初曉文吉林省琿春市第一高級(jí)中學(xué)

等待·放權(quán)·探究
——《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)例談

初曉文
吉林省琿春市第一高級(jí)中學(xué)

新的課程視角下，如何“從生活中來，到生活中去”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)互為印證，需要教師的耐心和選擇，當(dāng)然，更需要教師的眼界和氣魄。這種“眼界和氣魄”更多地表現(xiàn)在：教師應(yīng)該多一些等待，多一些放權(quán)，給予孩子們更多自主探索延伸的自由和空間。

等待；放權(quán)；探究

人教版高中A版數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如何“從生活中來，到生活中去”，讓知識(shí)和現(xiàn)實(shí)互為印證，發(fā)生深刻共鳴，需要教師的耐心和選擇，當(dāng)然，更需要教師的眼界和氣魄。這種“眼界和氣魄”更多地表現(xiàn)在：教師應(yīng)該多一些等待，多一些放權(quán)，給予孩子們更多自主探索延伸的自由和空間。

一、等待的藝術(shù)——“千樹萬樹梨花開”

教育，30%是啟發(fā)，70%是等待——教育應(yīng)該是等待的藝術(shù)。的確，快速地奔向終點(diǎn)，只能擠壓孩子們的“思維空間”，消解孩子們的“思維張力”。所以，優(yōu)秀的教師都善于等待，善于在“疑難處”、“拐彎處”駐足等待?；蛟S，只是幾分鐘的等待，孩子們就已經(jīng)經(jīng)歷了從不會(huì)時(shí)的凝神思考，到有所發(fā)現(xiàn)時(shí)的喜形于色，到最后成功時(shí)的忘乎所以。

聽過一堂人教版高中A版數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》的公開課，從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo).不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯(cuò)。

既然如此，教師就不該急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.故事引入：“ 一個(gè)窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬；但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當(dāng)受騙,所以很為難。”請(qǐng)?jiān)谧耐瑢W(xué)思考討論一下,窮人能否向富人借錢?

2.基本題型練習(xí)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算（例題略）；錯(cuò)位相減法求和（例題略）。

3.類比聯(lián)想，解決問題。如何將結(jié)論一般化，如何結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,把sn用a1、an、q表示出來？

在具體的教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生一定要知道“知三求二”，也就是要知道等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及通項(xiàng)公式涉及五個(gè)量中的任意三個(gè)量；一定要經(jīng)常使用整體代換的思想，一定要分別討論q≠1與q＝1兩種情況。

好的數(shù)學(xué)教學(xué)都應(yīng)當(dāng)是循序漸進(jìn)的過程，不應(yīng)當(dāng)操之過急，直奔結(jié)果。每一個(gè)小孩都不一樣，其偏好、負(fù)荷力、學(xué)習(xí)效能感和可塑性都不一樣，這更意味著教師要慢下來。等一等，等待著“別有洞天”，等待著瓜熟蒂落的那一刻，而那一刻就是“千樹萬樹梨花開”般的教學(xué)奇觀。

二、放權(quán)的藝術(shù)——“春江水暖鴨先知”

直接拋給學(xué)生一系列問題，其實(shí)在“悄悄地”剝奪了學(xué)生的諸多權(quán)利：記憶被激活的權(quán)利、經(jīng)驗(yàn)被印證的權(quán)利、自主設(shè)計(jì)問題的權(quán)利……與其這樣，不如充分地放權(quán)，讓孩子們自主選擇、自我設(shè)問、自我建構(gòu)。

仍然以《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》的教學(xué)為例，應(yīng)放權(quán)讓學(xué)生自主探索1，2，22，…，263是什么數(shù)列？有何特征？留出充足的時(shí)間讓學(xué)生自主比較，自我反思，或許學(xué)生自己會(huì)發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，學(xué)生必將體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。

“春江水暖鴨先知”——身處在“學(xué)習(xí)之水”中的孩子們，才能最先察覺自己學(xué)習(xí)中的諸多“冷暖”。當(dāng)孩子們自主選擇那些熟知的生活圖景構(gòu)建數(shù)學(xué)問題時(shí)，才能“鴨先知”，而那種“先知感”的喜悅，恰恰才是學(xué)習(xí)最大的動(dòng)力。

三、探究的藝術(shù)——“一枝紅杏出墻來”

誠然，孩子們的自主自悟不可或缺，但好的教學(xué)還要追求“迂回、輾轉(zhuǎn)和曲折”之境界，讓孩子們學(xué)會(huì)探究，學(xué)會(huì)延伸，抓住“出墻的紅杏”多多“較真”，讓教學(xué)體現(xiàn)出一種真正的“增量”。

比如，人教版高中數(shù)學(xué)的《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)以下拓展題：

在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國王大為贊賞，對(duì)他說：我可以滿足你的任何要求.西薩說：請(qǐng)給我在棋盤的64個(gè)方格上，第1個(gè)格子里放1千噸小麥，第2個(gè)格子里放2千噸，第3個(gè)格子里放3千噸，如此下去，第64個(gè)格子放64千噸小麥，請(qǐng)給我這些小麥？

同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出小麥總數(shù)，帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算起來，通過計(jì)算需要1+2+ 3+?+64=2080(千噸)結(jié)果出來后，國王認(rèn)為西薩胃口太大，而國庫空虛，還是提個(gè)簡(jiǎn)單的要求吧！西薩說：國王，我希望在第1個(gè)格子里放1顆麥粒，第2個(gè)格子里放2顆，第3個(gè)格子里放4顆，如此下去，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一格麥粒數(shù)的2倍,請(qǐng)給我這么多的麥粒數(shù)？

還可以設(shè)計(jì)以下拓展題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？

好的數(shù)學(xué)課堂沒有固定模式，沒有謝幕和完稿。精彩高效的課堂一定是一個(gè)充分打開和擴(kuò)展的世界：師生的心、思維、情感在打開；數(shù)學(xué)原野的邊界在擴(kuò)展。當(dāng)然，這一切，在于教師要舍得放棄，要充分地放權(quán)。引領(lǐng)孩子們?cè)跀?shù)學(xué)的密林深處，或自主探索，或多重延伸，或登高望遠(yuǎn)，這才是數(shù)學(xué)的魅力，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)有之義。