☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院　張定強

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數(shù)學(xué)問題：教師與學(xué)生視角的理性分析*

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院張定強

數(shù)學(xué)問題不僅是建構(gòu)數(shù)學(xué)教科書的核心要素，也是數(shù)學(xué)教與學(xué)的核心要素.教師通過對數(shù)學(xué)問題的剖析、意境的挖掘傳播數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，學(xué)生通過問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決獲取數(shù)學(xué)的知識、思想和方法.通過數(shù)學(xué)問題使數(shù)學(xué)的知識、思想、方法和精神在流動、豐富、發(fā)展，使師生不斷地品味數(shù)學(xué)的真善美，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)和力量.通過數(shù)學(xué)問題展開師生會話，溝通師生情感，激活師生思維，那么，如何在數(shù)學(xué)問題的形態(tài)下感悟、探討、提高、體驗、發(fā)展數(shù)學(xué)智慧就是本文思考的主旨之一.

一、數(shù)學(xué)問題：教師視角的分析

數(shù)學(xué)問題在教與學(xué)的過程中具有不可或缺性，這就決定了數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心地位.數(shù)學(xué)教師惟有全身心地卷入數(shù)學(xué)問題，才能從知識性、教學(xué)性、反思性的維度對數(shù)學(xué)問題的深度、寬度、關(guān)聯(lián)度進行深刻思考.

1.數(shù)學(xué)問題的知識性分析

數(shù)學(xué)問題是以某個對象中涉及數(shù)學(xué)方面的無知而渴望自覺解決的意識狀態(tài)［1］，是由顯性的情境、語言及隱性的目標、情感等要素建構(gòu)，以問題的形態(tài)表征，融知識性、思想性、問題性、方法性、情感性于一體.數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù)就是對數(shù)學(xué)問題中所蘊藏的知識要素進行分析，一要分析不同類別數(shù)學(xué)問題所蘊藏的知識成分，把數(shù)學(xué)問題中所涉及的不同領(lǐng)域相互聯(lián)系的知識性態(tài)透徹分析；二是要分析解決此類問題所需要的經(jīng)驗成分，從不同側(cè)面清晰解讀數(shù)學(xué)問題解決中所需的數(shù)學(xué)思想、方法；三要分析解決問題后需要加深理解的數(shù)學(xué)知識，從不同的維度拓展、深化此數(shù)學(xué)問題所關(guān)聯(lián)的核心、關(guān)鍵的問題.

如2015年安微省合肥市中考試題第10題：如圖1，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖像相交于P、Q兩點，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能為（）.

圖1

圖2

此題涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)及函數(shù)與方程之間的相互關(guān)系，需要教師認真挖掘一次函數(shù)、二次函數(shù)，函數(shù)、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，啟發(fā)引導(dǎo)運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程思想方法去解決問題，更進一步地理解一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì).

2.數(shù)學(xué)問題的教學(xué)性分析

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)問題是這一過程的活化因子.一方面數(shù)學(xué)問題承載著一定的知識、思想和方法，另一方面數(shù)學(xué)問題是促進學(xué)生數(shù)學(xué)進步的載體.因此數(shù)學(xué)問題就成為教師教學(xué)中優(yōu)先分析的要素，無論是設(shè)計層面、實施層面還是反思層面.一是圍繞著教學(xué)設(shè)計分析數(shù)學(xué)問題，深入地分析數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)、特征，整合各種資源，基于學(xué)生的學(xué)情創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)性的問題情景以吸引學(xué)生投入學(xué)習(xí)過程.二是圍繞教學(xué)實施分析數(shù)學(xué)問題，緊扣數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決而進行，將機智的教學(xué)用語、靈活的數(shù)學(xué)活動、適切的點撥啟示、關(guān)鍵的計算證明等融入全程，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的思考中夯實四基.通常數(shù)學(xué)問題是以例題、練習(xí)、習(xí)題、考題等形式出現(xiàn)，針對不同形態(tài)的問題，選擇適宜的教學(xué)方法，進行變式教學(xué)，在繼承熟能生巧、變式練習(xí)的傳統(tǒng)［2］基礎(chǔ)上教學(xué)創(chuàng)新，拓展思維、連接知識、提煉思想、析取方法.三是圍繞教學(xué)效益分析，剖析數(shù)學(xué)問題對學(xué)生知識水平的提高、思維的訓(xùn)練、興趣的激發(fā)方面所產(chǎn)生的功效，不斷調(diào)整數(shù)學(xué)問題的深度、廣度、難度，使數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題成為聯(lián)系的問題、彈性的問題、背景的問題，充分發(fā)揮其應(yīng)有的教學(xué)價值.

例如“有理數(shù)及其運算”（北師大版）章前言中的問題，就是啟動有理數(shù)教學(xué)的活化因子，提了6大問題，5大學(xué)習(xí)目標，這些問題就是教師教學(xué)中優(yōu)先思考的問題，無論是設(shè)計、實施還是評價層面，都是這一章節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，而這6大問題環(huán)環(huán)緊扣，貫穿這一章始末.

3.數(shù)學(xué)問題的反思性分析

反思性分析是教師的第二天性，而教師對數(shù)學(xué)問題本身及應(yīng)用于教學(xué)的分析就是反思性分析.數(shù)學(xué)問題中所涉及的知識、思想、方法有三類.一類是活性的知識與思想方法，是指在頭腦中獲得加工、積極運用，又被深入地內(nèi)化成為理解的正確信息；一類是主動性忽略的知識與思想方法，是指人們將實際錯誤的信息看成是正確的知識，而且這些錯誤的信息還在頭腦中獲得加工并得以積極應(yīng)用的心理過程；還有一種是惰性知識與思想方法，是指并不完全理解僅通過機械記憶進行加工的信息，而總會自以為理解了信息的意義［3］.對數(shù)學(xué)問題進行反思性分析就需要教師用反思的眼光對這三種類型批判分析.一是分析數(shù)學(xué)問題的思維過程，數(shù)學(xué)思維與人類思維的天生一樣，傾向于自欺、從眾、歪曲、無根據(jù)或偏見，教學(xué)中就要不斷剔除這些誤區(qū)，清晰而準確地描述數(shù)學(xué)問題，顯化數(shù)學(xué)問題中的題根、題干、題意、題串，揭示其活性；二是分析數(shù)學(xué)問題如何激活和養(yǎng)成問題意識與反思意識，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時能夠明題意、立方法、串思想、啟思維，剔除其忽略及惰性；三是分析數(shù)學(xué)問題的目標達成度，恰當(dāng)定位目標，拓展活動，反思數(shù)學(xué)問題的適宜度、教學(xué)方式的適用性，實現(xiàn)從教材到教學(xué)的轉(zhuǎn)化.

如程靖、孫婷、鮑建生在研究我國八年級學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力中測試了這么一道題：觀察三個特殊等式：，你能得出什么樣的結(jié)論？發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生得出了的錯誤結(jié)論［4］，其原因是日常學(xué)習(xí)過程中缺乏反思意識，僅對題目中的信息進行了機械加工，以為正確地理解了題目中所蘊藏的信息，犯了主動性忽略知識與思想方法的錯誤.因此，在日常的數(shù)學(xué)教與學(xué)中，要有意識地訓(xùn)練反思意識，才能激活活性知識.

二、數(shù)學(xué)問題：學(xué)生視角的參與

學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)問題就意味著學(xué)習(xí)活動的開啟，意味著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為與思維變化的發(fā)生，意味著記憶、推理、分析、綜合、批判等思維要素參與其中.通過問題學(xué)數(shù)學(xué)已成為一種基本的學(xué)習(xí)理念，對數(shù)學(xué)問題的熱愛與鉆研，對數(shù)學(xué)問題的癡迷與執(zhí)著，就意味著情感的投入、意志品質(zhì)的培植.因此，從學(xué)生的視角分析其在數(shù)學(xué)問題中的認知、行為、情感參與就十分重要.

1.數(shù)學(xué)問題的認知性參與

學(xué)生的認知性參與就是學(xué)生基于數(shù)學(xué)問題在思維參與下的信息加工.通常情況下，數(shù)學(xué)思維的目標決定提出的數(shù)學(xué)問題，提出的數(shù)學(xué)問題決定搜集信息的內(nèi)容，搜集信息的內(nèi)容影響解釋數(shù)學(xué)問題的角度，解釋數(shù)學(xué)問題的角度決定抽象概括信息的方式，抽象概括信息的方式影響確立的假設(shè)，確立的假設(shè)影響數(shù)學(xué)思維的潛在意義，數(shù)學(xué)思維的潛在意義會影響理解事物的方式，即觀點、視角、角度和立場.數(shù)學(xué)問題中對這些相關(guān)聯(lián)的要素系統(tǒng)分析會使學(xué)生的個性得以展現(xiàn)，創(chuàng)造力得以激發(fā).學(xué)生正是在參與數(shù)學(xué)問題的活動中掌握數(shù)學(xué)知識，豐富數(shù)學(xué)思想，增強數(shù)學(xué)智慧，也是在數(shù)學(xué)問題的思考與解決中，學(xué)會數(shù)學(xué)、學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)分享、學(xué)會鉆研.數(shù)學(xué)問題的解決需要一些公式、概念、原理等的掌握與領(lǐng)會，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)驗的參與，需要在師生間的解釋、論證、洞察、批判、變通、理解中發(fā)展成數(shù)學(xué)智慧.

2.數(shù)學(xué)問題的行為性參與

數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決需要學(xué)生的行為參與，其基本樣態(tài)就是說、做、思.說是能夠用數(shù)學(xué)的語言對數(shù)學(xué)問題進行解釋和分析，做就是通過嘗試、實驗、推導(dǎo)、演練、創(chuàng)新，實現(xiàn)解一題、會一類、通一片的目標，思就是對數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，與數(shù)學(xué)知識、教材、思維、生活等諸多方面的關(guān)系進行反思，養(yǎng)成會發(fā)現(xiàn)、會提問、會分析、能解決、善思考的習(xí)慣.學(xué)生基于數(shù)學(xué)問題的行為參與，就是把看、說、做、議、思等活動嵌入到數(shù)學(xué)教與學(xué)活動的始末，使學(xué)生成為一名積極的問題解決與思考者，形成問題解決的智慧模式，同時形成一種爭鳴機制，使學(xué)生富有激情地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考.無論是例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題、考試題，都能主動參與問題的解構(gòu)與建構(gòu)活動，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，使數(shù)學(xué)問題解決的力度、速度、廣度都能充分發(fā)揮它的功效.

如在解決這個數(shù)學(xué)問題中：圖3中的3×3×3立體圖形中立方體的總數(shù)是多少？長方體的總數(shù)又是多少？將此問題進行拓展，在n×n×n、l×m×n的圖形中，立方體、長方體的總數(shù)又是多少？

圖3

解決此問題，除了類比平面上與此類似的簡單問題，還要尋找實際模型（如魔方）進行對比分析、實際觀察和操作，使可見的認知行為與不可見的行為參與，就能順利地完成此問題的解決.

3.數(shù)學(xué)問題的情感性參與

由于數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)的艱難性、提出的科學(xué)性、分析的思維性、解決的探索性，都需要學(xué)生情感的參與，這樣才能品味到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意境，才能培植優(yōu)良的思維品質(zhì)，從而系統(tǒng)地思考解決問題的方式、對不理解的問題進行提問、堅持不懈地投入并在學(xué)習(xí)過程中掌握優(yōu)秀的思維技巧.沒有熱愛就不可能有數(shù)學(xué)進步，好多學(xué)生懼怕數(shù)學(xué)，產(chǎn)生迷思感、無助感，最為根本的就是缺乏情感投入，可見強烈的動機、興趣愛好、頑強意志、積極情感、獨特性格在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分關(guān)鍵.國家最高科學(xué)技術(shù)獎獲得者除了智力因素的作用，更重要的是非智力因素在其成長與科學(xué)研究過程中發(fā)揮的積極作用［5］.通過數(shù)學(xué)問題才能鍛煉學(xué)生學(xué)習(xí)的意志品質(zhì)，使學(xué)生形成從問題集走向核心的問題，從核心問題進入到問題系統(tǒng)，再從問題系統(tǒng)慢慢探討解決問題這樣一種學(xué)習(xí)過程.在這個過程中養(yǎng)成謙遜、勇氣、整合性、自主性、換位思考、堅毅及對推理的信心.

如PISA2012測試中有這樣一道樣題：為了完成一項有關(guān)環(huán)境的家庭作業(yè)，學(xué)生們搜集了一些關(guān)于幾種常見垃圾分解時間的信息：

垃圾類型　分解時間香蕉皮　1~3年橘子皮　1~3年硬紙箱　0.5年口香糖　20~25年報紙　幾天一次性塑料杯子　超過100年

有一個學(xué)生想要以柱狀圖的形式來展示結(jié)果，請說出一個理由表明為什么柱狀圖不適合用來展示這些數(shù)據(jù).本題被置于科學(xué)性情境之下，涉及數(shù)據(jù)的類別、解釋和呈現(xiàn)，時間跨度的相對長短等因素，需要在閱讀文本和理解表格時，對環(huán)境的關(guān)注、現(xiàn)實情境自然地介入解決過程中，而不僅僅是識別和提取出柱狀圖的關(guān)鍵數(shù)學(xué)特征，要充分地理解“使用數(shù)學(xué)工具”這一含義的多重意義.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)問題是教與學(xué)的基點，通過數(shù)學(xué)問題把教與學(xué)串聯(lián)起來.教師將整合教材、學(xué)生、技術(shù)等多種因素組織教學(xué)，選取適切的問題建構(gòu)一個探究和系統(tǒng)化學(xué)習(xí)的空間，使學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)問題不斷系統(tǒng)化、圖式化、可視化.學(xué)生將已有的知識、經(jīng)驗參與數(shù)學(xué)問題的研討與思考中，獲取對數(shù)學(xué)概念、原理、方法的理解與掌握.因此，作為教與學(xué)主體的教師與學(xué)生，要有問題意識，主動地開發(fā)問題空間，總結(jié)問題模式，優(yōu)化問題集，形成問題鏈，建成問題網(wǎng)，進而基于問題視角關(guān)注知識之間的相互聯(lián)系，聚焦核心問題，形成一個解決問題的系統(tǒng)，避免知識斷點化和碎片化，通過有層次的擴展、圖形化的遷移、系統(tǒng)化的貫穿，實現(xiàn)知識的整體建構(gòu)與學(xué)習(xí)的有效遷移，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

參考文獻：

1.張定強，曹春艷，張炳意.數(shù)學(xué)教科書建構(gòu)和解構(gòu)：理論和方法［M］.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

2.方運斌.“數(shù)學(xué)問題解決”研究的中國特色［J］.課程·教材·教法，2015（3）.

3.［美］理查·德保羅，琳達·埃爾德，著.批判性思維工具［M］.侯玉波，姜佟琳，等，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2013.

4.程靖，孫婷，鮑建生.我國八年級學(xué)生數(shù)學(xué)推理論證能力的調(diào)查研究［J］.課程·教材·教法，2016（4）.

5.李祖超，李蔚然，王夫娥.國家最高科學(xué)技術(shù)獎獲得者非智力因素分析［J］.教育研究，2015（10）.Z

*本文系教育部教師司項目“創(chuàng)新教師培養(yǎng)模式”（06-138-PY），西北師范大學(xué)2011年教學(xué)研究立項重點項目（2011001A）的階段性成果.