張建民　汪喜天

(安徽省潁上第一中學(xué)，236200)

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數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)
——以“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”教學(xué)為例

張建民汪喜天

(安徽省潁上第一中學(xué)，236200)

一、引言

隨著新課程改革的進(jìn)一步發(fā)展,課堂教學(xué)的模式正悄然發(fā)生改變.有研究者指出,在課程與教學(xué)領(lǐng)域正在發(fā)生范式的遷移,即從“內(nèi)容+學(xué)生+講授者”轉(zhuǎn)向?yàn)椤皢栴}+問題解決者+指導(dǎo)者”,后者即為探究式教學(xué)模式．為實(shí)踐新課程的基本理念，“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”,數(shù)學(xué)探究日益成為一線教師積極嘗試的課堂教學(xué)方式之一．

探究教學(xué)模式的理論基礎(chǔ)是杜威的“五步教學(xué)法”和布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論．杜威提出的“教學(xué)五步”是:第一,學(xué)生要有一個(gè)真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)的情境——要有一個(gè)對(duì)活動(dòng)本身感興趣的連續(xù)的活動(dòng);第二,在這個(gè)情境內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)真實(shí)的問題,作為思維的刺激物;第三,要占有知識(shí)資料,從事必要的觀察,對(duì)付這個(gè)問題;第四,必須一步一步地展開他所想出的解決問題的方法;第五,要有機(jī)會(huì)通過運(yùn)用來檢驗(yàn)他的想法,使這些想法意義明確,并且讓他自己去發(fā)現(xiàn)他們是否有效．布魯納認(rèn)為:“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)就是以培養(yǎng)探究性思維的方法為目標(biāo),以基于教材為內(nèi)容,使學(xué)生通過再發(fā)現(xiàn)的步驟進(jìn)行學(xué)習(xí)”.探究教學(xué)模式的操作程序主要有:創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲;教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)概念、原理;歸納總結(jié),拓展應(yīng)用．

基于此,設(shè)計(jì)有利于激發(fā)學(xué)生探究的動(dòng)機(jī)和需求的問題,是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)展開的關(guān)鍵.注重學(xué)生在已有的知識(shí)發(fā)展水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的思維自由伸展,體驗(yàn)自主獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的樂趣,回歸探究的本真是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的核心.本文筆者就“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”(北師大版高中數(shù)學(xué)必修1第四章第一節(jié)“函數(shù)與方程”第一課時(shí))教學(xué)為例,談?wù)勛约旱乃伎己蛯?shí)踐,與同行交流探討．

二、教學(xué)案例

問題1方程x2-x-6=0是否有解?如何判定?若有解,如何求解?

設(shè)計(jì)說明學(xué)生對(duì)一元二次方程的根的判定和求解是已經(jīng)掌握的知識(shí).用根的判別式Δ=b2-4ac可以判定所有一元二次方程的根的存在情況,當(dāng)Δ≥0,可用求根公式求出所有一元二次方程的根.另外，也可以利用函數(shù)圖象法求解,即利用函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來確定方程的解,這也是學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),學(xué)生是熟悉的．這樣設(shè)計(jì)是“依據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”(課標(biāo)要求),是學(xué)生進(jìn)行探究的基點(diǎn),也為以下的探究活動(dòng)奠定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的．

課堂實(shí)踐:

生1:由根的判別式Δ=25,可判定方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,因式分解法求出方程的根是3和-2.

生2:也可以用求根公式求出它的根是3和-2.

師:還有什么方法可以判定此方程的根?

(學(xué)生思考片刻后)

生3:圖象法,畫出函數(shù)f(x)=x2-x-6圖象,發(fā)現(xiàn)圖象與x軸交點(diǎn)有兩個(gè),分別是(3,0)和(-2,0)(圖象展示在黑板上)，即3和-2是方程的根．

師:很好,下面我們明確一個(gè)概念,函數(shù)的零點(diǎn):我們把函數(shù)y=f(x)的圖象與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

問題2方程2x-x2=0是否有解?如何判定?

設(shè)計(jì)說明對(duì)方程2x-x2=0的解的判定,對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性,學(xué)生很難一下子找到方法.正因如此,才能激發(fā)學(xué)生探究的欲望,學(xué)生才有興趣積極開動(dòng)腦筋,啟動(dòng)思維．雖然學(xué)生對(duì)問題2不能直接找到答案,但學(xué)生對(duì)方程2x-x2=0中的式子2x和x2是熟悉的,學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生思考新問題的起點(diǎn)．

課堂實(shí)踐:(學(xué)生經(jīng)過深入思考后)

生1:有兩個(gè)根是2和4.

師:你怎樣得到的?

生1:通過觀察,試值得出的.

生2:構(gòu)造函數(shù)y=2x和y=x2,作出函數(shù)圖象(如圖1).兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),應(yīng)有兩個(gè)解.

師:生1得到的兩根與生2作的圖象吻合嗎?

生3:構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-x2,通過列表、描點(diǎn)、連線作函數(shù)圖象,但是我只描出點(diǎn),卻不知道該如何連線．

師:很好,下面我們用幾何畫板演示一下生2與生3構(gòu)造的函數(shù)圖象(如圖2、3)．

師:通過圖象,我們可以看出,此方程有三個(gè)根,其中有兩個(gè)正實(shí)根，易知它們是2和4,另一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)內(nèi).同學(xué)們?cè)囅?我們可以用什么方法判定函數(shù)f(x)=2x-x2在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn)呢?

(學(xué)生思考)

接著,結(jié)合圖象,教師引導(dǎo)學(xué)生,通過f(-1)<0與f(0)>0可判定函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)應(yīng)有根,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論由f(-1)·f(0)<0可判定此方程根的存在的合理性.但對(duì)于區(qū)間(-1,0)內(nèi)的根，很難求出其準(zhǔn)確值,這正是函數(shù)零點(diǎn)判定定理存在的必要性,同時(shí)為下一節(jié)“利用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

然后,進(jìn)一步推廣到一般,得出:當(dāng)函數(shù)滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)．通過以上師生的共同努力得出結(jié)論:對(duì)于不能直接求解的方程,可以通過條件f(a)·f(b)<0,判定函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)．

問題3若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,一定能夠判定函數(shù)在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)嗎?

學(xué)生通過交流討論,得出函數(shù)圖象在閉區(qū)間[a,b]上必須是連續(xù)的,如圖4(圖5函數(shù)圖象雖然滿足f(a)·f(b)<0,但沒有零點(diǎn))

師:我們已經(jīng)學(xué)過的函數(shù),哪些函數(shù)圖象是不連續(xù)的?

生:反比例函數(shù)的圖象和部分分段函數(shù)的圖象,……

(通過學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象連續(xù)和不連續(xù))

問題4若函數(shù)y=f(x)的圖象在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且滿足f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)是唯一嗎?請(qǐng)結(jié)合函數(shù)f(x)=2x-x2的圖象思考.

學(xué)生經(jīng)過交流討論,得出滿足上述條件時(shí)零點(diǎn)不唯一.如圖6，雖然函數(shù)y=f(x)圖象在閉區(qū)間[-1,5]上連續(xù)且滿足f(a)·f(b)<0,但是它卻有三個(gè)零點(diǎn)．

問題5若函數(shù)y=f(x)圖象在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且有零點(diǎn),一定有f(a)·f(b)<0嗎?

學(xué)生經(jīng)過交流討論后,多名學(xué)生給出否定的答案:如圖7，雖然函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn),但f(a)·f(b)>0.

歸納函數(shù)零點(diǎn)判定定理:若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b) 內(nèi)函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)有零點(diǎn),即相應(yīng)的方程f(x)=0 在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,其圖象與橫軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．

設(shè)計(jì)說明在問題1的鋪墊與問題2的引領(lǐng)下,通過問題3、問題4、問題5的研討,學(xué)生對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的判定方法的由來,判定定理中的核心關(guān)鍵詞有了深入的理解.對(duì)以上問題的解答過程是在學(xué)生充分交流討論的基礎(chǔ)上,經(jīng)過師生的對(duì)話交流共同努力下逐步完成的,整個(gè)過程學(xué)生的思維是自由的、深入的、學(xué)生的思維經(jīng)歷了陣痛但情緒是愉悅的．這一教學(xué)過程有效地落實(shí)了知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀的教學(xué)目標(biāo)．

學(xué)生經(jīng)歷以上探究過程,對(duì)最終獲得的結(jié)論是興奮的,對(duì)函數(shù)零點(diǎn)判定定理的適用對(duì)象、途徑、方法和價(jià)值認(rèn)識(shí)是深刻的,認(rèn)識(shí)到運(yùn)用它判定方程根的存在的重要性和優(yōu)越性．

三、教學(xué)思考

“探索是教學(xué)的生命線”．教師要善于注重教學(xué)素材,啟迪學(xué)生探究研討．建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)者依賴自身建構(gòu)自己的知識(shí),其他任何人都無法代替的;新的學(xué)習(xí)依賴

于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),脫離原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),知識(shí)建構(gòu)活動(dòng)就會(huì)成為無源之水,無本之木;知識(shí)的獲得是參與教學(xué)活動(dòng)的各類主體之間通過對(duì)話、交往、互動(dòng)實(shí)現(xiàn)“視野融合”的過程．

數(shù)學(xué)課堂中的探究活動(dòng)不但能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的積極性,落實(shí)學(xué)生的主體地位,同時(shí)也能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．但受諸多因素的影響,大部分課堂仍以教師為中心,數(shù)學(xué)課堂探究追求形式,往往是教師牽著學(xué)生的鼻子進(jìn)行所謂的探究過程,學(xué)生沒有真正親身經(jīng)歷探究的過程,學(xué)生的思維不能展開,不夠深入．?dāng)?shù)學(xué)課堂探究應(yīng)注重問題引領(lǐng),注重學(xué)生在已有的知識(shí)發(fā)展水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的思維自由伸展,回歸探究的本真．