◆詹高晟　陳冠文

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解題教學(xué)：重在方法指導(dǎo)，旨在提升能力

◆詹高晟陳冠文

羅增儒教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動”。的確，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，解題既是對原有數(shù)學(xué)知識和技能的應(yīng)用，又可保持并鞏固相應(yīng)知識的記憶，提高相應(yīng)技能的熟練程度。學(xué)生通過解題還能提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問題的能力、分析和解決問題的能力。但在教學(xué)活動中，我們常常會遭遇這樣的困擾：學(xué)生題目做了不少，教師也進(jìn)行了認(rèn)真講評，有些題甚至做過多次、講過多次，但學(xué)生還是一錯再錯，能力也沒有得到明顯提高。這顯然與教師在解題教學(xué)中常常重做題輕指導(dǎo)的教學(xué)方式有關(guān)。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)時，關(guān)鍵是要重視解題方法的指導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會審題，學(xué)會檢驗，學(xué)會反思，引導(dǎo)學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣，提高獲取數(shù)學(xué)知識的能力。筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，談?wù)剶?shù)學(xué)解題教學(xué)中的點滴體會。

一、指導(dǎo)學(xué)生在開始解題時認(rèn)真審題

學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時，從看到題目到動筆解題之間有一個非常重要的過程，這個過程便是審題。審題是一種綜合能力，是一種獲取信息、分析信息、處理信息的能力，是解決問題的基礎(chǔ)和先導(dǎo)。它需要以一定的知識水平為基礎(chǔ)，更需要有良好的讀題習(xí)慣、有效的思考方法為保證。在教學(xué)中常常遇到這樣的情況，只要教師把題目再讀一讀，或者讓學(xué)生重新做一次，學(xué)生就會做對，學(xué)生在自我分析時，總愛說上一句：“其實我會做，只是太粗心、太馬虎?！逼鋵?，在粗心、馬虎的背后暴露的正是學(xué)生審題能力的薄弱。因而，對于審題教學(xué)，教師要做有心人：不以題易而棄之，不以題難而代之，抓住每一道有思維價值的題目，不失時機地進(jìn)行審題教學(xué)，讓學(xué)生在潛移默化中形成良好的審題習(xí)慣，拓展學(xué)生的解題思路。

指導(dǎo)學(xué)生審題就是指導(dǎo)學(xué)生理清題目的條件，弄清題目已經(jīng)告訴你什么，又要你去做什么。題目所給的條件信息有些是表層直觀的，有些是隱蔽給出的，讀題時要把它們?nèi)颊页鰜?，并且弄清這些條件的數(shù)學(xué)意義。審題時，為了從中獲取盡可能多的信息，我們要逐字逐句地分析條件、分析結(jié)論、分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系，有時還要輔以圖形或記號，以便更加直觀地獲取信息。

例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4。若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r應(yīng)滿足的條件是________。(答案：r＝2.4或3＜r≤4)

獨立做題時，很多學(xué)生只寫出答案r＝2.4，究其原因，學(xué)生因為審題能力弱，誤認(rèn)為條件是⊙C與直線AB只有一個公共點，所以認(rèn)為直線AB與⊙C相切。認(rèn)真審題，我們發(fā)現(xiàn)，題目給我們的直接信息是“⊙C與斜邊AB(指的是線段AB)只有一個公共點”，其含義是：直線AB與⊙C的位置關(guān)系可能是相切(此時r＝2.4)；也可能是相交，但只有一個交點在線段AB上(此時3＜r≤4)。

學(xué)會讀出題中的隱蔽信息可以減少題目漏解，確保解答的完整性。讀題時，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題中條件或結(jié)論挖掘出隱含在字面背后的解題信息，必要時把文字表述轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)，利用圖形的直觀幫助學(xué)生理解題意，以便得到正解。如“拋物線與x軸有公共點”就要考慮是有一個公共點還是有兩個公共點；“使得△ABC與△DEF相似”就要注意兩個三角形各頂點間的對應(yīng)關(guān)系是否存在多種情況，是否要分類討論。

例2：如圖1①，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA＝4。

圖1

(1)連接OD，當(dāng)OD與半圓C相切時，求OD的長；

(2)略；

(3)過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖1②），設(shè)AP＝x，OE＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范值。

第(3)問中的“垂足E”可能落在線段OA上(即0＜x≤22時)，也可能落在線段OB上(即22＜x＜4 時)，可見點O恰好是“臨界點”，此時點D的位置就是第(1)問時點D的位置，這是題目中的隱含信息。自主思考時，大部分學(xué)生只考慮了點E落在OA上這種情況。一個題目包含的信息有時是比較隱蔽的，甚至隱藏的很深，這就需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、分析，這是解題的關(guān)鍵。

審題是解題的基礎(chǔ)，是正確、迅速解題的前提。為此，在解題教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生注意審視題目的條件、結(jié)論，抓住關(guān)鍵字詞，充分挖掘題目的表層和隱含信息，深入分析題目中各個量的特點、關(guān)系，全面掌握題目信息，為數(shù)學(xué)問題解決的后續(xù)活動提供啟發(fā)。

二、指導(dǎo)學(xué)生在解題過程中復(fù)查檢驗

學(xué)生在解題過程中，難免出現(xiàn)各種各樣的錯誤，因而教師在開展解題教學(xué)時，就要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)查檢驗，檢驗自己的解題方法、計算結(jié)果是否正確。復(fù)查的時機選擇上，可以根據(jù)解題情況進(jìn)行選擇，可以邊解題邊檢驗，也可以解題后再檢驗。復(fù)查檢驗時，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生從不同角度，不同側(cè)面去探討解題結(jié)果是否正確。掌握復(fù)查檢驗的方法，養(yǎng)成復(fù)查檢驗的習(xí)慣，對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性有很大的促進(jìn)作用，是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件。

例3:已知某二次函數(shù)圖象的頂點為A(-1，-4），且過點B(3，12)。

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)求該函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)；

(3)將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點時，A，B兩點隨圖象移至A/，B/，求△OA/B/的面積。

本題由“頂點式”容易求得該二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3。但結(jié)果是否正確？我們可以在求出函數(shù)解析式后將點A(-1，-4）、B(3，12)代入驗算，也可以檢查求解過程，確保準(zhǔn)確后再求解第(2)、(3)兩問。在解題過程中可能會出現(xiàn)錯誤，這需要我們在解題時邊求解邊復(fù)查，一步一檢查，爭取一次做到位，防止做無用功。

在前面的例2的第(3)問中，通過分析可以得到y(tǒng) 與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0＜x≤22時，；當(dāng)22＜x＜4時，。題目做得對不對？通過分析，我們知道：當(dāng)點P在半圓C上運動，點D就在半圓O上運動，從而帶動點E在直徑AB上運動，點E的運動是“連續(xù)”的，由題中的第(1)問可知，x＝22是自變量x的“臨界點”，把x＝22分別代入，得到的y值應(yīng)該是一樣的，如果不一樣，則說明解題有錯誤。

解題中的復(fù)查檢驗，方法多種多樣，重做一遍、變換方式解題、特殊值法等等，都是常用的查驗方法，這些方法學(xué)生在平時的解題檢驗中已經(jīng)自覺或不自覺地運用著。在解題教學(xué)時，教師要做的就是不斷強化學(xué)生的解題復(fù)查意識，養(yǎng)成良好的檢驗習(xí)慣；并且針對不同類型的問題，指導(dǎo)學(xué)生選用正確的檢驗方法，確保解題結(jié)果正確無誤，提高學(xué)習(xí)成績。

三、指導(dǎo)學(xué)生在解題完成后進(jìn)行題后反思

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生通過對典型例題的求解，進(jìn)而掌握一般的解題思路、常用的解題技能、技巧和基本數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)到解一題破百題，提高學(xué)生解題效率的目的，這就需要指導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行反思。

圖2

例4：如圖2，點E為正方形ABCD邊BC上一點，請在BD上確定一點P，使得PE+PC最短。

本題考察的知識點是線段垂直平分線的性質(zhì)和基本事實“兩點之間線段最短”，解題中滲透了化歸轉(zhuǎn)化思想，其基本數(shù)學(xué)模型是“將軍飲馬問題”。它反映了數(shù)學(xué)中的對稱性問題，與四邊形、圓、函數(shù)及實際生活有著非常緊密的聯(lián)系，貫穿初中數(shù)學(xué)始終。應(yīng)用它可以解決一組關(guān)于線段和的最小值問題。如果在該題的教學(xué)中就題論題，不進(jìn)行題后反思，沒有引導(dǎo)學(xué)生對解題方法進(jìn)行總結(jié)，沒有對用到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行提煉，沒有在解題后對原題進(jìn)行引伸，該題的教學(xué)功能就得不到充分地發(fā)揮。在完成例4后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)延伸，安排以下題組：

圖3

題1：如圖3，菱形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是AC上的一個動點，求PE+PB的最小值。

圖4

題2：如圖4，⊙O的直徑CD為4，點A在⊙︵O上，∠ACD＝30°，B為AD的中點，P為直徑CD上的一動點，則PA+PB的最小值為______。

圖5

題3：如圖5，拋物線y=ax2+c經(jīng)過點A（0，1），P（23，-3），點C為拋物線與x軸正半軸的交點，點M是拋物線對稱軸上的動點，連MP，MC，試求MP+MC的最小值。

這組題目形異質(zhì)同，實質(zhì)都是“將軍飲馬問題”。解決此類問題，往往需要尋求與其中一條線段長度相等的線段，從而轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短問題。解題教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行反思，對題目進(jìn)行適當(dāng)延伸、拓展、變式，對所用到的基本方法、基本思想進(jìn)行歸納提煉，促進(jìn)學(xué)生思維向深度和廣度發(fā)展。

練習(xí)時，很多同學(xué)寫出的答案是“9”，教師分析講評時，就要引導(dǎo)學(xué)生反思，自己為什么得出了“9”這個錯誤的答案，引起錯誤的根源是什么。通過反思，學(xué)生明白自己的錯誤有兩個方面，一是誤將用算術(shù)平方根表示的數(shù)81當(dāng)成了數(shù)81進(jìn)行求解；二是忽視了所求的平方根要有兩個值，一正一負(fù)，而不只是一個正值。這就提醒學(xué)生求解時應(yīng)審清題意，真正理解各種數(shù)學(xué)符號所表示的含義，然后再求解，避免出錯。

解題后的反思，就是對解題經(jīng)歷的再認(rèn)識，這其中包含著對“失誤”的反省，也包含著對“成功”的琢磨。一個題目，如果是在同學(xué)、教師的輔導(dǎo)下解出來，要去反思自己解題時遇到的障礙在哪里，后來是怎么解決的，通過反思，使自己再經(jīng)歷一次調(diào)試與矯正的過程，增強識別錯誤、改正錯誤的能力。如果題目是自己解出來的，要認(rèn)真回顧、思考解題中用到了哪些知識、哪些方法，自己是怎么想到它們的，可以將這個過程進(jìn)行總結(jié)，變?yōu)樽约旱闹苯咏?jīng)驗。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，還要去思考是否還有其它解決方法，是否能用同樣的方法來處理更一般性的問題，是否能對原題進(jìn)行推廣，是否能夠減弱原題中的條件，是否可以對得到的結(jié)論進(jìn)行加強……這樣的思考不僅可以改進(jìn)和完善眼前的解題，而且還能提煉出對以后解題有指導(dǎo)作用的信息。

總之，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生的實際情況出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的一般方法，并進(jìn)行歸納總結(jié)，以提高數(shù)學(xué)問題解決與數(shù)學(xué)思考的能力，從而使數(shù)學(xué)解題教學(xué)更高效。

責(zé)任編輯：周朝坤

作者單位：福建省三明市列東中學(xué)