☉江蘇省泰州市蘇陳中學　韓新正☉江蘇省泰州市智堡實驗學?！腔萜?/p>

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基于認知優(yōu)化教材追求自然
——對教學設計的幾點思考

☉江蘇省泰州市蘇陳中學韓新正
☉江蘇省泰州市智堡實驗學校吳惠平

數(shù)學教材為學生的學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源.課堂教學是教師以教材為索引，以知識為載體，培養(yǎng)學生提出問題與發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題能力的過程.由于教材的編寫受到教材體例的限制，所以從教材到教學需要精心設計，教學既不能滿足于把教材梳理一遍就稱之為教學，而教學也不能拋開教材，另起爐灶.我們追求自然流暢的教學，就必須從學生現(xiàn)有的認知水平出發(fā)，以學生“自然想到”為著力點，通過適度調整教材，順應學生思維，促進知識自然生長，從而實現(xiàn)真正意義上的“用教材教”的目的.下面筆者以最近聽的一節(jié)隨堂課的兩個教學片斷為例，談談對“用教材教”的幾點感受，教學內容為人教版《義務教育課程標準教科書·數(shù)學》八年級上冊“13.1.2線段的垂直平分線”，供參考.

一、教學片斷

下面兩個教學片斷，教師充分尊重教材的編排體例，幾乎未做任何改變直接用于教學.

片斷1：這是本節(jié)課的開始部分.

教師：上節(jié)課我們學習了軸對稱，并且知道線段是軸對稱圖形，線段的一條對稱軸是線段的垂直平分線，那么線段的垂直平分線有什么性質呢？我們一起進行如下的探究，如圖1，直線l垂直平分線段AB，

P1、P2、P3、…是l上的點，分別量一量點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

學生在自己的課本上測量后，有的得出AP1=BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，也有不少同學得不出它們相等.

教師：如果我們測量的數(shù)據(jù)精確到0.1，則有AP1= BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，你能把你的發(fā)現(xiàn)用數(shù)學語言概括一下嗎？

片斷2：這是在探究、證明了線段垂直平分線的性質和判定之后.

教師：剛才我們已經(jīng)系統(tǒng)地研究了線段垂直平分線的性質和判定，下面我們一起看一道例題.

例1尺規(guī)作圖，經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.

已知：直線AB和AB外一點C（如圖2）.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

圖2

教師：大家根據(jù)教材提供的作法完成作圖過程，同時思考每一步的作圖理由.

作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁；（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；（3）分別以點D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.

學生通過認真看書、小組交流、教師講解理清了作法的意義，明白了為什么直線CF就是所求作的垂線的道理.并按照老師的要求重新畫圖一次以鞏固所學.

二、對“教學片斷”的質疑

在片斷1中，學生的疑問是“老師，你怎么想到測量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的長度？”“通過測量后，有些數(shù)據(jù)不相等，你為什么要說精確到0.1它們就相等了？”在片斷2中，學生的疑問是“圖形作好之后，我能看懂，也會證明，但我想不到這樣的作法，老師你是怎么想到的呢？”細細分析，我們發(fā)現(xiàn)，在這兩個教學片斷中，學生只是“測量”、“作圖”的機械執(zhí)行者，其間并沒有深刻而主動的思維活動.學生的困惑來自于所學的知識和他現(xiàn)有的認知之間的沖突，在學生現(xiàn)有認知和要學的知識之間缺少緩沖地帶，教材給學生的只是陳述性的知識，是能讓學生看懂的知識，但無法解決學生思維的困惑，“我怎么能自然想到？”這需要教師的主動引領.一方面教師要通過創(chuàng)設合適的情境，從學生實際出發(fā)，迅速進入學生的最近發(fā)展區(qū)，在學生已有認知基礎上，構建新的認知結構；另一方面教師要通過適當調整教材，以符合學生思維規(guī)律，讓學生在合適的情境下“自然想到”，讓學生既知其然，更知其所以然，讓“用教材教”恰到好處.

三、從教材安排和學生認知基礎分析教學設計

從教材的安排順序看.本節(jié)課是“第13章軸對稱”的第二課時，第一課時安排的是軸對稱和軸對稱圖形的概念，上一章是“全等三角形”和“角平分線的性質與判定”.從這一教材順序中可以看出，線段和角都是軸對稱圖形，但分布在兩個章節(jié)中，顯然，本節(jié)課可以類比“角平分線的性質”來進行研究“線段的垂直平分線”，從“角平分線的性質”生長出“線段垂直平分線的性質”.片斷1的教學可以先復習“角平分線的性質”，然后引入線段也是軸對稱圖形，它的對稱軸有什么特征呢？這時我們類比“角平分線上的點”來探索“線段垂直平分線上的點”，再類比“角有兩條邊”，“線段有兩個端點”，角平分線是“點到線的距離”，則線段垂直平分線是“點到點的距離”，從而猜想“線段垂直平分線的性質”.在片斷2的教學中，要求尺規(guī)作圖經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線，我們思考能否把要作的垂線轉化為作某條線段的垂直平分線（本節(jié)課的內容提示），關鍵就是尋找到一條線段，且這條線段的垂直平分線經(jīng)過點C，于是自然想到在直線AB上尋找這樣一條線段，使得該線段的垂直平分線經(jīng)過點C.

從學生的認知基礎看.學生的學習過程就是在原有的認知基礎上，接受新的知識，使原有的認知結構得到豐富和改組，形成新的數(shù)學認知結構的過程.在這一過程中，原有的認知結構越清晰，越容易提取，也就容易找到新知的固著點，新知識若能從原結構中自然生長，則學習越輕松、自然，新的認知結構越牢固.學生在學習了全等三角形和角平分線性質的基礎上，在學生已有的認知圖式中，教師引導學生從角平分線的角度去構建線段垂直平分線，就顯得自然了.另外，由于本節(jié)課是研究線段的垂直平分線，而片斷2是要作直線的垂線，學生自然要想到如何把求作直線的垂線轉化為求作某線段的垂直平分線？這時就轉化為在直線AB上求一條線段，使這條線段的垂直平分線經(jīng)過點C，學生自然想到以點C為圓心畫弧交直線AB于點D、E，線段DE就是所求的線段.

四、對兩個教學片斷的改進

1.對片斷1的改進

教師：在上一章，我們學習了角平分線的性質，請大家回憶一下.角是軸對稱圖形，它的對稱軸是什么，角平分線上的點有什么特點？（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）如何證明這一結論？（利用三角形全等證明）

在學生對角、角平分線的知識進行認真復習、梳理后.教師板書研究角平分線性質的思路.

教師：線段是軸對稱圖形嗎？怎么證明線段是軸對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？其中線段的垂直平分線上的點有什么特點？你能類比角平分線的性質進行猜想嗎？運用測量的方法驗證你的猜想（這時可以運用教材中的探究方法）.把你的猜想用數(shù)學語言表達出來，證明你的猜想（是否也可以利用三角形全等證明）.

2.對片斷2的改進

教師：如圖3，已知：直線AB和AB外一點C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.方法不限，請大家自由思考.

圖3

圖4

學生1：把直線AB對折，使折痕經(jīng)過點C，折痕所在直線就是AB的垂線.

學生2：用量角器直接量出∠CDB=90°即可，如圖4.

學生3：使直角三角尺的一條直角邊與AB重合，另一條直角邊經(jīng)過點C，過點C的直線即為AB的垂線.

教師：如果用尺規(guī)作圖，該如何思考呢？從上面的三種方法中能否找到可以借鑒的作法？

顯然，從上面三種作法中找不到可以借鑒的經(jīng)驗，這時老師的引導顯得非常重要.

教師：過點C作直線AB的垂線難以下手，結合我們今天所講的內容（線段垂直平分線），我們是否可以做這樣的轉化？能否在直線AB上找到一條線段DE，使得線段DE的垂直平分線經(jīng)過點C？如果找到這樣的線段DE，則必有CD=CE，那么如何作出CD=CE呢？（這一步可以留出時間讓學生思考、討論，為什么會想到這樣的轉化？把未知轉化為已知的化歸思想是數(shù)學的重要思想）

學生4：以點C為圓心，以足夠長為半徑作弧交直線AB于點D、E.如圖2

教師：半徑有要求嗎？

學生5：必須保證所畫的弧和直線AB有交點，所以學生4說“以足夠長為半徑”.

教師：接下來怎么辦？

學生6：既然已經(jīng)找到線段DE，下面就是求作DE的垂直平分線了，作法是：分別以點D和點E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F，作直線CF，直線CF就是所求作的垂線.

教師：可以把上述思考過程用框圖（圖5）表示出來.

大家思考這一作圖過程，你認為哪一步最重要？

圖5

學生7：我認為把“過直線外一點C作已知直線AB的垂線”轉化為“過直線外一點C作線段DE的垂直平分線”這一步最重要.一方面，它關聯(lián)起了新情境和已學知識間的聯(lián)系，面對新情境，可以轉化為已學知識來解決，另一方面，我們學會了面對新問題如何進行思考的方法.

五、教學反思

1.教學設計的追求：設計無痕，思維自然

教學設計的最終目的是為了提高教學效率和教學質量，使學生在單位時間內能夠學到更多的知識，更大幅度地提高學生各方面的能力，從而使學生獲得良好的發(fā)展.在教學過程中，學生已有的認知基礎、新知識的難易程度、教材的呈現(xiàn)方式等大都是矛盾的兩面，如何協(xié)調其間的矛盾，使教育的成效最大化？只有依靠教師的巧妙設計，基于學生認知現(xiàn)狀，適當改造教材，使知識的呈現(xiàn)方式符合學生的認知水平，有利于學生自然思維.又因為學生是一個個鮮活的個體，有著個性鮮明的思維方式，任何過于雕飾的設計都會對學生產生負面的影響，唯有把教育隱藏在每個細節(jié)中，教育才能潤物無聲，正如蘇霍姆林斯基說的那樣：“把教育意圖隱蔽起來，是教育藝術十分重要的因素之一.”所以，我們追求“設計無痕，思維自然”的設計最高境界.對片斷1的改進從復習角平分線的性質入手，通過類比其研究方法來探究垂直平分線的性質，思維自然，設計不露痕跡；對片斷2的改進從先復習過直線外一點作已知直線的垂線入手，順勢提出能否借鑒上面方法用尺規(guī)作出垂線？在無法借鑒后，再次提出能否轉化為作線段的垂直平分線？也就是把未知轉化為已知（剛剛才學的新知識），這時轉化為在已知直線上求作一條線段，使該線段的垂直平分線經(jīng)過已知點.這樣的思維自然、流暢，對教材的改造不露痕跡.

2.教學設計的起點：基于學生現(xiàn)狀

教學設計要基于學生的認知水平.美國教育心理學家奧蘇伯爾說過：“影響學生學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況進行教學.”《數(shù)學課程標準（2011年版）》也強調：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上.因此在課堂教學設計中，教師應該準確把握教學的起點，從學生的已有知識出發(fā)，在學生的最近發(fā)展區(qū)，讓知識自然生成，讓思維自由飛翔.對片斷1的改進就是基于學生已經(jīng)掌握了角平分線性質的探究方法和角與線段都是軸對稱圖形這一認知現(xiàn)狀，才為類比角平分線學習線段垂直平分線打好基礎.對片斷2的改進是基于剛剛學習了線段垂直平分線的性質這一認知現(xiàn)狀，把作已知直線的垂線轉化為作線段的垂直平分線就水到渠成，且思路自然.

3.教學設計的抓手：理解教材、優(yōu)化教材

雖然教材是學生學習的載體，但其受到知識體系和教材編寫的限制，教學中不能完全按照教材內容進行教學，需在理解教材的基礎上，適當調整和優(yōu)化教材.如果教學中嚴格按照教材的內容引入，學生會產生一些困惑，比如片斷1中，學生提出“你怎么想到測量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的長度？”片斷2中學生提出“圖形作好之后，我能看懂，也會證明，但我想不到這樣的作法，老師你是怎么想到的呢？”在教學過程中，學生根本不知道下一步做什么，始終“被動地跟著老師走”.表面上看，學生是在回答一個又一個問題，積極參與了知識形成的思維活動，但是學生并不知道整個活動的目的，尤其在片斷2中，等到學生畫出圖形后，才恍然大悟，這一過程中，學生只是教師各項指令的機械執(zhí)行者，并不能形成深刻而主動的思維活動.教師只有深刻理解教材，順應學生思維，立足學生認知基礎，從學生的角度出發(fā)，優(yōu)化教材設計，才能形成自然、生動的課堂.

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