☉福建省漳平第三中學(xué)　林福凱☉福建省漳平第三中學(xué)　朱蘭英

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凡題大做，圈地精彩

☉福建省漳平第三中學(xué)林福凱
☉福建省漳平第三中學(xué)朱蘭英

中考試題因其典型性、導(dǎo)向性，備受廣大師生的關(guān)注.中考試題的設(shè)計充分關(guān)注對學(xué)生思維水平與思維方式的考查.中考試題?？伤菰从诮滩睦?、習(xí)題，生成、改編發(fā)展于教材例、習(xí)題，命題立意與考查功能往往高于教材、教輔例、習(xí)題.筆者將以矩形圈地面積問題為主線，串聯(lián)中學(xué)數(shù)學(xué)知識，意在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升凡題的功能與價值.矩形圈地面積問題常設(shè)有一個或多個思維節(jié)點，從這一點看，此類試題的解答其實就是突破思維節(jié)點的解答，重點是在思維節(jié)點處拉伸數(shù)學(xué)思維.

一、試題呈現(xiàn)

人教版《義務(wù)教育教科書九年級數(shù)學(xué)上冊（教育部審定2013）》P57第7題：如圖1，用一段長為32m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜地，墻長為16m.這個矩形的長、寬各為多少時，菜地的面積最大？最大面積是多少？

試題簡解如下所示.

解：如圖2，設(shè)矩形菜地平行于墻的籬笆BC=xm，圍成的矩形菜地面積為ym2，則依題意，得，整理得（0＜x≤16）.

圖2

答：該矩形的長、寬分別為16m、8m時，菜地的面積最大，最大面積是128m2.

解題說明如下所示.

（1）利用題圖，引入點標(biāo)，增進(jìn)直白，方便敘述，簡化解題與檢驗.

（2）恰當(dāng)設(shè)元（BC=xm），對接隱含（墻長為16m），直白檢驗（取舍實解）.本題也可設(shè)AB=x，則BC=32-2x，y= x（32-2x）（0＜x≤16），即y=-2（x-8）2+128（0＜x≤16）.

由于a=-2＜0，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=8時，32-2x=16≤16，ymax=128.

用此設(shè)元法，所得函數(shù)為整系數(shù)解析式，直觀感覺較好，但容易疏忽題干“墻長為16m”的隱含功能而致解題失誤，甚至出現(xiàn)錯誤.

二、試題改編

1.嚴(yán)謹(jǐn)改編，拾級而上

原題題干存在歧義，試題不夠嚴(yán)謹(jǐn).主要體現(xiàn)在：涉及實際問題方面——①籬笆可否結(jié)余；②墻能否用籬笆局部替代（如圖3）；③是否要考慮籬笆占地等問題.命題設(shè)計方面——問題設(shè)計一步到位，較欠層次與梯度，不利于“學(xué)困生”的思維與學(xué)習(xí).本著命題通俗易懂、嚴(yán)謹(jǐn)簡潔和面向全體等原則，遵從“讓不同人得到相應(yīng)發(fā)展”的課標(biāo)理念，改編嚴(yán)謹(jǐn)題干，創(chuàng)設(shè)并列式、遞進(jìn)式問題串，詮釋題型規(guī)律，引領(lǐng)試題教學(xué).

圖3

改編1：如圖1，恰好用完（不許結(jié)余）一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻（不許籬笆局部替代墻）的矩形菜地，墻長為16m.設(shè)矩形菜地平行于墻的籬笆長為xm，圍成的矩形菜地面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）當(dāng)x=12時，求y的值.

（2）當(dāng)y=120時，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

（4）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍.

（5）當(dāng)x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.試題簡解如下所示.

改編意圖：以教材例、習(xí)題搭臺，漸進(jìn)問題串唱戲.命題設(shè)計，貴在精準(zhǔn).本題改編，嚴(yán)謹(jǐn)簡練，明確目標(biāo)；由淺入深，拾級而上.內(nèi)容設(shè)計：從方程到函數(shù)，遵循章理；思維設(shè)計：從具體到抽象，互逆考查；能力設(shè)計：特殊轉(zhuǎn)化一般，螺旋上升；情理設(shè)計：逐級積累經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)解題信心，實現(xiàn)蓄勢待發(fā).

2.弱化條件，以退為進(jìn)

（a）改墻定長為待定長，凸顯待定字母功能.

改編2：如圖4，恰好用完一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻的矩形菜地，墻長為am.設(shè)矩形菜地平行于墻的籬笆長為xm，圍成的矩形菜地面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

圖4

（1）當(dāng)x=12時，求y的值.

（2）當(dāng)y=120時，求x的值.

（3）是否存在x的值，使得y=130？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

（4）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍.

（5）當(dāng)x為何值時，y取到最大值.并求此時y的值.試題簡解如下所示.

解：（1）①當(dāng)0＜a＜12且x=12時，結(jié)論（1）沒有實際意義.

①當(dāng)0＜a＜12時，原題無實際解.

②當(dāng)12≤a＜20時，原題只有一個實際解x=12.

③當(dāng)a≥20時，原題有兩個實際解x=12或x=20.

①當(dāng)a≥16且x=16時，ymax=128.

改編意圖：通過am墻長功能的探索過程，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)等思想方法，強(qiáng)化解題驗證意識.

（b）隱藏題圖，強(qiáng)化建模.

改編3：刪除改編2的“如圖3”條件，其余均不變.解法與改編2相同（過程略）.

改編意圖：通過隱藏題圖，考查數(shù)學(xué)建模、抽象轉(zhuǎn)化等能力，積淀深層數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

三、試題創(chuàng)編

通過探索試題改編及其解答，拾級而上，積淀深層數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，利用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)代數(shù)的功能，關(guān)注抽象轉(zhuǎn)化、構(gòu)建模型、數(shù)形結(jié)合、分類討論、運(yùn)用函數(shù)等生成，考查思想與方法；利用見微知著，發(fā)散思維，進(jìn)退取舍，考查思維與能力.逐級創(chuàng)編如下.

1.外減內(nèi)添，拓展視野

（a）外，弱化題圖與定墻長；內(nèi)，添內(nèi)含兩個矩形.

創(chuàng)編1：某農(nóng)戶為養(yǎng)殖兩種家禽，準(zhǔn)備恰好用完一段長為32m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻且內(nèi)含兩個矩形的矩形禽場，墻長為am.設(shè)矩形禽場平行于墻的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

試題簡解如下所示.

圖5

圖6

（2）（i）由（1）①得y=-（x-8）2+64（0＜x≤a）.

由于a=-1＜0，所以：當(dāng)a≥8且x=8時，ymax=64；根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)0＜a＜8且x=a時，ymax=-（a-8）2+64.

創(chuàng)編意圖：試題創(chuàng)編，意在培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模，強(qiáng)化分類討論意識，滲透區(qū)間函數(shù)思想；旨在鞏固并發(fā)展初中階段的比差法：利用不等式的傳遞性有效放縮比較大小，利用函數(shù)增減性在相同區(qū)間內(nèi)取函數(shù)最值.

（b）外，弱化題圖與定墻長；內(nèi)，添內(nèi)含三個全等矩形.

創(chuàng)編2：某農(nóng)戶為養(yǎng)殖三種家禽，準(zhǔn)備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個一邊完全靠墻且內(nèi)含三個全等矩形的矩形禽場，墻長為am.設(shè)矩形禽場平行于墻的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

試題簡解如下所示.

圖7

圖8

圖9-1

圖9-2

圖10-1

圖10-2

創(chuàng)編意圖：在創(chuàng)編1的基礎(chǔ)上，順藤摸瓜，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模，強(qiáng)化分類討論意識，滲透區(qū)間函數(shù)思想，提升數(shù)學(xué)思維.創(chuàng)編2還突出考查學(xué)生的閱讀理解、抽象轉(zhuǎn)化、處理信息和深層運(yùn)用比差法等能力.

2.內(nèi)外兼修，高屋建瓴

創(chuàng)編形變質(zhì)同試題，滲透抽象、推理和模型三大思想.

創(chuàng)編3：如圖11，某農(nóng)戶為養(yǎng)殖兩種家禽，準(zhǔn)備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個兩邊完全靠l、l′組成的直角曲尺形墻且內(nèi)含兩個矩形的矩形禽場，l、l′的墻長分別為am、bm.設(shè)矩形禽場平行于墻l的最外層籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

創(chuàng)編4：如圖11，某農(nóng)戶為養(yǎng)殖三種家禽，準(zhǔn)備恰好用完一段長為132m的籬笆圍成一個兩邊完全靠l、l′組成的直角曲尺形墻且含三個全等矩形的矩形禽場，l、l′的墻長分別為am、bm.設(shè)矩形禽場平行于墻l的外籬笆長為xm，圍成的矩形禽場總面積為ym2（籬笆占地忽略不計）.

圖11

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時，y取到最大值？并求此時y的值.

……

建瓴簡析：創(chuàng)編3、4的題干條件“l(fā)、l′組成的直角曲尺形墻的墻長分別為am、bm”起雙重制約作用，試題屬于“雙制約型”問題.解“雙制約型”問題的思維節(jié)點是先將“雙制約型”問題轉(zhuǎn)化為“單制約型”問題，再探尋解題方略，最后實現(xiàn)解題目標(biāo).解題簡析如下：先假設(shè)l′的墻長bm足夠長，確定滿足l的墻長am的單重制約結(jié)論，再將所得結(jié)論按l′墻長bm的又一制約進(jìn)行取舍，最終實現(xiàn)解題目的，得出滿足題意的準(zhǔn)確結(jié)論.所以創(chuàng)編3、4的解答可以分別轉(zhuǎn)化為創(chuàng)編1、2的解答（分層逐步解答）.

建瓴意圖：試題創(chuàng)編意在發(fā)展數(shù)學(xué)思維，可忽略具體解答.案例著意詮釋思維的產(chǎn)生、生成與生長過程：拉長思維過程，疏導(dǎo)思維盲點；拉伸思維觸角，梳理思維變式；提升思維深度，導(dǎo)引思維發(fā)散［1］；案例旨在促進(jìn)問題自然生成與生長，有效提升“四能”，賦予思維更大的遐想.

四、凡題大做，領(lǐng)悟教學(xué)

1.模型解題，可觸類旁通

構(gòu)建模型，類比聯(lián)想，生成“類”問題，再探尋通性通法，最終促進(jìn)自我完善，自我探索，自我創(chuàng)新等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.案例通過對教材習(xí)題的挖掘，逐級探索試題的生成與生長，為構(gòu)建模型解題提供了思路和方略.“矩形圈地型”問題的解題步驟歸納如下：分步閱讀條件（挖掘隱含條件和判斷必要的分類）—逐步構(gòu)建滿足題意的題圖（標(biāo)識點標(biāo)以便敘述和解題）—依據(jù)題圖巧設(shè)元—理清關(guān)系列代數(shù)式—思辨題設(shè)與結(jié)論列關(guān)系式—思構(gòu)解題思想、方法與策略，準(zhǔn)確解答、驗證與作答.

2.凡題大做，能拓展思維

以求同存異、異中求同的觀點開展試題變式，逐級探索數(shù)學(xué)活動，詮釋題型規(guī)律.在生活中通過抽象生成數(shù)學(xué)，在內(nèi)容上通過推理發(fā)展數(shù)學(xué)，在方法上通過模型聯(lián)系外界，在解題中通過教學(xué)提升“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力），在思維上滲透三大基本思想（抽象、推理和模型）.凡題大做中，逐級發(fā)散思維，有效提高分析解題能力，實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)備考，養(yǎng)成自學(xué)、自創(chuàng)、自新的良好習(xí)慣.

3.試題研究，應(yīng)遵循理法

試題研究，應(yīng)以雙基為本，回歸教材，滲透考點，突出重點，適當(dāng)拔高，查漏補(bǔ)缺，實現(xiàn)知識有效整合或重組；應(yīng)以方法為脈，選擇并劃分代表性、針對性的試題開展教學(xué)，注重考點串聯(lián)，掌握通法；應(yīng)以思想為魂，通過積累解題經(jīng)驗，從特殊到一般，從特解到通解［2］，賦予試題教學(xué)無盡的遐想與思考.總之，試題研究應(yīng)揭示試題本質(zhì)、化歸試題源泉、拓展試題功能、提升試題價值，讓凡題大做引領(lǐng)試題研究，詮釋數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

1.戴向陽.行走在思維節(jié)點上的中考試題教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.

2.劉永東，蘇德杰.談2015年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（3）.Z