王　華

(江蘇省吳江中學(xué)，215200)

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○解題研究○

方法本天成“構(gòu)造”巧得之
——淺談高中數(shù)學(xué)解題中的構(gòu)造法

王華

(江蘇省吳江中學(xué)，215200)

數(shù)學(xué)構(gòu)造法是指在解決問(wèn)題時(shí),構(gòu)造與原問(wèn)題有關(guān)的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)研究這些數(shù)學(xué)模型,找到解決問(wèn)題的方法．它的基本原理就是借用一類(lèi)我們熟知的問(wèn)題性質(zhì),去探求未知問(wèn)題的性質(zhì)．

一、六種常見(jiàn)構(gòu)造方法

1. 圖形構(gòu)造法

數(shù)學(xué)中的很多數(shù)量關(guān)系都隱藏著形的信息,利用圖形中的相應(yīng)信息可以很形象地反映出問(wèn)題中的本質(zhì)關(guān)系．圖形構(gòu)造法能為數(shù)與形構(gòu)建一座橋梁,使問(wèn)題更明朗化．

解法1(一般方法)依題意，有

由余弦定理，得4=b2+c2-2,即

b2+c2=6，

∴6=b2+c2≥2bc,即bc≤3，

解法2(構(gòu)造法)根據(jù)三角形面積公式,?ABC的面積底邊是定值,只有高是變化的量,且和點(diǎn)A的位置有關(guān),因此可以研究點(diǎn)A的特點(diǎn)．

如圖1,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,使得B(-1,0),C(1,0).不妨令A(yù)(x,y)，則

即x2+y2=2，

其中h為點(diǎn)A到BC得距離.

2. 函數(shù)構(gòu)造法

構(gòu)造函數(shù)法是數(shù)學(xué)解題中比較常見(jiàn)的方法之一.巧妙構(gòu)造一個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題,可以達(dá)到解題目的．

分析本題如果直接去研究不等式左邊的條件,會(huì)比較難處理,因此本題首先應(yīng)該對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)處理．

解法1由題意,題中的不等式恒成立等價(jià)于不等式

對(duì)任意x∈R恒成立.

∴a<3.

解法2由題意，不等式等價(jià)于

∵f(t)在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，

∴f(t)≥f(1)=3,即f(t)min=3,

∴a<3.

這兩個(gè)方法雖然過(guò)程不同,但都是構(gòu)造某一個(gè)函數(shù),通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),使問(wèn)題得以解決．

3. 向量構(gòu)造法

在高中數(shù)學(xué)中,向量知識(shí)往往是作為解題的重要工具,向量的運(yùn)算有坐標(biāo)運(yùn)算,也有圖形(三角形或平行四邊形)運(yùn)算,是數(shù)形結(jié)合的重要工具．因此利用向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題可以更簡(jiǎn)便快捷．

解將函數(shù)解析式變形，得

注意到m,n為不共線向量,則有

4. 方程構(gòu)造法

解方程思想是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法,如果在解題過(guò)程中能找到已知與未知之間的等式關(guān)系且具有方程的某些特性,就可以考慮去構(gòu)造一個(gè)方程,使數(shù)學(xué)問(wèn)題得以解決．

例4已知a,b,c滿足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,試求b的取值范圍．

解由題意可得c=9-a-b，代人ab+bc+ca=24，得

a(9-a-b)+(9-a-b)b+ab=24，

整理得a2+(b-9)a+b2-9b+24=0.

此方程可看作是關(guān)于a的二次方程,則相當(dāng)于此二次方程有實(shí)數(shù)解，

因此有 (b-9)2-4(b2-9b+24)≥0，

解此二次不等式，得b∈[1,5].

5. 基本不等式構(gòu)造法

基本不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)之一,在高考中的要求比較高,在應(yīng)用時(shí)往往和其它知識(shí)相結(jié)合,特別是和函數(shù)問(wèn)題,取值范圍問(wèn)題聯(lián)系比較密切．

分析此類(lèi)問(wèn)題,我們一般采用分離常數(shù)的方法,再利用基本不等式求解．

當(dāng)x=0時(shí),y=1；

6. 等價(jià)命題構(gòu)造法

當(dāng)我們?cè)谘芯恳恍?shù)學(xué)命題時(shí),發(fā)現(xiàn)直接論證比較困難時(shí),我們可以考慮去構(gòu)造命題的否命題,再通過(guò)研究相應(yīng)的等價(jià)命題來(lái)解決問(wèn)題．

例6已知命題:“?x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”為假命題,試求a的取值范圍．

解由題意,此命題的否定形式為“?x∈[1,2],使x2+2x+a<0”為真命題.

這等價(jià)于x2+2x+a<0對(duì)?x∈[1,2]恒成立，

即等價(jià)于a<-(x2+2x)對(duì)?x∈[1,2]恒成立.

不妨令f(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1,∴f(x)min=f(1)=-3.

∴a<3.

二、教學(xué)感悟

1. 注重對(duì)學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)

構(gòu)造法解題需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題有一些創(chuàng)新的的想法,這離不開(kāi)學(xué)生較強(qiáng)的“讀題”能力,即數(shù)學(xué)閱讀的能力．?dāng)?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào):注重學(xué)生各種能力的培養(yǎng),其中包括數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)探究能力．在平時(shí)的教學(xué)中,有意識(shí)地去指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀,教會(huì)學(xué)生一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)閱讀方法,通過(guò)閱讀能力的提高來(lái)達(dá)到“讀題”能力的提高,從而從“機(jī)械讀題”到“意義讀題”的提升.這樣的話,構(gòu)造法解題需要的隱蔽條件就會(huì)在學(xué)生較高的閱讀能力下捕捉到．

2. 培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)化的能力

構(gòu)造法解題對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握要求比較高,需要建立知識(shí)之間的聯(lián)系才能解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此，在進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)教學(xué)和復(fù)習(xí)時(shí),要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,不僅要體現(xiàn)在它們之間的縱向聯(lián)系,還要體現(xiàn)它們之間的橫向聯(lián)系,即不僅要建立章節(jié)之間知識(shí)點(diǎn)的外在聯(lián)系,還要對(duì)本章的知識(shí)點(diǎn)建立內(nèi)在聯(lián)系．例如，高中知識(shí)點(diǎn)中的函數(shù)部分,它的思想方法是貫穿高中整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程,因此，在每個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)中要經(jīng)常與函數(shù)建立聯(lián)系．經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練,學(xué)生就能對(duì)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)不單單是簡(jiǎn)單的記憶,而是有意識(shí)地去運(yùn)用知識(shí)點(diǎn),對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重組和概括,突出知識(shí)點(diǎn)的延伸功能,真正達(dá)到學(xué)有所用,為能熟練運(yùn)用構(gòu)造法解題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

3. 注重對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)

利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),需要學(xué)生多角度思考問(wèn)題,多渠道解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,這些都需要學(xué)生具有發(fā)散性思維．在我們的實(shí)際教學(xué)中,我們可以從多方面進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練．比如，關(guān)注數(shù)學(xué)命題的發(fā)散,在不改變數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)的前提下,通過(guò)改變數(shù)學(xué)命題的條件,結(jié)論等,引導(dǎo)學(xué)生不斷根據(jù)變化的情況積極的去思考、歸納、概括,從而達(dá)到多角度去看數(shù)學(xué)命題的本質(zhì).平時(shí)教學(xué)中，我們強(qiáng)調(diào)變式訓(xùn)練,就是對(duì)這方面的一個(gè)強(qiáng)化．關(guān)注學(xué)生解題方法的發(fā)散,對(duì)于學(xué)生碰到的同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,要從多個(gè)角度進(jìn)行研究和解決,對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題要利用共同的方法進(jìn)行解決；這個(gè)也是我們平時(shí)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的“一題多解”和“通性通法”的教學(xué)形式，這為學(xué)生進(jìn)行構(gòu)造法解題打下堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ)．

總之,在利用構(gòu)造法解題的過(guò)程中,不僅要求學(xué)生會(huì)分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,還需要學(xué)生有構(gòu)造新問(wèn)題的能力, 構(gòu)造法解題過(guò)程就是一種探究,一種創(chuàng)新的思維過(guò)程,對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,進(jìn)行自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)都是有著不可估量的作用．