☉西北師范大學教育學院　謝　穎☉西北師范大學教育學院　王想全

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初中數學教科書中“統(tǒng)計與概率”習題的比較研究
————以“人教版”與“北師大版”為例

☉西北師范大學教育學院謝穎
☉西北師范大學教育學院王想全

一、引言

教科書既是依據課程標準和學生接受能力編寫的教學材料，也是教師授課與學生學習的重要載體.而習題是教材的重要組成部分，習題的配置在一定程度上反映了數學教材編者的價值取向與編寫風格，因此對教材中的習題進行研究是教材研究的一個重要方面.自新課程改革以來，“統(tǒng)計與概率”內容作為義務教育數學課程的4個學習領域之一，占有著非常重要的地位.基于此，以我國甘肅省現行使用的人民教育出版社出版的義務教育數學課程標準實驗教科書（以下簡稱“人教版”）與北京師范大學出版社出版的義務教育數學課程標準實驗教科書（以下簡稱“北師大版”）兩個版本的教科書為例，通過對兩個版本教科書中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在數量、認知水平和難度三個方面進行比較、研究，希望能為一線數學教師處理習題提供一些啟示.

二、研究設計

1.研究對象

本研究基于“人教版”與“北師大版”兩版初中數學教材，對教材中的習題進行分類與統(tǒng)計，整理出涉及“統(tǒng)計與概率”內容的教材、教材版次與知識模塊，如表1所示.

表1：“人教版”與“北師大版”兩版初中數學教材、版次與知識內容安排表

2.研究方法

對“人教版”與“北師大版”兩版初中數學教科書中“統(tǒng)計與概率”內容的習題部分，從習題的數量、認知水平和難度三個方面進行分析、比較和研究.發(fā)掘兩版教材在習題配置方面的異同，分析其優(yōu)勢與不足，為一線教師處理習題提出合理化建議.

三、研究結果與分析

1.習題數量的比較

本研究對兩版教材“統(tǒng)計與概率”內容中的各類習題數量進行統(tǒng)計.由于兩版教材配置的習題都有一個題目中包含多次提問和一個大題下有若干小題的情況，因此，在對習題數量進行統(tǒng)計時，對于題目里有多次提問的習題，根據習題性質，是否含有并列關系，若含并列關系為兩題，若不含并列關系，則按一個題目計算.例如，某年母親節(jié)，某電視臺作了一次調查，結果如圖所示（圖略）.（1）從這幅圖中，你得到什么信息？有什么感想？（2）就這個問題，對全班同學進行調查，看看結果怎樣.該題目中有2次提問，但每問均有聯系，不含并列關系，按1題計算.又如，以下調查中，哪些適宜全面調查，哪些適宜抽樣調查？（1）調查某批次汽車的抗擊能力；（2）了解某班學生的身高情況；（3）調查春節(jié)聯歡晚會的收視率；（4）選出某校短跑最快的學生參加全市比賽.該題目中有多次提問，含有并列關系，有4個小題，按4題計算.按此標準分別統(tǒng)計出兩版教材中“概率與統(tǒng)計”內容共有內容的練習題、習題和復習題的數量和所占比例，結果如表2所示.

表2：兩版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容習題總量統(tǒng)計表

從上表可以看出，在習題總量上，北師大版比人教版教材多59個題目.但從習題類型上看，兩版教材的習題均分為練習題、習題和復習題，人教版中的三類習題分別占習題總量的28.2%、44.2%、27.6%；北師大版的三類習題分別占習題總量的17.2%、53.2%、29.6%.可見，兩版教材習題配置差異不大，但人教版比北師大版更注重基礎性習題，而北師大版更加注重綜合性較強的復習題.

2.習題認知水平的比較

（1）習題水平層次的刻畫.

本研究采用文2中對習題認知水平的刻畫，把數學認知水平分為4個層次，如表3所示.

表3：習題認知水平層次刻畫表

在這4個層次中，水平1、2為較低認知水平，水平3為較高認知水平，水平4為高認知水平.本文中根據學生解答某類習題所需要達到的數學認知水平層次，對“統(tǒng)計與概率”內容習題的數學認知水平的層次作如下界定.

水平1：計算——操作性記憶水平.該層次的習題只需要學生具備最低層次的數學認知水平就可以完成解答.解答這類習題時，需要學生按照教材所明確要求的程序或方法進行基本的運算.這里只需要記住程序，按部就班地做即可，不需要理解運算.例如，從一批零件毛坯中抽取10個，稱得它們的質量（單位：g）如下：400.0，400.3，401.2，398.9，399.8，399.8，400.0，400.5，399.7，399.8.求這10個零件的平均質量.

水平2：概念——概念性記憶水平.該層次的習題是考查學生對教材中概念的理解.解答這類習題，需要學生呈現已經學習過的數學事實或術語、基本概念等，能對概念進行特殊分類，揭示概念的外延，并利用概念的定義進行簡單的識別活動.例如，指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件.（1）通常加熱到100℃時，水沸騰；（2）籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中；（3）擲一次骰子，向上一面的點數是6；（4）任意畫一個三角形，其內角和是360°；（5）經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈；（6）射擊運動員射擊一次，命中靶心.

水平3：領會——說明性理解水平.該層次的習題所要求的數學認知水平超越了前兩個僅依賴記憶的認知水平.解答這類習題，需要學生徹底理解所提問題的原理和問題中涉及的概念，對所給信息進行篩選、提煉和簡單的推理，使問題得到解決，這不僅需要對運算、概念有徹底的理解，還需要確定題目所給的哪些信息對解決問題是有用的，包括與例題相近的習題.例如，一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4.隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球.求下列事件的概率：（1）兩次取出的小球的標號相同；（2）兩次取出的小球標號的和等于4.

水平4：分析——探究性理解水平.該層次的習題需要學生具備高層次的數學認知水平.解答這類習題，需要學生對問題進行分析，并把分析過程綜合起來，創(chuàng)造性地解決問題.該類習題學生之前沒有接觸過或沒有現成的解決方案，包括開放題，探究性問題，不同于例題的非常規(guī)問題等.例如，鳥類學家要估記某森林公園內鳥的數量，你能用所學過的知識，為鳥類學家提供一種估計鳥的數量的方法嗎？（假定在一定的時期內，森林公園可以近似地看作與外部環(huán)境封閉）

（2）習題認知水平層次的比較分析.

根據以上對習題的數學認知水平層次的刻畫，本研究對兩版教材中“統(tǒng)計與概率”內容配置的練習題、習題和復習題從數學認知水平的維度進行分類統(tǒng)計，分別統(tǒng)計出兩版教材中不同類型習題在各水平層次的數量和比例.兩版教材中練習題與習題的數學認知水平層次統(tǒng)計結果如表4、表5所示，其中百分數為該水平的習題數量占此類總習題量的百分比.

表4：兩版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容練習題數學認知水平統(tǒng)計表

表5：兩版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容習題數學認知水平統(tǒng)計表

從上述兩表可以看出，兩版教材中的練習題與習題的水平層次差異不大.練習題的背景主要是單一的概念、運算法則，對某種數學技能和性質的應用等，主要以水平1和水平2的題目為主，而習題更注重水平3的綜合應用.水平1和水平2的題目主要考查學生對課本中知識內容概念的理解和基本計算；水平3的題目主要考查學生應用數學的概念和程序，進行簡單的推理和計算，為鞏固理解課堂教學知識而設置，而水平4的題目主要考查學生的探究能力，這類題型在練習題與習題中卻很少涉及.

復習題要求學生對知識、技能進行分析、綜合、復習與運用，創(chuàng)造性地解決相關綜合性強的題目，靈活性更高，綜合性更強，供每章復習時使用.人教版中的復習題包括復習鞏固、綜合運用和拓廣探索；北師大版中的復習題包括知識技能、數學理解和聯系拓廣.兩版教材中復習題的數學認知水平層次統(tǒng)計結果如表6所示.

表6：兩版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容復習題數學認知水平統(tǒng)計表

從表6可以看出，兩版教材中的復習題包含水平1至水平4各認知水平層次的題目，水平層次差異不大.水平1和水平2的題目占復習題總數的60%左右，水平3和水平4的題目占復習題總數的40%左右.充分說明了兩版教材的復習題既有以單一概念和簡單數學技能為背景，供課內“鞏固課堂所學知識技能”使用的題目，也有以綜合運用與探究實踐為背景，供課外“培養(yǎng)學生能力和發(fā)展智力”所用的題目.其中，北師大版中有少量帶※號的題目，此類題目在難度上略有提高，僅供學有余力的學生使用.

為分析習題的總體認知水平，本研究統(tǒng)計兩版教材中“統(tǒng)計與概率”共有內容的所有習題中各認知水平題目的數量及其所占比例，統(tǒng)計結果如表7所示.

表7：兩版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容習題總體數學認知水平統(tǒng)計表

從表7可以看出，在習題認知水平上，兩版教材的習題數量總體差異不大.整體來看，較低認知水平（水平1與水平2）習題、較高認知水平（水平3）習題和高認知水平（水平4）習題的比重大約控制在7∶2∶1，充分顯示出我國教材既重視基礎性、低認知水平，也重視綜合性強、高認知水平.反映了我國教材中習題選擇和編排的層次性，這點既滿足新課程改革的教學要求，也非常符合我國的水平結構化考試要求.

3.習題綜合難度的比較

（1）習題綜合難度的刻畫.

本研究采用文3中對習題綜合難度的刻畫，把數學習題綜合難度分為以下5個層次，如表8所示.

表8：數學題綜合難度因素的水平劃分表

從上述五個難度因素，即“探究”“背景”“運算”“推理”“知識含量”上入手分析習題的綜合難度，得到習題的綜合難度的加權平均計算公式：

按照五個難度要素依次對兩個版本的教材中數學習題進行歸類與分析，然后利用綜合難度模型進行整體分析，對“統(tǒng)計與概率”內容習題的數學綜合難度的層次作如下界定.

下面先舉例說明如何應用“數學題綜合難度模型”對“統(tǒng)計與概率”習題進行劃分.

例請你通過查閱資料的形式，回答下列問題：地球上淡水資源占總水量的百分比是多少？我國淡水資源的總量約為多少立方米？人均為多少立方米？（北師大版七年級上冊第159頁習題6.1第一題的第一小問）

分析：此題需要查閱資料，求百分比和平均數，歸為“理解”水平的習題；涉及背景是地球上淡水資源、我國淡水資源，屬于“科學情景”的習題；需要求總量、百分比還有平均數，所以歸為“數值計算”；此題要求先查閱資料找出地球上的淡水資源量、我國的淡水資源量和總水量，然后計算百分比和平均數，所以歸為“簡單推理”型習題；此題涉及三問，所以歸為“三個及三個以上知識點”的習題.

綜合歸類：理解；科學情景；數值計算；簡單推理；三個及三個以上知識點.

（2）習題綜合難度的比較分析.

采用以上標準對兩版教材中“統(tǒng)計與概率”內容中407道習題進行分類、統(tǒng)計與研究，得到以下結論.

①探究水平的比較.

統(tǒng)計表明，人教版教材和北師大版教材中“統(tǒng)計與概率”內容題目在探究水平上，屬于“識記”水平的習題所占比例分別為0.57%和0.00%；屬于“理解”水平的習題所占比例分別為85.64%和83.69%；在“探究”水平上習題所占比例分別為13.79%和16.31%.（見圖1）

圖1：“統(tǒng)計與概率”內容的習題在探究水平上的比較

從上圖可得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在探究水平上各部分所占的比例差別不是太大，都以“理解”為主（所占比例達到了80%以上），此部分人教版教材只比北師大版教材高了1.95個百分點.人教版教材中屬于“識記”水平的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高0.57個百分點，而人教版教材中屬于“探究”水平的習題所占的比例卻比北師大版相應部分的習題所占的比例低了2.52個百分點.

通過分析可以得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容部分的習題在探究方面比較側重的是“理解”，探究水平明顯較低.兩個版本教材中屬于“探究”水平的題目在數量較少的基礎上，主要出現在小節(jié)習題的最后或單元復習題的最后，而極少出現在章節(jié)的“練習題”“課堂練習”等部分的習題中，這是從具體題目上看得出來的結果.

②背景水平的比較.

統(tǒng)計表明，人教版教材和北師大版教材中“統(tǒng)計與概率”內容的題目在背景水平上，屬于“無實際背景”的習題所占比例分別為4.02%和1.72%；與“個人生活”有關的習題所占比例分別為45.98%和67.38%；屬于“公共常識”的習題所占比例分別為43.10%和26.18%；屬于“科學情景”的習題所占比例分別為6.90%和4.72%.（見圖2）

圖2：“統(tǒng)計與概率”內容的習題在背景水平上的比較

從上圖可得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在背景水平上各部分所占的比例差別略大，人教版教材中屬于“無實際背景”的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高2.30個百分點；屬于“公共常識”的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高16.92個百分點；屬于“科學情境”的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高2.18個百分點；而屬于“個人生活”水平的習題所占的比例卻比北師大版相應部分的習題所占的比例低了21.40個百分點.

綜合地看，兩個版本的初中數學教材中，“統(tǒng)計與概率”內容的習題在背景素材的選用上非常合理，屬于“個人生活”和“公共常識”的習題占據了90%左右，這充分說明了兩個版本教材中“統(tǒng)計與概率”部分的習題更多地體現了新課程改革的要求，貼近學生的生活實際要求.

③運算的比較.

統(tǒng)計表明，人教版教材和北師大版教材中“統(tǒng)計與概率”內容的題目在運算水平上，不含運算的習題所占比例分別為18.39%和14.16%；含有“數值運算”的習題所占比例分別為62.07%和62.66%；包含“簡單符號運算”的習題所占比例分別為19.54%和23.18%；沒有包含“復雜符號運算”的習題.（見圖3）

圖3：“統(tǒng)計與概率”內容的習題在運算水平上的比較

從上圖可得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在運算水平上各部分所占的比例差別不大，人教版教材中不含運算的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高4.23個百分點；而含有“數值運算”和“簡單符號運算”的習題所占的比例卻比北師大版相應部分的習題所占的比例分別低了0.59和3.64個百分點.

總體來看，兩個版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容對習題運算水平要求較高，尤其是數值計算水平的題目所占的比例都超過了60%.

④推理的比較.

統(tǒng)計表明，人教版教材和北師大版教材中“統(tǒng)計與概率”內容的題目在推理水平上，不含推理的習題所占比例分別為50.57%和42.49%；含有“簡單推理”的習題所占比例分別為48.86%和52.36%；屬于“復雜推理”的習題所占比例分別為0.57%和5.15%.（見圖4）

圖4：“統(tǒng)計與概率”內容的習題在推理水平上的比較

從上圖可得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在推理水平上基本趨于一致，人教版教材中不含推理的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高8.08個百分點；而含有“簡單推理”和“復雜推理”的習題所占的比例卻比北師大版相應部分的習題所占的比例分別低了3.5和4.58個百分點.

總體來看，兩個版本教材中“統(tǒng)計與概率”內容，“無推理”和“簡單推理”習題幾乎占了全部，而僅有少量“復雜推理”的習題也是在復習題中的“拓廣探索”和“聯系拓廣”欄目中出現，供學有余力的學生使用，充分體現了教材注重基礎性練習.

⑤知識含量的比較.

統(tǒng)計表明，人教版教材和北師大版教材中“統(tǒng)計與概率”內容的題目在知識含量水平上，含有“單個知識點”的習題所占比例分別為64.37%和42.92%；含有“兩個知識點”的習題所占比例分別為16.09%和29.18%；屬于“三個及三個以上的知識點”的習題所占比例分別為19.54%和27.90%.（見圖5）

從上圖可得出，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題在知識含量水平上差別較大，人教版教材中含有“單個知識點”的習題所占的比例比北師大版教材中相應部分的習題所占的比例高21.45個百分點；而含有“兩個知識點”和“三個及三個以上的知識點”的習題所占的比例卻比北師大版相應部分的習題所占的比例分別低了13.09和8.36個百分點.

從圖中可以看出，兩套教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題以“單個知識點”和“兩個知識點”的問題為主，“三個及三個以上知識點”的題目略少.這表明兩個版本的數學教材中“統(tǒng)計與概率”內容的習題更注重數學知識本身的關聯.

前面根據五個難度因素對“人教版”和“北師大版”兩版本初中數學教材中的“統(tǒng)計與概率”內容的習題進行了比較，但這還不能從整體上看出兩套教材中習題的綜合難度水平.為了解決這一問題，對兩版教材中屬于各個難度因素的不同水平的題目數量進行了統(tǒng)計，并利用公式計算各因素的加權平均值，得出以下結果，如表9所示.

表9：兩版教材中習題難度水平的比較研究結果

由此便得到了反映兩版教材中數學期望課程綜合難度的五邊形模型（見下面的雷達圖）：

圖6：“統(tǒng)計與概率”內容習題的比較研究雷達圖

由此得出，北師大版在“探究”“運算”“推理”“知識含量”四個因素上略占優(yōu)勢，而人教版僅在“背景”因素上略高于北師大版.從整體態(tài)勢上看，兩版教材的習題期望課程在五個因素上相對比較平衡.

整體上來說，兩個版本的初中數學教材中“統(tǒng)計與概率”部分的習題在五個因素上比較平衡，較為明顯地側重“探究”“背景”“運算”三個因素，特別是“探究”和“背景”兩個因素.這與選材有關，因為比較的是兩個版本中“統(tǒng)計與概率”內容的習題，會涉及很多生活、社會、科學背景.這充分響應了國家數學新課程改革提出的探究能力和數學實際應用方面的要求，新教材的編寫在一定程度上彌補了過去在“探究”與“背景”兩個因素上的不足.

四、研究結論與建議

在習題數量上，北師大版比人教版教材多59個題目，人教版比北師大版更注重基礎性習題，而北師大版更加注重綜合性較強的習題；在認知水平上，較低認知水平習題、較高認知水平習題和高認知水平習題的比重大約控制在7∶2∶1，說明我國教材既重視基礎性習題，也重視綜合性習題；在習題難度上，兩版教材側重于“探究”、“背景”和“運算”三個因素，與現實生活、科學背景等相融合，突出了“統(tǒng)計與概率”內容的知識特點.

注重課后練習、精選習題、有效訓練是學好數學的有效方案.作為教師，要對教材中的習題加以靈活運用，針對具體的知識內容，設置能夠促進學生思維發(fā)展并使學生產生學習興趣的問題情境.選擇合理的教學方式，能夠讓學生掌握基礎知識的同時能獲得思維能力.對習題進行有效開發(fā)，在保證習題質量的基礎上，確保習題的數量，減輕學生的負擔.

參考文獻：

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