鐘時(shí)泉

(廣東省惠州市第一中學(xué)，516007)

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一道課本例題的應(yīng)用探究

鐘時(shí)泉

(廣東省惠州市第一中學(xué)，516007)

這是個(gè)初中和高中都沒有直接給出的重要定理,在高中教材中也只是以一個(gè)例題形式出現(xiàn).但它的應(yīng)用是廣泛的.下面就其四個(gè)方面的應(yīng)用加以介紹,僅供參考.

一、倍角與半角

以必修2練習(xí)中出現(xiàn)的兩個(gè)習(xí)題為例,按照5個(gè)必修課本的使用順序1-4-5-2-3，在此時(shí)學(xué)習(xí)完了三角函數(shù)的半角與倍角公式,用三角函數(shù)公式來解,簡(jiǎn)單快捷.但如果按照教材編排的順序和不把必修4的內(nèi)容提前講,那么碰到這類題很多教師都刪了.教材編寫者認(rèn)為放在這里肯定沒有問題的,通過初中學(xué)過的平面幾何知識(shí)可以很巧妙地解決這類問題.

例1已知兩點(diǎn)A(-2,-10),B(6,-4),直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的一半,求直線l的斜率.

如圖1，作直角?ACB,AD是∠A的平分線，其中點(diǎn)C(6，-10).

由勾股定理，得AB=10，

例2一條直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),并且滿足傾斜角是直線l1:x-4y+3=0的傾斜角的兩倍,求直線l方程.

如圖2，作直角三角形ACB,AD是角A的平分線，其中點(diǎn)A(-3，0)，C(1，0)，D(1，1).

設(shè)BD=x,則AB=4x.又由勾股定理，得

(4x)2=42+(x+1)2,

又直線l經(jīng)過點(diǎn)P，所以直線l的方程為8x-15y-1=0.

二、求軌跡方程

我們知道，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離的比為定值λ,若λ=1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段AB的垂直平分線；若λ≠1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓.因此，可以通過用坐標(biāo)法求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,進(jìn)而說明軌跡形狀.下面從幾何角度求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

例3已知定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)的距離的比為2∶1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

因此，P的軌跡是以N為圓心,2為半徑的圓,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4.

三、三角形內(nèi)心的向量式

(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心

四、在高考解題中的應(yīng)用

華南師范大學(xué)蔡潤(rùn)芳老師在《數(shù)學(xué)通訊》2012(4)20-21一文中探究了圓錐曲線焦點(diǎn)三角形頂角平分線的性質(zhì),得到以下結(jié)論：

由此還可得到結(jié)論：

橢圓的焦點(diǎn)三角形的頂角P的角平分線與橢圓在點(diǎn)P的切線互相垂直.

(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,4)，求橢圓C的方程；

(2)證明:直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

①

②

c2=a2-b2(a,b,c>0).

③

由上面的結(jié)論，可知∠F1PF2的角平分線所在直線的斜率為

所以直線PQ與∠F1PF2的平分線垂直,所以PQ為橢圓的切線，所以直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

本題主要考查橢圓方程和橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),總體難度不大.第(2)問可以直接通過直線PQ方程和橢圓方程聯(lián)立求解,而通過上面的結(jié)論則從幾何方面揭示了該題的背景.

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連結(jié)PF1,PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍.

(2)若運(yùn)用夾角公式或到角公式進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化的思路,同樣可以得到m與x0的式子,但化簡(jiǎn)過程是一難題，所以可以考慮用角平分線的性質(zhì)去解題.因?yàn)镻M是∠F1PF2的角平分線,所以在ΔF1PF2中,有

設(shè)P(x0,y0) (y0≠0)，則由橢圓焦半徑公式，得

PF1=a+ex0,

PF2=a-ex0,