)進行驗證，得到Δ2=-84.91、Δ3=0.43。根據定理2，M*=0.56是最優(yōu)解。把M*=0.56代入式(4)，算得Q*=225.01；最后把M*=0.56和Q*=225.01代入式(1)，得Π(Q*,M*)=10 111.71。

3.2靈敏度分析

在其他參數值固定不變時，變化某一參數進行該參數的靈敏度分析，計算結果如表1所示。

由表1可知，在其他條件不變的情況下有如下結果。

1)隨著制造商生產過程中學習能力的增強，即u值變小，給予下游購買商的信用期增長，生產批量增大，企業(yè)利潤增加。

2)隨著制造商生產過程中次品率的增加，即λ值變大，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量先變小后變大，企業(yè)利潤減少。

3)隨著制造商銷售價格的降低，即s值變小，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

表1　參數的靈敏度分析

r0.0353.00295.7010541.580.0402.18269.3110330.290.0451.37246.0110189.710.0500.56225.0110111.710.0550211.7710091.62v053.82325.6111845.0862.57281.4711153.1671.50249.4810586.9780.56225.0110111.7190211.769705.23A100.77102.9910177.52500.56225.0110111.711000.40312.6510063.062000.16431.139995.063000518.729943.95h10.67322.1710146.4520.56225.0110111.7130.47181.9810085.2540.40156.3310063.0650.33138.8310043.59

4)需求對信用期越不敏感，即c值變小，給予下游購買商的信用期越短(甚至為0)，生產批量越小，企業(yè)利潤越低。

5)需求對價格越不敏感，即b值越大(因為需求函數中參數b前面帶有負號)，給予下游購買商的信用期越短(甚至為0)，生產批量越小，企業(yè)利潤越低；

6)下游購買商違約風險越高，即k值越大，給予下游購買商的信用期越短(甚至為0)，生產批量越小，企業(yè)利潤越低。

7)制造商生產速度越快，即P值越大，給予下游購買商的信用期越短，生產批量越小，企業(yè)利潤越高。

8)隨著單位殘次品損失成本的增加，即g值變大，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

9)隨著市場剛需的減少，即a值變小，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

10)隨著年復合利率的增加，即r值變大，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

11)隨著制造商首件產品生產成本的增加，即v0值變大，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

12)隨著制造商生產準備成本的增加，即A值變大，給予下游購買商的信用期變短(甚至為0)，生產批量變大，企業(yè)利潤減少。

13)隨著制造商單位產品單位時間持有成本的增加，即h值變大，給予下游購買商的信用期變短，生產批量變小，企業(yè)利潤減少。

4結論

單純從賣方視角研究信用期優(yōu)化的研究很少，本文把賣方定位為生產過程中存在學習效應的非完美生產制造商，假設需求同時受信用期和銷售價格的影響，信用期給制造商帶來機會成本和違約風險成本，較好地反映了現實情況。站在制造商的視角構建了制造商的信用期和生產批量優(yōu)化模型，并通過定理證明了在一定條件下，模型存在唯一的最優(yōu)解。在構建模型的基礎上，用算例驗證了模型的可行性和合理性，并通過對13個參數進行靈敏度分析，得出了一系列在參數變化情況下的決策性結論。

進一步深化研究，本文可以從以下多方面進行擴展：比如可以把產品假設為易腐品，加入變質率參數；考慮雙重學習效應，即生產過程中不僅邊際生產成本隨著產量的增加而降低，而且次品率也隨著產量的增加而降低；考慮次品的再制造等。

參考文獻：

[1]STOKES J R. Dynamic cash discounts when sales volume is stochastic[J]. The Quarterly Review of Economics and Finance, 2005, 45(1): 144-160.

[2]ARCELUS F J, SHAH N H, SRINIVASAN G. Retailer′s response to special sales: price discount vs. trade credit[J]. Omega, 2001, 29(5): 417-428.

[3]LOU K R, WANG W C. Optimal trade credit and order quantity when trade credit impacts on both demand rate and default risk[J]. Journal of the Operational Research Society, 2012, 64(10): 1551-1556.

[4]MIN J, ZHOU Y W, ZHAO J. An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and two-level trade credit[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(11): 3273-3285.

[5]MAHATA G C. An EPQ-based inventory model for exponentially deteriorating items under retailer partial trade credit policy in supply chain[J]. Expert systems with Applications, 2012, 39(3): 3537-3550.

[6]CHEN S C, TENG J T, SKOURI K. Economic production quantity models for deteriorating items with up-stream full trade credit and down-stream partial trade credit[J]. International Journal of Production Economics, 2014(155): 302-309.

[7]SONI H N, PATEL K A. Optimal strategy for an integrated inventory system involving variable production and defective items under retailer partial trade credit policy[J]. Decision Support Systems, 2012, 54(1): 235-247.

[8]THANGAM A, UTHAYAKUAMR R. Two-echelon trade credit financing for perishable items in a supply chain when demand depends on both selling price and credit period[J]. Computers & Industrial Engineering, 2009, 57(3): 773-786.

[9]CHEN L H, KANG F S. Integrated inventory models considering the two-level trade credit policy and a price-negotiation scheme[J]. European Journal of Operational Research, 2010, 205(1): 47-58.

[10]GUCHHAIT P, MAITI M K, MAITI M. An EOQ model of deteriorating item in imprecise environment with dynamic deterioration and credit linked demand[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015,39(11): 6553-6567.

[11]ZHOU Y W, ZHONG Y, LI J. An uncooperative order model for items with trade credit, inventory-dependent demand and limited displayed-shelf space[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 223(1): 76-85.

[12]WANG W C, TENG J T, LOU K R. Seller’s optimal credit period and cycle time in a supply chain for deteriorating items with maximum lifetime[J]. European Journal of Operational Research, 2014, 232(2): 315-321.

[13]ZHONG Y G, ZHOU Y W. The model and algorithm for determining optimal ordering/trade-credit policy of supply chains[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(8): 3809-3825.

[14]CHERN M S, PAN Q, TENG J T, et al. Stackelberg solution in a vendor-buyer supply chain model with permissible delay in payments[J]. International Journal of Production Economics, 2013, 144(1): 397-404.

[15]TENG J T, LOU K R. Seller’s optimal credit period and replenishment time in a supply chain with up-stream and down-stream trade credits[J]. Journal of Global Optimization, 2012, 53(3): 417-430.

[16]LUO J, ZHANG Q. Trade credit: a new mechanism to coordinate supply chain[J]. Operations Research Letters, 2012, 40(5): 378-384.

[17]湯勤深,周永務,鄭倩倩. 變化信用期下易變質品分散獨立決策供應鏈系統(tǒng)[J]. 工業(yè)工程,2013,16(3):38-44.

TANG Qinshen, ZHOU Yongwu, ZHENG Qianqian. A decentralized supply chain system for deteriorating items with credit-linked demand and varying credit period[J]. Industrial Engineering Journal, 2013,16(3): 38-44.

[18]ZHANG Q H, DONG M, LUO J, et al. Supply chain coordination with trade credit and quantity discount incorporating default risk[J]. International Journal of Production Economics, 2014, 153: 352-360.

[19]ARROW K J. The economic implications of learning by doing[J]. The Review of Economic Studies, 1962,29(3): 155-173.

Optimal Trade Period and Production Batch of Manufacturer with Learning Effects and Defect Rate

RUAN Ping1， HUANG Yongfu2

(1. Management School, Zhongshan Institute, University of Electronic Science and Technology of China, Zhongshan 528402, China;2. College of Management, Chaoyang University of Technology, Taichung 10617, China)

Abstract：Trade credit, while bringing the benefits of increasing sales to the sellers, also increases the disadvantages of opportunity cost and the default risk．The sellers should set the trade credit period as a decision variable as the production batch. The seller is, in this research, taken as an imperfect manufacturer who produces items with learning curve production costs and defect rate. An economic production quantity (EPQ) model is proposed, in which there are two decision variables as the trade credit period and the production batch. The model follows two assumptions, the first being that the annual demand rate in units is determined by both the trade credit period and the production batch and the second being the trade credit brings opportunity cost and default risk to the manufacturer. Then the properties of the objective function are derived, and it is shown that there exists at most one minimum point under certain conditions, and this has been proved by a numerical example. Finally, a sensitivity analysis is conducted to understand managerial insights such as that the stronger the ability to learn, the shorter the credit period, the smaller the production lot size, and the lower the profit and that the higher the defective rate, the shorter the credit period, the smaller the production lot size, and the lower the profit.

Key words：inventory; trade credit; learning effects; defect rate; optimization

收稿日期：2015- 12- 21

基金項目：廣東省自然科學基金資助項目(S2013010013437)

作者簡介：阮平(1978-)，男，湖北省人，講師，碩士，主要研究方向為物流與供應鏈管理.

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.03.010

中圖分類號：F270

文獻標志碼：A

文章編號：1007-7375(2016)03- 0059- 06