☉山東省東營市勝利第六中學(xué)　于　彬☉山東省東營市勝利第十三中學(xué)　劉錦海

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一道中考選擇壓軸題的探究與思考*

☉山東省東營市勝利第六中學(xué)于彬
☉山東省東營市勝利第十三中學(xué)劉錦海

在各省市的中考試題中選擇題大都占據(jù)著一定的份量，再加上部分學(xué)生，甚至是部分老師對選擇題不重視，因此有時(shí)選擇題的得分往往影響著中考的成敗.選擇題，“麻雀雖小，五臟俱全”，特別是選擇題的壓軸題更是值得一線教師去研究，去品味，下面筆者以2015年濱州市中考數(shù)學(xué)試題第12題的探究過程為例進(jìn)行簡單介紹，歡迎批評和指正.

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在x軸的上方，∠BOA（直角）繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB大小的變化趨勢為（）.

圖1

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變

對于大多數(shù)考生而言，看到上述試題后，基本沒有思路，不知如何下手.當(dāng)然，由于此題是選擇題，有一部分學(xué)生最后可能直接猜了一個(gè)答案，而筆者認(rèn)為學(xué)生猜“保持不變”的可能性還是很大的，這應(yīng)該與老師日常灌輸?shù)摹翱荚嚰记伞庇泻艽蟮年P(guān)系，因此就這個(gè)角度來看，這道選擇題的信度和效度就都大打折扣了，應(yīng)該引起命題人的足夠重視.不過，就這道題對學(xué)生的思維角度、考查角度及命題人的命制角度來看，還是值得“點(diǎn)贊”的一道中考試題.

二、解法探究

解法1：如圖2，過點(diǎn)A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D.

圖2

因?yàn)椤螦OC +∠BOD = 90°，∠OBD+∠BOD=90°，所以∠AOC=∠OBD.

又因?yàn)椤螦CO=∠ODB= 90°，所以△AOC∽△OBD.

根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義知：S△AOC=1，S△OBD=，所以

解法2：如圖2，過點(diǎn)A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D.

設(shè)AO=m，BO=n，∠AOC=α，由解法1可得∠OBD=α.

在Rt△AOC中，AC=msinα，OC=mcosα；

在Rt△BOD中，OD=nsinα，BD=ncosα.

于是，A點(diǎn)坐標(biāo)為（mcosα，msinα），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-nsinα，ncosα），將上述兩點(diǎn)分別代入和，得①②.

解法1與解法2相比，解法1顯得更加巧妙一些，冒昧揣測一下的話也應(yīng)該更加符合命題人的命題意圖，此法綜合運(yùn)用了相似三角形、相似三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)中k的幾何意義等基礎(chǔ)知識，注重了對核心知識的考查；當(dāng)然，解法2中沒有注意到反比例函數(shù)中k的幾何意義，而是采用將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，然后進(jìn)行化簡的方法，此法化簡過程中具有一定的技巧性，同時(shí)也具有進(jìn)入高中以后“解析幾何”的味道，可以說達(dá)到了與解法1“殊途同歸”的效果.

三、幾點(diǎn)思考

1.提取關(guān)鍵詞語

筆者根據(jù)多年的解題教學(xué)有一點(diǎn)體會，那就是部分題目的題干中有時(shí)會有一些暗示性的短語（稱為關(guān)鍵詞語），提示解題的方向或方法.比如，上述試題中的“變化趨勢”就是解決該問題的關(guān)鍵詞語.看到“變化趨勢”，應(yīng)該比較容易和函數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，但是上述試題問的是“角度”的變化趨勢，這應(yīng)該增加了一定的難度，換言之，如果上述試題問的是“長度或面積”的變化趨勢，學(xué)生可能更加容易和函數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián).總而言之，“變化趨勢”應(yīng)該起到了一定的提示作用，再結(jié)合題目中直角三角形的存在，順勢想到三角函數(shù)應(yīng)該還是比較自然的.

2.識別基本圖形

無論是解法1，還是解法2，都添加了相同的輔助線，構(gòu)造了“一線三直角”這一相似的基本圖形，可以說是這一基本圖形為上述試題的后續(xù)求解指明了繼續(xù)前進(jìn)的方向.作為一線教師應(yīng)該在教學(xué)中善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)基本圖形的積累和識別，只有這樣，學(xué)生才能夠在一些復(fù)雜的圖形中識別出基本圖形，進(jìn)而順利解決相關(guān)問題.此外，教師還應(yīng)該注意一些基本圖形的變式（比如“一線三直角”的變式圖形），真正使學(xué)生能夠做到“舉一反三、觸類旁通”，進(jìn)而提高學(xué)生的解題效率.

3.抓住核心考點(diǎn)

中考試題是命題人集體智慧的結(jié)晶，往往注重對核心考點(diǎn)的考查.在中考的備考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本地區(qū)往年的中考試題進(jìn)行核心考點(diǎn)的總結(jié)，比如上述試題綜合考查了相似三角形的判定、相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用及反比例函數(shù)中k的幾何意義，可以說以上考點(diǎn)在每年的中考試題中都會出現(xiàn)，是高頻考點(diǎn)，是核心知識，是整個(gè)初中階段的主干知識，也是進(jìn)入高中以后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)所在，應(yīng)該引起一線教師和學(xué)生的足夠重視，在有限的中考復(fù)習(xí)時(shí)間里，取得最大的效益，起到事半功倍的教學(xué)效果和學(xué)習(xí)效果.

四、變式引申

下面結(jié)合上述試題和思考，給出該問題的一個(gè)變式，一個(gè)引申，以期可以引發(fā)讀者更廣泛的關(guān)注.

圖3

圖4

五、結(jié)束語

解題能力應(yīng)該是一線教師必須具備的基本能力之一，而解題教學(xué)則在單純解題的基礎(chǔ)上對一線教師提出了更高的要求，比如需要關(guān)注方法是如何獲得的？考查了哪些考點(diǎn)？有無其他解法？哪種解法更簡潔、易想？有無變式和引申？除此之外，更要關(guān)注學(xué)生的實(shí)際情況等，在此基礎(chǔ)上才可能更好地開展解題教學(xué)，真正做到“入寶山而不空返”（羅增儒語），在提高學(xué)生的同時(shí)，提高自己，做到教學(xué)相長.H

*本文系東營市教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題《“反思性課堂教學(xué)模式”下中學(xué)作業(yè)改革的研究與實(shí)踐》（編號：125DYJG195）和《“導(dǎo)學(xué)·反思”和諧高效課堂教學(xué)的實(shí)踐與研究》（編號：125DYJG210）的階段性研究成果。