☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)?！±蠲鳂?/p>

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探尋模型感悟思想掌握方法*
——一道中考題的探究

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校李明樹

羅增儒教授說過：“教師的核心競爭力是解題能力”.筆者對這句話的理解是：基于學(xué)生理解下的習(xí)題教學(xué)，不光要求教師能夠高于學(xué)生多倍的解題能力和高位運(yùn)作知識體系，還需要能夠在習(xí)題本身中提煉基本模型，對自身的課堂教學(xué)進(jìn)行一定的調(diào)整，乃至于促使習(xí)題教學(xué)真正地“接地氣”，即：學(xué)生可以清楚地理解教師的講解和傳授嗎？基于此，筆者和組內(nèi)教師對習(xí)題教學(xué)的有效性進(jìn)行了探究，下面以一道中考題為例，把探究的過程、發(fā)現(xiàn)、反思與大家交流.

一、題目呈現(xiàn)

（2012年寧波市中考題）如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖1

二、解法探究

解法1：靜止視角下的“臨界位置”使“以形助數(shù)”直觀有效

分析：如圖2，由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF最短，連接OE、OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H.在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.

圖2

解：如圖2，連接OE、OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H.

由圓周角定理可知∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.

解題反思：此題考查垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形、二次函數(shù)等知識的融合，解決問題的關(guān)鍵是找出符合題意的最小圓，從而利用解直角三角形解決問題.如何找到最小圓？點(diǎn)D在運(yùn)動的過程中，⊙O的大小發(fā)生變化，點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化，什么時候EF最短？線段EF的長度和⊙O的直徑AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？站在學(xué)生的角度，如何有效地探尋解決問題的思路，感受數(shù)學(xué)思想方法，提煉經(jīng)典的幾何模型，是決定師生能否真正體悟數(shù)學(xué)本真的關(guān)鍵所在.筆者拿到這個題目的時候，首先大致思維猜想最短距離的存在性，后來筆者在學(xué)生中做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決此題的做法絕大多數(shù)是猜想，至于上述筆者提出的幾個問題，學(xué)生不得而知.

解法2：運(yùn)動觀點(diǎn)下“函數(shù)模型”的建構(gòu)使“以數(shù)解形”細(xì)致入微

分析、簡解：如圖3，連接DE，易得∠AED=∠BED=90°.設(shè)BE=x， AD=y，則

圖3

在Rt△AED中，AD2=DE2+AE2，即4.

在課堂教學(xué)中如何促使學(xué)生的能力達(dá)到這樣的思維高度，如何促使學(xué)生能夠理解所有的中考題都和教材中的某個或某幾個知識點(diǎn)有著直接的聯(lián)系？回顧題目中的條件說明△ABC是唯一確定的銳角三角形；點(diǎn)D在BC上移動的過程中，⊙O與邊AB、AC一直有交點(diǎn)E、F.為了讓學(xué)生真正感悟思想、掌握方法，如果對題目的條件加以改變，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？于是我們給學(xué)生設(shè)計了以下題組.

三、習(xí)題再探

1.習(xí)題的特殊化，回歸教學(xué)“原點(diǎn)”

（1）如圖4，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB=.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖4

圖5

（2）如圖5，△ABC中，AB=AC=BC=6.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖6

顯然以上的三個題目有相通之處，習(xí)題（1）、（2）是“2012年寧波市中考題”的特殊化，習(xí)題（3）的設(shè)置是基于筆者在利用幾何畫板拖動點(diǎn)D的時候發(fā)現(xiàn)：⊙O與AB、AC的交點(diǎn)始終在線段內(nèi)部，有沒有交點(diǎn)不在邊上的現(xiàn)象呢？于是對原題進(jìn)行了改編，以習(xí)題（3）呈現(xiàn)，習(xí)題的形式也以解答題的形式呈現(xiàn)，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生思維方式停留在“模仿”階段，模仿老師上述的兩種算法，最終的落腳點(diǎn)還是落在了“AD⊥BC”上，問學(xué)生為何這樣解，學(xué)生說：“當(dāng)AD⊥BC時，直徑AD最短，此時線段EF最短”，此種認(rèn)識顯然不夠.此時題目中點(diǎn)D在運(yùn)動的過程中⊙O與邊AB交于E點(diǎn)，與邊AC的延長線交于F點(diǎn)，而的條件使得△ABC唯一確定，為鈍角三角形，顯然當(dāng)AD⊥BC時，AD在△ABC的外部，如圖7，故先在Rt△ABG中求得AG，再在Rt△ACG中求出AC的長，從而得到AC≤AD≤AB，即AD的最小值為AC，此時線段EF最短.反思教學(xué)發(fā)現(xiàn)：教師沒有真正地帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握方法，當(dāng)然也沒有促使學(xué)生探尋此題真正的出處.

圖7

2.探尋基本圖形，回歸問題本質(zhì)

（1）△ABC中，∠BAC=α，∠ABC=β，（0°＜α≤90°-β，β為銳角）AB=a.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

分析：如圖8，此時當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時AD最短，可得EF= 2EH =2EO·sin∠EOH =2rsinα= AD·sinα，即AD=AC時EF最短.

（2）△ABC中，∠BAC =α，∠ABC=β，（0°＜α≤α+β-90°，β為鈍角）AB=a.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

圖8

分析：如圖9，此時當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時AD最短，可得EF=2FH=2FO·sin∠FOH=2rsinα=AD·sinα，即AD=AB時EF最短.

圖9

圖10

（3）如圖10，△ABC中，∠BAC=α，∠ABC=β，90°-β＜α≤180°-β，β為銳角）AB=a.D是線段BC上的一個動點(diǎn).以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC于E、F，連接EF，則EF的長度的最小值為________.

分析：EF=2EH=2EO·sin∠EOH=2rsinα=AD·sinα，要使EF最小，即AD最小，此時AD⊥BC.

圖11

圖12

圖13

圖14

基本圖形：如圖14，在⊙O中，∠A=α（α為定值），則∠A所對的弦長為定值.

四、啟示

1.基于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的思考

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出：“推理能力是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理，具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo).從數(shù)學(xué)角度，此題的探究體現(xiàn)了一種基本的數(shù)學(xué)思想；從教師角度，體現(xiàn)了一種有效的教學(xué)方法；從學(xué)生角度，培養(yǎng)了學(xué)生的思維推理能力，為學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了支撐.

2.透過表象透析本質(zhì)，形成有價值的解題思路

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“就解題思路的發(fā)現(xiàn)來說，‘退’比‘進(jìn)’更重要”.解題時，能夠“退”到問題的原點(diǎn)，能夠足以清楚地厘清問題的因果關(guān)系，然后拾級而上，最終站到峰頂，終有“一覽眾山小”之感.解法1可視為“退”，退至位置的特殊化，在靜止?fàn)顟B(tài)下的臨界位置恰好是符合條件的位置，但似乎沒有退到問題的原點(diǎn)，沒有足夠讓學(xué)生理解為何此時的線段EF就是最短.所以在后續(xù)的設(shè)計中使得圖形特殊化（圖4、圖5），此時可以促使學(xué)生能夠直觀地理解在等腰直角三角形和等邊三角形狀態(tài)下EF最短的情形；似乎問題的研究沒有觸及這道題的本質(zhì)，故設(shè)計了圖8、圖9、圖10三個圖形進(jìn)行探究，此時三個圖形涉及的問題“情系一處”但又有細(xì)微的差別：圖8、圖9中AD的最小值和△ABC中的最短邊重合時EF才是最短情形，圖10則是“2012年寧波市中考題”的推廣與加強(qiáng)，進(jìn)而最終可以得出基本圖形圖14“模型”，即使得習(xí)題教學(xué)真正指向了核心知識的本質(zhì).數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)（思維）活動的過程，教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維應(yīng)該是教學(xué)的首要任務(wù)，也是學(xué)生首要的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而習(xí)題教學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維的重要渠道，教師在習(xí)題教學(xué)時若能時常給予學(xué)生探究問題的土壤，引領(lǐng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣、思想、方法，勢必會孕育學(xué)生養(yǎng)成主動創(chuàng)新和深入探究的良好素養(yǎng).

3.挖掘知識延伸拓展，注重知識的上串下聯(lián)

經(jīng)典的習(xí)題往往有深刻的問題背景，教師引領(lǐng)學(xué)生有效地探索問題實質(zhì)，在充分體驗、理解、內(nèi)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行提煉升華，不僅讓學(xué)生了解了習(xí)題的“前世今生”，還展望了“未來”，促使學(xué)生在不同的知識板塊間形成了完整的知識鏈.原題中點(diǎn)D在移動的過程中，以AD為直徑的圓與AB、AC交于E、F兩點(diǎn)，即點(diǎn)A、E、D、F四點(diǎn)共圓，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“圖中無圓，心中有圓”的思維意識，真正提升學(xué)生的思維品質(zhì)，筆者與組內(nèi)教師對此題進(jìn)行了改編，以期提升學(xué)生的思維力.

如圖15，△ABC中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，是線段BC上一個動點(diǎn).△GDH中，∠GDH= 120°，以D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△GDH，△GDH的邊GD、HD分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F，試探究線段EF的長度的最小值.

圖15

在運(yùn)動中探尋不變，是真正思維品質(zhì)的培養(yǎng)和提升，∠BAC+∠GDH=180°是解決本題的突破口，以AD為直徑的圓始終經(jīng)過點(diǎn)E、F，即A、E、D、F四點(diǎn)共圓，“無圓卻有圓”，使得學(xué)生的思維又進(jìn)一步，和“2012年寧波市中考題”形成了合理的思維鏈接.數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題的后續(xù)，能給學(xué)生留下什么，師生能否擺脫“茫茫題?！?，能否在掌握知識的同時，感悟思想、掌握方法、提升意識，是教師在習(xí)題教學(xué)中需要長期反思的課題.

參考文獻(xiàn)：

1.黃東坡.數(shù)學(xué)探究應(yīng)用新思維（九年級）［M］.武漢：湖北人民出版社，2013.

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3.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.宋偉軍，黃華玉.一道中考模擬壓軸題的解法探究與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.Z

*基金項目：蘇州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——中學(xué)數(shù)學(xué)體驗式學(xué)習(xí)課例研究（140302022）.